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Comentário do Simulado. 26) Considere as seguintes sequências de números: I. 3,7,11,... II. 2,6,18,... III.2,5,10,17,... O número que continua cada uma.

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1 Comentário do Simulado

2 26) Considere as seguintes sequências de números: I. 3,7,11,... II. 2,6,18,... III.2,5,10,17,... O número que continua cada uma das sequências na ordem dada deve ser respectivamente: a)15,36e24 b)15,54e24 c)15,54e26 d)17,54e26 e) 17, 72 e 26

3 27) O valor de x para que a sequência (2x, x+1, 3x) seja uma PA é: a) 1/2 b) 2/3 c) 3 d) 1/3 e) 2

4 28) Dois ciclistas estão em fases distintas de preparação. O técnico desses atletas elabora um planejamento de treinamento para ambos, estabelecendo o seguinte esquema: ciclista 1: iniciar o treinamento com 4 km de percurso e aumentar, a cada dia, 3 km a mais para serem percorridos; ciclista 2: iniciar o treinamento com 25 km de percurso e aumentar, a cada dia, 2 km a mais para serem percorridos. Sabendo-se que esses ciclistas iniciam o treinamento no mesmo dia e que o término desse treinamento se dá quando os atletas percorrem a mesma distância em um mesmo dia, pode-se afirmar que ao final do treinamento o ciclista 1 percorre uma distância total, em km, de: a) 781 b) 714 c) 848 d) 915 e) 1012.

5 29) Enquanto no mundo o número de turistas cresce, no Brasil ele diminui. Essa é uma das conclusões do relatório da Organização Mundial de Turismo, divulgado recentemente. Revista Veja, 05 nov Se as variações anuais no número de turistas estrangeiros apresentadas no gráfico acima formassem uma Progressão Aritmética, o número de turistas estrangeiros que visitariam o Brasil em 2003, em milhões, seria igual a: a) 1,2 b) 2,4 c) 2,6 d) 2,9 e) 3,2

6 30) Duas pequenas fábricas de calçados, A e B, têm fabricado, respectivamente, 3000 e 1100 pares de sapatos por mês. Se, a partir de janeiro, a fábrica A aumentar sucessivamente a produção em 70 pares por mês e a fábrica B aumentar sucessivamente a produção em 290 pares por mês, a produção da fábrica B superará a produção de A a partir de a)março b)maio c)julho d)setembro e)novembro. A produção de A a partir de janeiro pode ser escrita como An = (n - 1)70 E a produção de B a partir de janeiro pode ser escrita como Bn = (n - 1)290 Para a produção de B superar a de A, deve-se passar n meses: (n - 1)290 = (n - 1)70 »» n = n - 70 »» 220n = 1900 »» n = 8,636 meses O mês de setembro é 9 n = 9

7 31) Usando-se um conta-gotas, um produto químico é misturado a uma quantidade de água da seguinte forma: a mistura é feita em intervalos regulares, sendo que no primeiro intervalo são colocadas 4 gotas e nos intervalos seguintes são colocadas 4 gotas mais a quantidade misturada no intervalo anterior. Sabendo-se que no último intervalo o número de gotas é 100, o total de gotas do produto misturadas à água é: a) 1300 b) 1100 c) 1600 d) 900 e) 1200 Trata-se de uma progressão aritmética cujo primeiro termo é 4 e o último termo é 100, cuja razão é 4. Na fórmula da soma da Pa. temos : S=(a1+an)n/2 Calculando-se o número de termos temos: an=a1+(n-1)r onde 100=4+(n-1)4 96/4=n-1 n=25 Substituindo-se n por 25 na fórmula da soma temos S=(4+100)25/2=1300. Resposta a

8 32) Uma empresa madeireira, ao desmatar uma floresta, seguia este cronograma: - no primeiro dia - uma árvore derrubada; - no segundo dia - duas árvores derrubadas; - no terceiro dia - três árvores derrubadas e, assim, sucessivamente. Para compensar tal desmatamento, foi criada uma norma na qual se estabelecia que seriam plantadas árvores segundo a expressão P=2D-1, sendo P o número de árvores plantadas e D o número de árvores derrubadas a cada dia pela empresa. Quando o total de árvores derrubadas chegar a 1275, o total de árvores plantadas, de acordo com a norma estabelecida, será equivalente a a) 2400 b) c) d) e) 2800.

