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Otimização Prof. Benedito C. Silva IRN UNIFEI Adaptado de: Walter Collischonn / IPH UFRGS.

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1 Otimização Prof. Benedito C. Silva IRN UNIFEI Adaptado de: Walter Collischonn / IPH UFRGS

2 Simulação e Otimização Simulação é o processo de representar matematicamente um sistema, e realizar experimentações para prever seu comportamento quando sujeito a determinadas condições. Ex: Modelos chuva-vazão, modelo de reservatórios, modelos de redes hidráulicas, modelos de redes de fluxo... Otimização é a determinação das condições que resultam no melhor desempenho do sistema. Normalmente envolve a execução de diversas simulações. Exemplos de algoritmos: programação linear, não-linear, dinâmica, técnicas de inteligência artificial... Em ambos os caso podem ser necessários mais de um modelo para representar o sistema. Muitas vezes o modelo de otimização está inserido no modelo de simulação.

3 3 Construção de Modelos Matemáticos Sistema Real Definição e Descrição do Problema Modelo Matemático Solução do Modelo Implementação da Solução Simplificação Decisão Teórica x Política Revisão

4 4 Elementos de um modelo matemático de otimização DECISÕES Identificar quais decisões efetivamente resolvem o problema. O que não conhecemos no problema? RESTRIÇÕES Identificar quais as restrições que limitam as decisões a tomar OBJETIVOS Definir objetivos capazes de indicar que uma decisão é preferível a outras

5 Ex.: Ajuste de modelo hidrologico Encontrar o valor dos parâmetros de um modelo matemático que resultem em uma boa concordância entre dados observados e calculados. Gupta et al.

6 Otimização Encontrar o mínimo ou o máximo de uma função

7 Cálculo analítico Encontrar pontos da função em que a derivada é zero. Vantagens: pode ser rápido, é mais elegante) Desvantagens: problemas de recursos hídricos apresentam funções de picos múltiplos, funções descontínuas, ausência da forma analítica da função, por exemplo

8 Otimização de Sistemas de Recursos Hídricos Superfícies de resposta complexas Pontos extremos mal definidos Regiões planas Muitos ótimos locais Ótimo global apenas pouco melhor do que os ótimos locais

9 Técnicas de otimização Cálculo analítico Técnicas numéricas Busca aleatória Busca direta Mistos

10 Técnicas numéricas - Busca Aleatória Vantagens: funções descontínuas; picos múltiplos Desvantagens: demorado; não existe garantia de atingir o ponto ótimo global Ótimo

11 Técnicas numéricas - Busca direta Estratégia de caminhar morro acima

12 Máximo global Máximo local Função objetivo: F(x1,x2) x1 x2

13 Início: ponto coordenadas (parâmetros) aleatórias X1=valor aleatório entre a e b X2=valor aleatório entre c e d

14 Determina direção de busca: exemplo x2=x2+0,3; x1=x1 Função objetivo melhorou? Não, então tenta no outro sentido.

15 F.O melhorou? Sim, então continua no mesmo sentido

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18 F.O melhorou? Não, então volta para o ponto anterior...

19 F.O melhorou? Sim, então continua no mesmo sentido...e muda a direção de busca.

20 E assim segue até encontrar um ponto em que não existe direção de busca que melhore o valor da FO

21 Rosenbrock: Método um pouco mais eficiente Direção de busca é a que potencialmente dará maior incremento da FO

22 Limitação da busca direta: Ótimos locais Região que atrai solução para o ótimo local

23 Tentativa de contornar problema: Busca direta com inicialização múltipla Várias tentativas; espera se que o ótimo global seja a melhor solução testada. Problema: Ineficiente e ineficaz quando a FO tem muitos ótimos locais

24 Modelos de Otimização Programação linear (Simplex) Programação não-linear Programação dinâmica Algoritmos genéticos Caminhos de formiga …

25 Algoritmos Genéticos Definição da faixa de validade dos parâmetros geração aleatória de pontos (conjuntos de parâmetros) avaliação das funções objetivo para cada ponto reprodução, evolução conjuntos com melhores F.O. têm maior chance de contribuir na reprodução Inspiração na natureza

26 Conceitos de população, reprodução e gerações Filhos são semelhantes aos pais Os pais mais adaptados tem maior probabilidade de gerar filhos Os filhos não são completamente iguais aos pais Algumas regras gerais dos algoritmos genéticos

27 Pais mais adaptados têm maior probabilidade de gerar filhos (sobrevivência do mais apto = seleção natural) Na natureza: indivíduos mais adaptados têm maior probabilidade de sobreviver até chegar à fase reprodutiva e de participar do processo de reprodução. No algoritmo: pontos com maior FO têm maior probabilidade de serem escolhidos para participar dos complexos.

28 Passo 1

29 Passo 2

30 Passo 3

31 Passo 4

32 Passo 5

33 Passo 6

34 Passo 7

35 Passo 8

36 Passo 9

37 Passo 10

38 Passo 20

39 Otimização multi-objetivo Considerar mais de uma FO. Calibração de modelos hidrológicos distribuídos Otimização de sistemas de reservatórios de usos múltiplos (controle de cheias x regularização de vazão) Vazão e evapotranspiração

40 Novos métodos evolutivos Colônia de formigas Enxame de abelhas...


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