Dinâmica de átomos em cristais: fônons

Apresentação em tema: "Dinâmica de átomos em cristais: fônons"— Transcrição da apresentação:

1 Dinâmica de átomos em cristais: fônons
Espalhamento Raman Dinâmica de átomos em cristais: fônons

2 elétrons prop. físicas mov. dos átomos veloc. do som, prop. térmicas calor específico, dilatação térmica, condutividade térmica (semicond. e isolantes) Aproximação adiabática (Born & Oppenheimer): mov. elétrons = mov. caroço (+ rápidos) (+ lentos)

3 O potencial x Energia total do cristal depende da posição do caroço
(0,0,0) n-ésima célula unitária átomo a ra rn=n1a1+n2a2+n3a3 rna=rn+ra una Energia total do cristal depende da posição do caroço

4 O potencial Expansão em série de Taylor:
Termos lineares (em torno da posição de equil.) Eq. acima generaliza o pot. de oscilador harmônico para várias partículas Aproximação harmônica

5 O potencial (const. de acoplamento)
Força no at. a na célula n e direção i, quando at. b na célula m e direção j se move de umbj Num cristal, a invariância de translação implica em:

6 As equações de movimento
Força total = 0 N cel. unitárias r at. na célula 3rN eq. dif. acopladas Para sist. periódicos desacoplamento unai onda plana (Ansatz) (só é definida nos ptos da rede rn)

7 As equações de movimento
Substituindo na eq. anterior: (matriz dinâmica) Então: (sist. linear homogêneo de ordem 3r)

8 As equações de movimento
Rede primitiva: r=1 (1 átomo), i. e., para cada q temos 3 eq. para resolver, graças a simetria translacional Só tem solução se: Para cada q: 3r soluções diferentes para w(q) w(q) relação de dispersão (3r ramos)

9 A cadeia linear diatômica
Modelo: a f f f f n-1 n n n+1 n+1 Lembrando: a, b : 1 ou 2 i : só um valor (linear), podemos desprezar m: n+1, n ou n-1 (Só interação 1os. vizinhos)

10 A cadeia linear diatômica
Então neste caso: Onde as constantes de acoplamento são:

11 A cadeia linear diatômica
Então: Ansatz (ondas planas):

12 A cadeia linear diatômica
Substituindo nas eq. anteriores:

13 A cadeia linear diatômica
A matriz dinâmica fica: E o determinante secular fica:

14 A cadeia linear diatômica
Fazendo Det=0 obtemos a relação de dispersão: A qual é periódica para: Para uma rede qualquer vale: Portanto: e

15 Curvas de dispersão -p/a +p/a 1a. Zona de Brilluoin ramo óptico
(2f /m)1/2 (2f / M2)1/2 ramo acústico (2f / M1)1/2 -p/a +p/a

16 Modos acústicos e ópticos

17 Rede bidimensional quadrada
f2 f1 1 2 3 5 8 4 7 6 Interações até 2os. vizinhos Matriz dinâmica:

18 Em nosso caso: Rede quadrada: i, j x, y
a, b só 1 átomo podemos desprezar m , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (1os. e 2os. vizinhos) f2 f1 1 2 3 5 8 4 7 6 Em nosso caso:

19 As const. de acoplamento
Supondo a força como: fn n ê u(n) u(0) Fn = -fn{ê.[u(0) - u(n)]} ê Lembrando: Força no at. a na célula n e direção i, quando at. b na célula m e direção j se move de umbj

20 Voltando: f2 f1 1 2 3 5 8 4 7 6 Então:

21 Lembrando também que: Temos: Da mesma maneira podemos calcular os outros termos !

22 E o determinante secular fica:

23 1a. zona de Brillouin 2p/a zona de Brillouin G X R L D qy qx
Alguns pontos e direções de alta simetria

24 Pontos e direções de alta simetria
Ao longo da linha L , onde : G X R L D qy qx 2p/a Em G soluções para w iguais a zero, em R iguais a (4f1/M)1/2

25 Pontos e direções de alta simetria
Ao longo da linha D , onde qx = q e qy = 0 : G X R L D qy qx 2p/a Em G soluções para w iguais a zero, em X iguais a [4(f1+f2)/M]1/2 e (4 f2 /M)1/2

26 Dispersão rede quadrada
max. se f1<4f2 G X R L D qy qx 2p/a

27 1a. zona de Brillouin - FCC

28 Dispersão de fônons para o BN cúbico

29 Dispersão de fônons para o Si