9 Nesta questão devemos prestar a atenção nessa equação: P = 2D - 1. Assim formamos duas PAs: Como a cada dia são derrubadas uma árvore a mais que no dia anterior então temos a primeira PA: PA( 1, 2,,3... n), cuja razão = 1 Como a cada dia são plantadas novas árvores de acordo com a expressão: P = 2D - 1, então: para 1 arvore cortada são plantadas = 1 árvore para 2 arvores cortadas são plantadas = 3 árvores para 3 arvores cortadas são plantadas = 5 árvores Assim, formamos a seguinte PA de árvores PLANTADAS: PA(1, 3, 5... n) Basta agora calcularmos a soma dos n termos da primeira PA para sabermos o n para usar na segunda PA: como a razão = 1 então: an = n S = n(a1 + an)/ 2 S = n(a1 + n)/ = n(1 + n) /2 n² + n = 2250 n² - n = 0 (Resolvemos a equação de 2º grau) = (-1)² - 4. (- 2450) = 9801 Aplicando a fórmula de Bharaskara temos: x = -( -1 ) +- raiz de 9801 / 2. 1 x = / 2 x1 = 50 e x2 = -49 ( Como só serve valores positivos então usamos x = 50) Agora basta encontrarmos a Soma dos 50 primeiros termos da segunda PA (1,3,5... n): calculamos o 50º termo: an = a1 + (n-1).r a50 = a50 = 99 Logo: S = n(a1 + an) / 2 S = 50 (1 + 99) / 2 S = 5000 / 2 S = 2500 Foram plantadas em 50 dias 2500 árvores Alternativa b

10 33) Eddie Sortudo não deseja contar com a sorte e espera ganhar um pouco de tempo, acreditando que a munição do inimigo acabe. Suponha então que, a partir do primeiro número falado por Eddie, ele dirá, cada um dos demais, exatamente 3 segundos após ter falado o anterior, até que chegue ao número determinado pelo seu comandante. Assim, com sua estratégia, Eddie conseguirá ganhar um tempo, em segundos, igual a: a) 177 b) 188 c) 237 d) 240 e) 300 Eddie Sortudo conta 80 números, para cada número a partir do 2º número contado ele ganha 3 segundos então: 79 x 3 = 237 segundos Resposta: item C

11 34) Um agricultor estava perdendo a sua plantação, em virtude da ação de uma praga. Ao consultar um especialista, foi orientado para que pulverizasse, uma vez ao dia, uma determinada quantidade de um certo produto, todos os dias, da seguinte maneira: primeiro dia: 1,0 litro; segundo dia: 1,2 litros; terceiro dia: 1,4 litros;... e assim sucessivamente. Sabendo-se que o total de produto pulverizado foi de 63 litros, o número de dias de duração deste tratamento nesta plantação foi de: a) 21 b) 22 c) 25 d) 27 e) 30

12 Vamos lá: 1º dia: 1 L 2º dia: 1,2 L 3º dia: 1,4 L.... an = 63 litros. Portanto, é uma P.A de razão 0,2, sendo a1 = 1, a2 = 1,2, a3 = 1,4,.... calculando o an. an = a1 + (n - 1).r an = 1 + (n - 1). 0,2 an = 1 + 0,2n - 0,2 an = 0,8 + 0,2n Então, calculando a soma, obtemos: an = (a1 + an).n / 2 63 = (1 + 0,8 + 0,2n).n / = (1 + 0,8 + 0,2n).n 126 = (1,8 + 0,2n)n 126 = 1,8n + 0,2n² 0,2n² + 1,8n = (multiplica ambos membros por 5) n² + 9n = 0 ( Δ = b² - 4ac = 9² (-630) = = 2601) x = (-b ± Δ )/2ª x = (-9 ± 2601)/2 x =( - 9 ± 51)/2 x' = ( )/2 = 42/2 = 21 x" = ( )/2 = -60/2 (desconsiderada) Logo, será gastos 21 dias. Alternativa A.

