Modelos Matemáticos utilizados na PO

Apresentação em tema: "Modelos Matemáticos utilizados na PO"— Transcrição da apresentação:

1 Modelos Matemáticos utilizados na PO
Existem Alguns Modelos Matemáticos utilizados pela Pesquisa Operacional capazes de proporcionar soluções de problemas empresariais: Modelos de Programação Matemática (Otimização Matemática) Modelo de Teoria dos Estoques Modelos de Teoria das Filas Modelos de Teoria dos Jogos Modelo de Teoria dos Grafos

2 Programação Matemática
A área que estuda a otimização de recursos. Busca-se maximizar ou minimizar uma quantidade (Lucro, Custo, Receita, nº de produtos, entre outros)

3 Na programação matemática existe as seguintes áreas:
Otimização Linear (Programação Linear); Otimização Não-Linear; Otimização em Redes; Otimização Multiobjetivo. Otimização Discreta (programação Linear Inteira);

4 Otimização Linear É um modelo determinístico de programação matemática. Neste modelo todas as funções objetivo e restrições são representadas por funções lineares Ex: Minimizar Z = 3.X X2 Sujeito a: X1 + X2 >= 8 6X1 + X2 >= 12 X1 + 3X2 >= 9 X1 >= 0; X2 >= 0

5 Otimização Linear Principais técnicas utilizadas para resolução deste modelo de programação matemática: Método Simplex; Método de pontos interiores;

6 Otimização Linear Principais áreas de aplicação:
Administração da produção; Análise de Investimentos; Alocação de recursos limitados; Planejamento regional; Logística Custo de transporte; Etc.

7 Otimização Não-Linear
Neste modelo pelo menos uma das funções objetivo e/ou restrições são representadas por funções não-lineares. Ex: Max s.a:

8 Otimização Não-Linear
Alguns métodos utilizados na resolução desse modelo: Generalized Reduced Gradient (GRG); Programação côncava e convexa; Programação quadrática; Metaheurísticas; Etc.

9 Otimização Não-Linear
Exemplos de problemas que utilizam este modelo: problemas de mix de produtos, em que a margem de lucro por produto varia conforme a quantidade vendida; problemas de transporte, com custos variáveis dependendo da quantidade enviada.

10 Otimização em Redes Modelos de rede são utilizados em casos especiais de problemas de programação linear que são mais bem analisados através de uma representação gráfica.

11 Otimização em Redes Alguns métodos utilizados na resolução desse modelo: Algoritmo de Dijkstra; Algoritmo de Ford; Algoritmo de Floyd; Algoritmo de Kruskal; Algoritmo de Ford e Fulkerson

12 Otimização em Redes Exemplos de problemas que utilizam este modelo:
Problemas de transporte; Escala de produção; Problema de caminho mínimo; Problema de caminho máximo; Problema de Fluxo máximo.

13 Otimização Multiobjetivo
Muitos problemas do mundo real apresentam uma coleção de objetivos a serem otimizados que são na maioria das vezes conflitantes entre si, ou seja, é impossível melhorar um objetivo sem deteriorar algum outro. Estes problemas são conhecidos como multiobjetivo ou multicritério e distinguem-se de todos os demais ramos da teoria da otimização quanto ao sentido que o problema adquire com relação ao conceito de solução ótima. Por se tratar de objetivos conflitantes, na otimização multiobjetivo cada objetivo corresponde a uma solução ótima. Isso faz com que esses problemas apresentem um conjunto de soluções ótimas.

14 Otimização Multiobjetivo

15 Otimização Multiobjetivo
Métodos utilizados para este modelo: Algoritmo Evolutivo Multiobjetivo (AEMO) Método de Análise Hierárquica - AHP (Saaty 1980), onde se divide a decisão em níveis hierárquicos para facilitar a compreensão do problema e a avaliação das possíveis soluções. Teoria da Utilidade Multiatributo – MAUT, que é derivada da Teoria da Utilidade (von Neumann e Morgenstern, 1944). Neste caso, são abordados aspectos da teoria da utilidade esperada.

16 Otimização Multiobjetivo
Os métodos da família Electre (Elimination Et Choix Traduisant la Réalité) sugerem um novo conceito do modelo de preferências, mais flexível. Prométhée (Preference Ranking Organization Method for Enrichment Evaluations) - para se colocar as alternativas em ordem de prioridade. No Brasil - método TODIM (Tomada de Decisão Interativa Multicritério), de Gomes e Lima (1992).

