UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Câmpus Londrina GRAVITAÇÃO -A lei da Gravitação de Newton -Energia Potencial Gravitacional -As Leis de Kepler.

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1 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Câmpus Londrina GRAVITAÇÃO -A lei da Gravitação de Newton -Energia Potencial Gravitacional -As Leis de Kepler -Satélites: órbitas e energia -Einstein e a TRG (cap 13 do Halliday)

2 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Câmpus Londrina A GRAVITAÇÃO UNIVERSAL - A gravidade e o cotidiano: queda de um corpo, uma pessoa caminhando, o papel da gravidade para gerar energia elétrica, etc - A gravidade e a Astronomia: movimento dos planetas, das galáxias, etc. - A gravidade e origem da vida: sintetização dos elementos químicos, a evolução do Universo, etc.

3 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Câmpus Londrina II-RESUMO HISTÓRICO:  O modelo dos gregos, destaque especial para o sistema de Ptolomeu(150 a. C.).  O sistema heliocêntrico de Copérnico (1543)

4 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Câmpus Londrina  A cinemática do movimento planetário: Tycho Brahe e as 3 leis de Kepler(1609-1619)  A divulgação pública (a luneta e as luas de Júpiter) de Galileu (1610).

5 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Câmpus Londrina  A dinâmica do movimento planetário: a teoria da gravitação de Newton(1665) e a chamada síntese newtoniana (união das leis terrestres e cósmicas).  O problema do periélio do Mercúrio e a teoria da relatividade geral de Einstein (1916).  A existência dos buracos negros confirmadas pelo telescópio Espacial (1996-2001).

6 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Câmpus Londrina (13.2): A lei da GRAVITAÇÃO DE NEWTON “A força entre duas massas m1 e m2, separadas pela distância r é atrativa e age ao longo da linha que une as massas” (13-3): Princípio da superposição

7 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Câmpus Londrina (13-4): A Gravitação nas Proximidades da Superfície da Terra

8 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Câmpus Londrina Corrigindo as idealizações no cálculo do g 1. A massa da Terra não está uniformemente distribuída; 2. A Terra não é uma esfera; 3. A Terra está girando. (13-5): A Gravitação no interior da Terra Uma casca uniforme de matéria não exerce força gravitacional resultante sobre uma partícula localizada no seu interior (fazer o desenho)

9 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Câmpus Londrina (13-6): Energia Potencial Gravitacional U(r) de um sistema de duas partículas (M e m), separadas pela distância r, é igual ao trabalho, desde infinito até r, com sinal oposto:

10 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Câmpus Londrina Energia Potencial de um Sistema é a soma dos termos que representam os pares. Para três partículas temos: Força a partir de U(r) O sinal negativo indica radialmente para dentro, em direção à massa M.

11 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Câmpus Londrina Velocidade de Escape

12 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Câmpus Londrina (13-7): AS LEIS DE KEPLER 1a. Lei de Kepler (Lei das Órbitas) ¨Todos os planetas se movem em órbitas elípticas, com o Sol em um dos focos¨. Veja na figura ao lado as relações entre periélio Rp, afélio Ra, semi-eixo maior a e excentricidade e.

13 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Câmpus Londrina PlanetaSemi-eixo maior a (10 10 m) Excentricidade (e) Período (anos) T 2 /r 3 (10 34 anos 2 /m 3 ) Mercúrio5,790,2060.2412,99 Vênus10,80,00680,6153,00 Terra15,00,01671,002,96 Marte22,80,09341,882,98 Júpiter77,80,048511,93,01 Saturno1430,055629,52,98 Urano2870,047284,02,98 Netuno5900,00861652,99 Plutão5900,2502482,99

14 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Câmpus Londrina 2a. Lei de Kepler (Lei das Áreas) ¨A reta que liga um planeta ao Sol varre áreas iguais no plano da órbita em intervalos de tempo iguais, ou seja, a taxa de variação dA/dt da área A com o tempo é constante¨. Equivalente a lei da conservação do momento angular!

15 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Câmpus Londrina 3a Lei de Kepler (Lei dos períodos): ¨ O quadrado do período de revolução do planeta (T 2 ) é proporcional ao cubo do semi-eixo maior (r 3 ) da sua órbita¨. T 2 =K r 3 Para órbitas circulares ( ou para órbitas elípticas,desde que troquemos r pelo semi-eixo maior a ) Newton mostrou que

16 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Câmpus Londrina MOVIMENTO CIRCULARES DE PLANETAS E SATÉLITES Da 2 a. Lei de Newton => F=ma. Mas, e, logo =>.

17 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Câmpus Londrina PlanetaSemi-eixo maior a (10 10 m) Excentricidade (e) Período (anos) T 2 /r 3 (10 34 anos 2 /m 3 ) Mercúrio5,790,2060.2412,99 Vênus10,80,00680,6153,00 Terra15,00,01671,002,96 Marte22,80,09341,882,98 Júpiter77,80,048511,93,01 Saturno1430,055629,52,98 Urano2870,047284,02,98 Netuno5900,00861652,99 Plutão5900,2502482,99

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19 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Câmpus Londrina Satélite geo-estacionário T=24h, R=4,22x10 4 km, R T =6,37x10 3 km

20 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Câmpus Londrina Normalmente a variação é de 1 m, mas devido ao piso do oceano, que se afunila em alguns lugares, a maré pode chegar a 15 metros! Comentar sobre a escala

21 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Câmpus Londrina Revisando: Energia Potencial Gravitacional U(r) de um sistema de duas partículas (M e m), separadas pela distância r, é igual ao trabalho, desde infinito até r, com sinal oposto :

22 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Câmpus Londrina (13-8) Satélites: Órbitas e Energia Para uma órbita elíptica, basta substituir pelo semi-eixo maior a

23 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Câmpus Londrina Agora imagine que você está num planeta com g altíssimo ou numa nave com aceleração altíssima e a luz entra pela parede da esquerda e leva um certo tempo para atingir a parede da direita. Sim, se valer o princípio da equivalência a trajetória da luz será uma curva!

24 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Câmpus Londrina A TRG (1915) prevê que a luz sofre a atração gravitacional ou segue a trajetória curva do espaço-tempo

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31 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Câmpus Londrina Resumo do cap 13

32 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Câmpus Londrina Resumo do cap 13

33 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Câmpus Londrina Resumo do cap 13