13 35) Um veículo parte de uma cidade A em direção a uma cidade B, distante 500km. Na 1 hora do trajeto ele percorre 20km, na 2 hora 22,5km, na 3 hora 25km e assim sucessivamente. Ao completar a 12 hora do percurso, a distância esse veículo estará de B? a) 95 km b) 115 km c) 125 km d) 135 km e) 155 km

14 36) A direção de uma escola decidiu enfeitar o pátio com bandeiras coloridas. As bandeiras foram colocadas em linha reta, na seguinte ordem: 1 bandeira vermelha, 1 azul, 2 vermelhas, 2 azuis, 3 vermelhas, 3 azuis, e assim por diante. Depois de colocadas exatamente 99 bandeiras, o número das de cor azul era: a) 55 b) 60 c) 50 d) 45 e) 40

15 Note que, para um número de bandeiras par, temos o mesmo tanto de vermelhas como de azuis 99 não é par, então com certeza foi colocado um excedente de bandeiras vermelhas. Subtraíremos um número x de bandeiras de 99, para o número de vermelhas ficar igual a de azuis a soma de duas PA de razão 1 + um valor x que ainda não sabemos = 99 (1 + n)n/2 + (1 + n)n/2 = 99 - x n^2 + n = 99 - x a soma dos termos têm que ser menor que 99 é óbvio, então acharemos o n que dá o valor mais próximo de x, para então achar o valor de x n^2 + n < 99 n ^2 + n - 99 < 0 arredondando, pois n é natural, vem: n ~ ( )/2 = 19/2 já arredondamos para cima, então temos que arredondar para baixo n = 18/2 = 9 se n = 9, temos o valor mais próximo de 99 que é 90 então x = 9 portanto eles pararam de colocar bandeiras azuis quando chegaram à 9, e ainda colocaram 9 vermelhas excedentes então, o número de azuis é = 45

16 solução 2 1 vermelha + 1 azul = vermelhas + 2 azuis = v + 3a = 6+6 = = = = = = = = 99 portanto, azuis = = 45

17 37) Um trabalho escolar de 150 páginas deverá ser impresso em uma impressora que apresenta os seguintes problemas: nas páginas 6, 12, 18,... (múltiplos de 6) o cartucho de tinta amarela falha e nas páginas 8, 16, 24,... (múltiplos de 8) falha o cartucho de tinta azul. Supondo-se que em todas as páginas do trabalho sejam necessárias as cores amarela e azul, quantas páginas serão impressas sem essas falhas? a) 105 b) 107 c) 113 d) 116 e) 120 São 150 páginas, o cartucho amarelo irá falhar em (inteiro(150/6)=) 25 páginas. Das 150 páginas, o cartucho azul irá falhar em (inteiro(150/8)=) 18 páginas Os dois cartuchos irão falhar nas páginas múltiplas de 6 e de 8 ao mesmo tempo, ou seja, nas páginas múltiplas de (MMC(6, 8)=) 24. Assim teremos (inteiro(150/24)=) 6 páginas nas quais os dois cartuchos irão falhar. Assim teremos 25 páginas sem amarelo, 18 sem azul e 6 sem as duas! Ou seja, teremos ( =) 37 páginas com erros. Porque subtraimos 6? Porque contamos esses 6 erros duas vezes, no amarelo e no azul. Se 37 páginas tiveram falhas, (150-37=) 113 ficaram perfeitas! Resposta: 113

18 38) Em 05 de junho de 2004, foi inaugurada uma pizzaria que só abre aos sábados. No dia da inauguração, a pizzaria recebeu 40 fregueses. A partir daí, o número de fregueses que passaram a frequentar a pizzaria cresceu em progressão aritmética de razão 6, até que atingiu a cota máxima de 136 pessoas, a qual tem se mantido. O número de sábados que se passaram, excluindo-se o sábado de inauguração, para que a cota máxima de fregueses fosse atingida pela primeira vez, foi: a) 15. b) 16. c) 17. d) 18. e) 26. PA ---> a1= an= 136 razão R= 6 an= a1+(n-1).R 136 = 40 +(n-1).6 n-1= 16 n= 17 sábados incluindo a inauguração logo passaram 17-1 = 16 sábados.

