Noções de Estatística - I Módulo 17 – Frente 2 – Apostila 2 Teoria – pág.16 Exercícios – pág. 23.

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1 Noções de Estatística - I Módulo 17 – Frente 2 – Apostila 2 Teoria – pág.16 Exercícios – pág. 23

2 Conceito Estatística é um ramo da Matemática Aplicada. A palavra Estatística provém da palavra Status e é usada em dois sentidos: Estatísticas (no plural) referem-se a dados numéricos e são informações sobre determinado assunto, coisa, grupo de pessoas etc. obtidas por um pesquisador. Estatística (no singular) significa o conjunto de métodos usados na condensação, análises e interpretações de dados numéricos. De um modo geral, conceitua-se Estatística da seguinte forma: É ciência, quando estuda populações; é método, quando serve de instrumento a uma outra ciência. De um modo geral, conceitua-se Estatística da seguinte forma: É ciência, quando estuda populações; é método, quando serve de instrumento a uma outra ciência.

3 POPULAÇÃO E AMOSTRA População É todo o conjunto de elementos que possuam ao menos uma característica comum observável. Ex: Todos os alunos do Ensino Médio do Brasil. Amostra É uma parte da população que será avaliada por um critério comum. Ex: 500 alunos do Ensino Médio do Brasil. Parâmetros São caracterísiticas numéricas da população. Ex: QI médio dos estudantes do Ensino Médio do Brasil. Estimativas Em geral, por problemas de tempo e dinheiro, trabalha-se com amostras e não com a população.

4 Apostila de Exercícios - pág. 23 – Exercício nº 1 1. As idades dos 25 participantes de uma festa, em anos, estão descritas a seguir: 16, 15, 18, 14, 12, 18, 15, 16, 18, 12, 15, 14, 16, 15, 18, 16, 18, 16, 15, 14, 16, 15, 14, 16, 14. Dados Brutos É o conjunto de dados numéricos obtidos e que ainda não foram organizados. 16, 15, 18, 14, 12, 18, 15, 16, 18, 12, 15, 14, 16, 15, 18, 16, 18, 16, 15, 14, 16, 15, 14, 16, 14. Rol É o arranjo dos dados brutos em ordem crescente (ou decrescente). RESOLUÇÃO: a) rol 12, 12, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 18, 18, 18, 18, 18

5 Amplitude (H): É a diferença entre o maior e o menor dos valores observados. RESOLUÇÃO: b) H = 18 – 12 = 6 DISTRIBUIÇÃO DAS FREQUÊNCIAS: É o arranjo dos valores das variáveis e suas respectivas frequências. Frequência absoluta (f i ) : É o número de vezes que o elemento aparece na amostra. RESOLUÇÃO:

6 Frequência relativa (f r ): (n é o número de elementos da amostra.) Frequência relativa percentual (f % ):

7 Frequência absoluta acumulada (f a ): É a soma da frequência do valor da variável com todas as frequências anteriores. Frequência relativa acumulada (f ra ): É a soma da frequência relativa do valor da variável com todas as frequências relativas anteriores.

8 Frequência percentual acumulada (f %a ): Moda (M o ): É o valor da frequência máxima. RESOLUÇÃO:

9 Mediana (M d ): Colocando-se os valores da variável em ordem crescente, a mediana é o elemento que ocupa a posição central. RESOLUÇÃO: MÉDIA: RESOLUÇÃO: IMPORTANTE!!!! Caso o número de elementos do Rol for par, calculamos a mediana pela média aritmética dos dois elementos centrais.

