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Capítulo 7 Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões 2ª Edição © Gerson Lachtermacher,2005 Programação Não Linear.

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1 Capítulo 7 Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões 2ª Edição © Gerson Lachtermacher,2005 Programação Não Linear

2 Capítulo 7 Conteúdos do Capítulo Programação Não Linear Aplicações Solução Gráfica Resolução no Excel Controle de Estoque Modelo do Lote Econômico Problemas de Localização Caso LCL Telecom S.A.

3 Capítulo 7 Programação Não Linear De forma geral um problema de programação não linear tem a seguinte forma: Nenhum algoritmo resolve todos os problemas que podem ser incluídos neste formato.

4 Capítulo 7 Programação Não Linear Aplicações Problemas de Mix de Produtos em que o lucro obtido por produto varia com a quantidade vendida. Problemas de Transporte com custos variáveis de transporte em relação à quantidade enviada. Seleção de Portfolio com Risco

5 Capítulo 7 Considere o Problema de Programação Linear e sua solução gráfica 1 MaxZxx x2x x3xx srx 4.. xx 00 12, Programação Não Linear Solução Gráfica x2x2 x1x1 (0;6) (2;6) (0;0) (4;0) (4;3) Solução Viável

6 Capítulo 7 Considere o Problema e sua solução gráfica. MaxZxx s.t.x 4 xx 00 12, xx Programação Não Linear Solução Gráfica 0 x x 1 Solução Viável (2;6)

7 Capítulo 7 A solução ótima: é a mesma do problema linear. continua na fronteira do conjunto de soluções viáveis. não é mais um extremo do conjunto de soluções viáveis, mas poderia ainda ocorrer em um ponto extremo. Não existe a simplificação (enumeração) existente em Programação Linear Programação Não Linear Solução Gráfica 0 x x 1 Solução Viável (2;6)

8 Capítulo 7 1 2x2x x3xx srx 4.. xx 00 12, MaxZ=xxxx Programação Não Linear Solução Gráfica x2x2 x1x1 (0;6) (2;6) (0;0) (4;0) (4;3) Solução Viável

9 Capítulo 7 A função objetivo é uma equação quadrática. Programação Não Linear Solução Gráfica

10 Capítulo 7 MaxZ=xxxx = x 1 x 2 Solução Viável Z=907 Z=807 Programação Não Linear Solução Gráfica

11 Capítulo 7 1 2x2x x3xx srx 4.. xx 00 12, MaxZ=xxxx Programação Não Linear Solução Gráfica x2x2 x1x1 (0;6) (2;6) (0;0) (4;0) (4;3) Solução Viável

12 Capítulo 7 A função objetivo é uma equação quadrática Programação Não Linear Solução Gráfica

13 Capítulo 7 Solução no interior do conjunto de soluções viáveis e não mais na fronteira do conjunto x 1 x 2 Solução Viável xxxx=ZMax Programação Não Linear Solução Gráfica

14 Capítulo 7 Programação Não Linear A solução ótima de um problema de programação não linear(NLP), diferentemente de um problema de LP, pode ser qualquer ponto do conjunto de soluções viáveis. Isso torna os problemas de NLP muito mais complexos, obrigando os algoritmos de solução a pesquisar todas as soluções viáveis.

15 Capítulo 7 Programação Não Linear Excel O Excel utiliza o algoritmo GRG (generalized reduced gradient) para chegar à solução para um dado problema. O algoritmo não garante que a solução encontrada é uma solução global. O Solver às vezes tem dificuldades de achar soluções para problemas que tenham condições iniciais para as variáveis iguais a zero. Uma boa medida é começar a otimização com valores diferentes de zero para as variáveis de decisão.

16 Capítulo 7 Programação Não Linear Excel Uma maneira prática para tentar minorar o problema de máximos e mínimos locais é começar a otimização de diversos pontos iniciais, gerados aleatoriamente. Se todas as otimizações gerarem o mesmo resultado, você pode ter maior confiança, não a certeza, de ter atingido um ponto global.