19 39) Uma decoradora usou 210 garrafas plásticas de 33 cm de altura para confeccionar uma árvore de natal em forma de triângulo. Para isto usou uma placa triangular na qual colou as garrafas da seguinte forma: uma garrafa na primeira fila, duas na segunda fila, e assim sucessivamente, acrescentando uma garrafa a cada fila. Qual deve ser a altura da placa, sabendo que não há sobreposição de garrafas, não há espaço entre uma fila e outra e que sobram 10 cm no topo e 10 cm na base da árvore? a) 3,8 m b) 5,4 m c) 6,6 m d) 6,8 m e) 7,13 m

20 Sn= 210 <<< TODAS AS GARRAFAS, que ela usou, é a soma de todas. An= n <<< não sei o último termo, só sei que vão faltar 10 cm. n= Não sei também quantas garrafas ela vai usar para montar a árvore A1= 1 <<<< Pois na 1º fileira tem apenas 1 garrafa Agora, colocaremos essas informações na fórmula da Soma de PA : Sn= (A1+An).n/2 210= (1+n).n/2 Agora eu multiplico em cruz e fica: 210.2= (1+n).n.1 420= (1+n).n Agora a distributiva na expressão (1+n).n : 420= 1n+n² Agora eu tenho uma equação de 2º grau, pois o maior expoente é o 2, pois o n está elevado ao quadrado, então, já que é uma equação, passamos o 420 para o outro lado da equação como -420, e igualamos a ZERO, isso é necessário, pois o próprio significado de equação é IGUALDADE, então igualamos a 0 : 1n+n²-420=0 Agora vamos organizar na sequência ax²+bx+c=0 : n²+1n-420=0 Só troquei o 1n e o n² de lugar, para ficar mais fácil, para você perceber que é uma equação de 2º grau, então resolvendo: n²+1n-420=0 a=1 b= 1 c= -420 Δ = b²-4ac Δ = 1²-4.1.(-420) Δ = 1-4.(-420) Δ = Δ = 1681 x= -+- Δ /2a x= -b+-1681/2.1 x= /2 x1= -1+41/2 = 40/2 = 20 x2= -1-41/2 = -42/2 = -21 S= {20, -21} Dessas 2 raízes, qual se encaixa para continuação do exercício ? A raiz 20, pois, a raiz -21, não faz sentido no exercício, pois não temos números de garrafas negativo, continuando então: Chegamos a conclusão que n=20 certo? Então vão ter 20 filas certo? Sim Agora voltando para o enunciado, temos garrafas de 33cm de Altura, e temos o número de garrafas certo? Sim, agora é fácil, só multiplicar 20 por 33, pois temos o número de garrafas e o tamanho delas, multiplicamos para saber o valor total: = 680 CM Tenho, 660 cm, agora também sei que, vão sobrar 10 cm no topo e 10 cm na base, então eu somo com o 660 cm, porque vai faltar : = 680 cm 680 cm, ou 6,8 m Então letra D) 6,8 cm.