10 Representação Gráfica Setores Circulares (Pizza) Foi feita uma Pesquisa a 400 alunos de uma escola sobre as atividades esportivas que gostariam de ter na escola. O resultado foi o seguinte: Atividade Esportiva Nº de alunos Freqüência Absoluta Freqüencia relativa Voleibol8020% Basquetebol 12030% Futebol16040% Natação4010% Total400100%

11 Representação Gráfica Setores Circulares (Pizza)

12 Médias Média Aritmética Simples Média Aritmética ( X ) - É o quociente da divisão da soma dos valores da variável pelo número deles: Exemplo: Sabendo-se que a produção leiteira da vaca A, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros, temos, para produção média da semana: X = 10 + 14 + 13 + 15 + 16 + 18 + 12 = 98 = 14 7 7

13 Exemplo: O exame de seleção pode ser composto de 3 provas onde as duas primeiras tem peso 1 e a terceira tem peso 2. Um candidato com notas 70, 75 e 90 terá média final: Média Aritmética Ponderada (UNESP-09) Durante o ano letivo, um professor de matemática aplicou cinco provas para seus alunos. A tabela apresenta as notas obtidas por um determinado aluno em quatro das cinco provas realizadas e os pesos estabelecidos pelo professor para cada prova. Se o aluno foi aprovado com média final ponderada igual a 7,3, calculada entre as cinco provas, a nota obtida por esse aluno na prova IV foi:  56 + 2x = 73  x = 8,5

14 Desafio!!! (Fuvest – SP) Numa classe com vinte alunos as notas do exame final podiam variar de 0 a 100 e a nota mínima para aprovação era 70. Realizado o exame, verificou-se que oito alunos foram reprovados. A média aritmética das notas desses oito alunos foi 65, enquanto a média dos aprovados foi 77. Após a divulgação dos resultados, o professor verificou que uma questão havia sido mal formulada e decidiu atribuir 5 pontos a mais para todos os alunos. Com essa decisão, a média dos aprovados passou a ser 80 e dos reprovados 68,8. a)Calcule a média aritmética das notas da classe toda antes da atribuição dos pontos extras. b) Com a atribuição dos 5 pontos extras, quantos alunos, inicialmente reprovados, atingiram nota para aprovação? Como foi adicionado 5 pontos a todos os alunos, a média de toda turma sobe para 72,2 + 5 = 77,2. Sabemos que alguns alunos (x) anteriormente reprovados conseguiram, após o aumento, aprovar.Assim: x = 3

15 Noções de Estatística - II Módulo 18 – Frente 2 – Apostila 2 Teoria – pág.22 Exercícios – pág. 24

16 MEDIDAS DE POSIÇÃO As medidas de posição servem para localizar os dados sobre o eixo da variável em questão. As mais importantes são: a média, a mediana e a moda. A média e a mediana tendem a se localizar em valores centrais de um conjunto de dados. Por essa razão, costuma-se dizer que são medidas de tendência central. A moda, por sua vez, indica a posição de maior concentração de dados. MEDIDAS DE DISPERSÃO Servem para indicar o quanto os dados se apresentam dispersos em torno da região central. Caracterizam, portanto, o grau de variação existente no conjunto de valores e, por isso, são também chamadas MEDIDAS DE VARIABILIDADE.

17 MEDIDAS DE DISPERSÃO Amplitude É a diferença entre o maior valor e o menor valor de um conjunto de dados. Ex.: Os valores seguintes representam o número de gols marcados pela seleção brasileira nas últimas 5 copas do mundo. 11, 14, 18, 10, 9 Amplitude = 18 – 9 = 9 Desvio Uma maneira de medir o grau de dispersão ou concentração de cada valor da variável em relação às medidas de tendência central é fazer a diferença entre o valor da variável e a média. Ex.: Um aluno obteve as seguintes notas na disciplina de matemática nos 4 bimestres: Média aritmética = Desvios: nota 1: 5 – 7 = - 2 nota 2: 8 – 7 = 1 nota 3: 6 – 7 = - 1 nota 4: 9 – 7 = 2