17 Capítulo 7 Programação Não Linear Controle de Estoque Um dos modelos mais simples de controle de estoque é conhecido como Modelo do Lote Econômico. Esse tipo de modelo assume as seguintes hipóteses A demanda (ou uso) do produto a ser pedido é praticamente constante durante o ano. Cada novo pedido do produto deve chegar de uma vez no exato instante em que este chegar a zero.

18 Capítulo 7 Programação Não Linear Controle de Estoque Determinar o tamanho do pedido e a sua periodicidade dado os seguintes custos: Manutenção de Estoque – Custo por se manter o capital no estoque e não em outra aplicação, rendendo benefícios financeiros para a empresa. Custo do Pedido – Associado a trabalho de efetuar o pedido de um determinado produto. Custo de Falta – Associado a perdas que venham a decorrer da interrupção da produção por falta do produto.

19 Capítulo 7 Demanda Anual =100 Lote=25,Pedido= 4 Estoque Médio = 12, meses 25 12,5 25 Demanda Anual =100 Lote=50, Pedidos = 2 Estoque Médio = meses 50 Programação Não Linear Controle de Estoque

20 Capítulo 7 Variável de Decisão Q – Quantidade por Pedido Função Objetivo = Onde: D = Demanda Anual do Produto C = Custo Unitário do Produto S= Custo Unitário de Fazer o Pedido C m = Custo unitário de manutenção em estoque por ano Programação Não Linear Controle de Estoque Constante

21 Capítulo 7 Caso LCL Computadores A LCL Computadores deseja diminuir o seu estoque de mainboards. Sabendo-se que o custo unitário da mainboard é de R$50,00, o custo anual unitário de manutenção de estoque é de R$20,00 e o custo unitário do pedido é de R$10,00, encontre o lote econômico para atender a uma demanda anual de 1000 mainboards.

22 Capítulo 7 Caso LCL Computadores

23 Capítulo 7 Caso LCL Computadores

24 Capítulo 7 Caso LCL Computadores

25 Capítulo 7 Caso LCL Computadores Na solução apresentada do lote econômico, a quantidade de pedidos por ano é fracionário, já que Isso não representa um problema

26 Capítulo 7 Programação Não Linear Problemas de Localização Um problema muito usual na área de negócios é o de localização de Fábricas, Armazéns, Centros de distribuição e torres de transmissão telefônica. Nesses problemas devemos Minimizar a distância total entre os centros consumidores e o centro de distribuição, reduzindo assim teoricamente o custo de transporte ou perdas de transmissão. O usual é se colocar um eixo cartesiano sobre um mapa e determinar a posição dos centro consumidores em relação a uma origem aleatória.

27 Capítulo 7 Caso LCL Telefonia Celular S.A. LocalidadeXY Nova Iguaçu-510 Queimados21 Duque de Caxias105 O Gerente de Projetos da LCL Telefonia Celular S.A., tem que localizar uma antena de retransmissão para atender a três localidades na Baixada Fluminense. Por problemas técnicos a antena não pode estar a mais de 10 km do centro de cada cidade. Considerando as localizações relativas abaixo, determine o melhor posicionamento para a torre.

28 Capítulo 7 Caso LCL Telefonia Celular S.A. Nova Iguaçu (-5,10) Queimados (2,1) Duque de Caxias (10,5) X Y

29 Capítulo 7 Caso LCL Telefonia Celular S.A. Variáveis de Decisão X – Coordenada no eixo X da torre de transmissão Y – Coordenada no eixo Y da torre de transmissão Função-objetivo

30 Capítulo 7 Caso LCL Telefonia Celular S.A. 10)()( )()( )()( YyXx YyXx YyXx Restrições de Distância

31 Capítulo 7 Caso LCL Telefonia Celular S.A. Modelo no Excel =SOMA(D2:D4)

32 Capítulo 7 Caso LCL Telefonia Celular S.A. Parametrização

33 Capítulo 7 Caso LCL Telefonia Celular S.A. Solução


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