21 40) Num laboratório, foi feito um estudo sobre a evolução de uma população de vírus. Ao final de um minuto do início das observações, existia 1 elemento na população; ao final de dois minutos, existiam 5, e assim por diante. A seguinte sequência de figuras apresenta as populações do vírus (representado por um círculo) ao final de cada um dos quatro primeiros minutos. Supondo que se manteve constante o ritmo de desenvolvimento da população, o número de vírus no final de 1 hora era de: a) 241. b) 238. c) 237. d) 233. e) 232. Solução. A sequência (1, 5, 9, 13,...) indica as populações do vírus ao final de cada minuto. Em uma hora há 60 minutos. Logo, devemos calcular o termo a 60. a 1 = 2 r = 4 a 60 = ? a n = a 1 + (n – 1). r a 60 = a r a 60 = a 60 = a 60 = 237

22 41) Um balão viaja a uma altitude de cruzeiro de m. Para atingir esta altitude, ele ascende m na primeira hora e, em cada hora seguinte, sobe uma altura 50 m menor que a anterior. Quantas horas leva o balonista para atingir a altitude de voo? a) 112 horas b) 33 horas c) 8 horas d) 20 horas e) 21 horas Sn=6600 a1=1000 a2=950 r=-50 Sn=(a1+an)n/2 Sn=(2a1+(n-1)r)n/2 6600*2=( n+50)n 13200=( n)n 264=(37-n)n -n²+41n-264=0 n'=[-41+( )¹/²]/(-2)=8 n'=[-41-( )¹/²]/(-2)=33(é na volta, se continuar subindo)

23 42) As quantias, em reais, de cinco pessoas estão em progressão aritmética. Se a segunda e a quinta possuem, respectivamente, R$ 250,00 e R$ 400,00, a primeira possui a) R$200,00 b) R$180,00 c) R$150,00 d) R$120,00 e)R$ 100,00 Lembrando as fórmulas de PA an = a1 + (n - 1)r Para achar a razão a2 = a1 + r a3 = a1 + 2r No enunciado do problema temos o a2 e a5, mas não temos a razão, mas podemos acha-la somente com esses dados, assim: a2 = 250 a5 = 400 a5 = a2 + 3r 400 = r 3r = 400 – 250 3r = 150 r = 50 Então agora vamos achar a quantia da primeira pessoa, assim: a2 = a1 + r 250 = a a1 = 250 – 50 a1 = 200 Portanto a primeira possui R$ 200,00 Alternativa "a"

24 43) Uma seqüência de números reais é dita uma progressão aritmética de segunda ordem quando a seqüência formada pelas diferenças entre termos sucessivos for uma progressão aritmética. Assinale a alternativa na qual se encontra parte de uma progressão aritmética de segunda ordem. a) (0, 5, 12, 21, 23) b) (6, 8, 15, 27, 44) c) (-3, 0, 4, 5, 8) d) (7, 3, 2, 0, -1) e) (2, 4, 8, 20, 30)

25 44) Em um supermercado, as latas de certos produtos são expostas em pilhas, encostadas em uma parede, com 1 lata na primeira fileira (a superior), 2 latas na segunda fileira, 3 latas na terceira e assim por diante. Observe na figura a seguir uma dessas pilhas, com 5 fileiras. Um funcionário deve fazer uma pilha de 1,60m de altura, com latas de 4cm de altura cada uma. Se as latas desse produto são embaladas em caixas com 75 latas em cada caixa, ele necessita retirar do estoque a) 9 caixas e não haverá sobra de latas. b) 10 caixas, mas sobrarão 12 latas. c) 10 caixas, mas sobrarão 30 latas. d) 11 caixas, mas sobrarão 3 latas. e) 11 caixas, mas sobrarão 5 latas.

26 1,60 m = 160 cm 160 cm/4 cm = 40 fileiras o numero de latas é igual a 40*41/2 = caixa com 75 latas 11 caixas com 825 latas sobrarão = 5 latas e) 11 caixas, mas sobrarão 5 latas

27 45) Os números 1, 2, 3, 4, , 9 foram distribuídos, sem repeti-los, nos quadrados da figura. Se, em cada linha, a soma é sempre S, o valor de S é: a) 16 b) 15 c) 17 d) 20 e) 18

28 GABARITO 26 C 27 B 28 A 29 C 30 D 31 A 32 B 33 C 34 A 35 A 36 D 37 C 38 B 39 D 40 C 41 C 42 A 43 B 44 E 45 B


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