18 Variância É a média aritmética dos quadrados dos desvios. Desvio Padrão: É a raiz quadrada da variância. Quanto mais próximo de zero é o desvio padrão, mais homogênea (regular) é a amostra. Candidatos que obtém menor desvio padrão são considerados mais regulares. Desvios: nota 1: 5 – 7 = - 2 nota 2: 8 – 7 = 1 nota 3: 6 – 7 = - 1 nota 4: 9 – 7 = 2

19 Ex.: As notas de dois alunos X e Y estão representadas no quadro abaixo. N 1N 2N 3N 4 Paulo 5258 João 4835 Por meio do desvio padrão, qual deles apresentou desempenho mais regular? Média aritmética = Paulo Média aritmética = João Desvios: nota 1: 5 – 5 = 0 Paulo nota 2: 2 – 5 = - 3 nota 3: 5 – 5 = 0 nota 4: 8 – 5 = 3 Desvios: nota 1: 4 – 5 = -1 João nota 2: 8 – 5 = 3 nota 3: 3 – 5 = -2 nota 4: 5 – 5 = 0 Logo, como João apresentou o menor desvio padrão, ele será dito o mais regular.

20 Exercício número 1 da página 24:

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22 Desvio:

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25 TEORIA DA INFORMAÇÃO - EXERCÍCIOS ENEM (ENEM)O gráfico abaixo ilustra o resultado de um estudo sobre o aquecimento global. A curva mais escura e contínua representa o resultado de um cálculo em que se considerou a soma de cinco fatores que influenciaram a temperatura média global de 1900 a 1990, conforme mostrado na legenda do gráfico. A contribuição efetiva de cada um desses cinco fatores isoladamente é mostrada na parte inferior do gráfico. Os dados apresentados revelam que, de 1960 a 1990, contribuíram de forma efetiva e positiva para aumentar a temperatura atmosférica: A) aerossóis, atividade solar e atividade vulcânica. B) atividade vulcânica, ozônio e gases estufa. C) aerossóis, atividade solar e gases estufa. D) aerossóis, atividade vulcânica e ozônio. E) atividade solar, gases estufa e ozônio. De acordo com o gráfico, os únicos fatores que apresentaram contribuição efetiva e positiva de 1960 a 1990 são: (I) gases estufa; (II) atividade solar; (III) ozônio. Resposta: E

26 (ENEM – 2000) O Brasil, em 1997, com cerca de 160 X 10 6 habitantes, apresentou um consumo de energia da ordem de 250.000 TEP (tonelada equivalente de petróleo), proveniente de diversas fontes primárias. O grupo com renda familiar de mais de vinte salários mínimos representa 5% da população brasileira e utiliza cerca de 10% da energia total consumida no país. O grupo com renda familiar de até três salários mínimos representa 50% da população e consome 30% do total de energia. Com base nessas informações, pode-se concluir que o consumo médio de energia para um indivíduo do grupo de renda superior é x vezes maior do que para um indivíduo do grupo de renda inferior. O valor aproximado de x é: TOTAL DE HABITANTES: 160.10 6 HABITANTES ENERGIA GASTA: 250 000 RENDA SUPERIOR 5% DA POPULAÇÃO: 10% DA ENERGIA: CONSUMO POR PESSOA: RENDA INFERIOR 50% DA POPULAÇÃO: 30% DA ENERGIA: CONSUMO POR PESSOA: Logo:

27 A população mundial esta ficando mais velha, os índices de natalidade diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população total nos países desenvolvidos. (ENEM-2010)Suponha que o modelo exponencial y = 363e 0,03x, em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes no ano x, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse modo, considerando e 0,3 = 1,35, estima-se que a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre: a) 490 e 510 milhões. b) 550 e 620 milhões. c) 780 e 800 milhões. d) 810 e 860 milhões. e) 870 e 910 milhões. y = 363. e 0,03x y = 363. e 0,03. 30 y = 363. e 0,3. 3 y = 363. (e 0,3 ) 3 y = 363. 1,35 3 y = 363. 2,46 y  893 milhões