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Rede Recíproca em 1D a Espaço real ou direto – rede de bravais Onda Plana e iKx onde K=2 / Para alguns valores de K, a onda plana terá a mesma periodicidade.

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1 Rede Recíproca em 1D a Espaço real ou direto – rede de bravais Onda Plana e iKx onde K=2 / Para alguns valores de K, a onda plana terá a mesma periodicidade da rede de bravais e iK(x+a) = e iKx ou e iKa =1 (K=2 /a) O conjunto de vetores de onda K que produzem ondas planas com a mesma periodicidade de uma dada rede de Bravais é conhecido como rede recíproca. Espaço recíproco – rede de Bravais 2 /a

2 Rede Recíproca em 3D e 2D Conjunto de vetores K com a mesma periodicidade: A rede recíproca também é uma rede de Bravais: Observemos primeiramente que: b i a j = 2 ij Podemos escrever K como uma combinação linear dos vetores b 1, b 2, b 3 e R como combinação linear dos vetores a 1, a 2, a 3 K=k 1 b 1 + k 2 b 2 + k 3 b 3, R=n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 K R = 2 (k 1 n 1 + k 2 n 2 + k 3 n 3 )= 2 inteiro k 1, k 2, k 3 são inteiros 3D: 2D:

3 Célula de Wigner-Seizt Escolha um ponto da rede e trace linhas que conecte este ponto aos vizinhos mais próximos Desenhe bissetrizes cortando, perpendicularmente, as linhas traçadas anteriormente. A menor área definida por estas linhas é a célula de Wigner-Seizt (em laranja)

4 Espaço direto Célula de Wigner-Seizt de uma BCC Célula de Wigner-Seizt de uma FCC Espaço recíproco Zona de Brillouin BCC Zona de Brillouin FCC

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6

7 Estrutura de Bandas para a Ag

8 Rede recíproca em 3D: composta de pontos distribuídos no espaço Rede recíproca em 2D: composta de linhas distribuídas no plano Rede recíproca de um cristal real: superposição das duas redes

9 Nomeclatura de superfícies Notação de Wood: S(hkl)(m n)R - A Notação Matricial: b 1 = s 11 a 1 + s 12 a 2 b 2 = s 21 a 1 + s 22 a 2 s 11 s 12 s 21 s 22 S=

10 Superfícies de Metais Relaxações em superfícies limpas; Reconstruções em superfícies limpas; Reconstruções devido a presença de contaminantes.

11 fcc(100) fcc(110)fcc(111) bcc(100) bcc(111)bcc(110)

12 Relaxações em Metais

13 Por que relaxação?

14 Reconstruções em Metais fcc(110)(1x2): Missing-row Iridium Platina Ouro

15 fcc(100)(1x5): Iridium Platina Ouro

16 bcc(100)c(2x2): Tungstênio

17 Reconstruções em Metais devido à presença de contaminantes Sítios de adsorção de alta simetria no fcc(100): top 4-fold hollow bridge

18 Sítios de adsorção de alta simetria no fcc(110) hollow-tilted long bridge short bridge 2-fold hollow top

19 Sítios de adsorção de alta simetria no fcc(111): bridge 3-fold fcc hollow 3-fold hcp hollow top

20 Co(0001)( 3 3)R30 -CO Å Å Å Å Å

21

22 Rh(111)( 3 3)R30 -CO

23 Rh(111)(2x2)-3CO

24

25 fcc(110)(2x1)-O – missing row/added row O missing rows

26 Ni(111)( 3x 3)R30 -Sn (Sb sobre Ag(111)) Sn sobre Ni(111), Ni(100) e Ni(110) Sn Ni Sn-Ni = (0.45±0.03)Å Sb-Ag = (0.07±0.04)Å

27 Ni(100)c(2x2)-Sn Sn Ni Sn-Ni = (0.44±0.05)Å

28 Ni(110)c(2x2)-Sn (Sb sobre Ag(110)) Sn Ni Sn-Ni = (0.40±0.03)Å Sb-Ag = (-0.05±0.05)Å

29 (111)(100)(110) Sn sobre Ni Sb sobre Ag0.05??-0.05

30 Cu(100)(3x3)-5LiCu(100)(4x4)-10Li


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