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Espalhamento Raman Dinâmica de átomos em cristais: fônons.

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1 Espalhamento Raman Dinâmica de átomos em cristais: fônons

2 prop. físicas elétrons mov. dos átomos veloc. do som, prop. térmicas calor específico, dilatação térmica, condutividade térmica (semicond. e isolantes) Aproximação adiabática (Born & Oppenheimer): mov. elétrons = mov. caroço (+ rápidos) (+ lentos)

3 x (0,0,0) n-ésima célula unitária átomo r r n =n 1 a 1 +n 2 a 2 +n 3 a 3 r n =r n +r u n O potencial Energia total do cristal depende da posição do caroço

4 O potencial Expansão em série de Taylor: Termos lineares 0 (em torno da posição de equil.) Eq. acima generaliza o pot. de oscilador harmônico para várias partículas Aproximação harmônica

5 O potencial (const. de acoplamento) Força no at. na célula n e direção i, quando at. na célula m e direção j se move de u m j Num cristal, a invariância de translação implica em:

6 As equações de movimento Força total = 0 N cel. unitárias r at. na célula 3rN eq. dif. acopladas Para sist. periódicos desacoplamento u n i onda plana (Ansatz) (só é definida nos ptos da rede r n )

7 As equações de movimento Substituindo na eq. anterior: (matriz dinâmica) Então: (sist. linear homogêneo de ordem 3r)

8 As equações de movimento Rede primitiva: r=1 (1 átomo), i. e., para cada q temos 3 eq. para resolver, graças a simetria translacional Só tem solução se: Para cada q: 3r soluções diferentes para (q) (q) relação de dispersão (3r ramos)

9 A cadeia linear diatômica Modelo: n nn-1n+1 a f f ff Lembrando:, : 1 ou 2 i : só um valor (linear), podemos desprezar m: n+1, n ou n-1 (Só interação 1os. vizinhos)

10 A cadeia linear diatômica Então neste caso: Onde as constantes de acoplamento são:

11 A cadeia linear diatômica Então: Ansatz (ondas planas):

12 A cadeia linear diatômica Substituindo nas eq. anteriores:

13 A cadeia linear diatômica A matriz dinâmica fica: E o determinante secular fica:

14 A cadeia linear diatômica Fazendo Det=0 obtemos a relação de dispersão: A qual é periódica para: Para uma rede qualquer vale: Portanto: e

15 Curvas de dispersão /a (2f / M 1 ) 1/2 (2f / M 2 ) 1/2 (2f / ) 1/2 1a. Zona de Brilluoin ramo óptico ramo acústico

16 Modos acústicos e ópticos acústico óptico

17 Rede bidimensional quadrada Interações até 2os. vizinhos Matriz dinâmica: f2f2 f1f

18 Rede quadrada: i, j x, y, só 1 átomo podemos desprezar m 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (1os. e 2os. vizinhos) Em nosso caso: f2f2 f1f

19 fnfn 0 n ê u(n) u(0) F n = -f n {ê.[u(0) - u(n)]} ê Supondo a força como: As const. de acoplamento Lembrando: Força no at. na célula n e direção i, quando at. na célula m e direção j se move de u m j

20 Voltando: Então: f2f2 f1f

21 Lembrando também que: Temos: Da mesma maneira podemos calcular os outros termos !

22 E o determinante secular fica:

23 zona de Brillouin 1a. zona de Brillouin Alguns pontos e direções de alta simetria X R qyqy qxqx 2 /a

24 Pontos e direções de alta simetria Ao longo da linha, onde : Em soluções para iguais a zero, em R iguais a (4f 1 /M) 1/2 X R qyqy qxqx 2 /a

25 Pontos e direções de alta simetria Ao longo da linha, onde q x = q e q y = 0 : Em soluções para iguais a zero, em X iguais a [4(f 1 +f 2 )/M] 1/2 e (4 f 2 /M) 1/2 X R qyqy qxqx 2 /a

26 Dispersão rede quadrada X R qyqy qxqx 2 /a max. se f 1 <4f 2

27 1a. zona de Brillouin - FCC

28 Dispersão de fônons para o BN cúbico

29 Dispersão de fônons para o Si Si


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