17 Otimização Multiobjetivo
Exemplos de aplicações: seleção de ambientes de aprendizagem para ensino a distância: vários critérios a observar( Existem muitas opções no mercado que reúnem uma série de recursos para criação e estruturação de curso na modalidade a distância, incluindo softwares comerciais e softwares desenvolvidos por universidades e grupos de pesquisas, a possibilidade de interação com outras ferramentas, previsibilidade, mecanismos de avaliação, segurança, meios de acesso, grau de flexibilidade necessário para os projetos da instituição, custos e a infraestrutura necessária para suportar tais projetos, a resistência das pessoas (dos professores despreparados para lidar com as novas tecnologias) e as incertezas da alta administração quanto ao posicionamento do negócio na área de EAD).

18 Otimização Multiobjetivo
Seleção de Pessoal: A escolha de candidatos que possam melhor atender aos objetivos estratégicos da empresa

19 Otimização Discreta Também chamada de programação linear inteira.
Problemas de programação linear inteira: variáveis de decisão só assumem valores inteiros; Minimizar Z = 3.X X2 Sujeito a: X1 + X2 >= 8 6X1 + X2 >= 12 X1 + 3X2 >= 9 X1 >= 0; X2 >= 0 Problemas de programação linear inteira mista: as variáveis de decisão assumem valores inteiros ou reais;

20 Otimização Discreta Minimizar Z = 3.X1 + 2. X2
Sujeito a: X1 + X2 >= 8 6X1 + X2 >= 12 X1 + 3X2 >= 9 X1 >= 0; X2 >= 0 Problemas de programação binária ou programação 0-1: variáveis de decisão assumem valores 0 ou 1; Minimizar Z = 5.X1 + 7.X2 +10.X3 + 3X4 + X5 Sujeito a: X1 + 3X2 - 5X3 - X4 + 4X5 <= -2 2X1 - 6X2 + 3X3 + 2X4 - 2X5 <= 0 X2 - 2X3 + X4 + X5 <= -1

21 Otimização Discreta Problemas de otimização combinatória:
Suponha que você possui um conjunto de itens e uma série de regras que podem ser usadas para selecionar alguns elementos (itens) desse conjunto. Usando essas regras, há várias maneiras diferentes de escolher os elementos e criar outros conjuntos menores (ou subconjuntos). Se a cada elemento estiver associado um custo, os subconjuntos criados também terão um custo que é dado, por exemplo, pela soma dos custos de seus elementos. O problema de Otimização Combinatória, em geral, se resume a encontrar, dentre todos os possíveis subconjuntos, aquele cujo custo seja o menor possível. Simples,não?

22 Otimização Discreta Max (lucro p vezes quantidade)
(custo a vezes a quantidade tem que ser menor que b) (Bn representa o espaço dos vetores com n componentes binárias) Ex.: PCV, Problema da Mochila, etc

23 Otimização Discreta Alguns algoritmos aplicados com sucesso aos problemas de programação inteira (PI) são: branch and bound; Branch and cut; branch and price; método de geração de colunas; Heurísticas; Metaheurísticas.

24 Otimização Discreta Aplicações nas mais diversas áreas: Energia;
Transportes; Telecomunicações; Circuitos Eletrônicos; Controle de Tráfego Aéreo; Finanças Biologia Molecular; Etc.

25 Teoria dos Estoques A questão central dos estoques é determinar o que, quando e quanto deve ser encomendado e armazenado. Geralmente é baseado na minimização dos custos de estocagem ao longo de um determinado período que se estabelece o tamanho dos pedidos e o momento em que estes devem ser efetuados. Considera-se como custos de estocagem além dos custos de armazenagem, os custos decorrentes do não atendimento do pedido e os custos de elaboração do pedido.

26 Teoria dos Estoques Na prática verifica-se a ocorrência de um período de tempo, denominado prazo de entrega, o qual ocorre entre o momento em que uma determinada quantidade de um produto a ser estocado é solicitada e o momento em que este produto se torna disponível. Geralmente não é possível determinar com precisão os prazos de entrega, por este motivo estes são tratados como sendo variáveis estocásticas. O objetivo na estocagem é portanto otimizar as chamadas políticas de pedidos ou de estocagem, também denominadas regras de pedidos, através das quais deseja-se determinar um ponto de pedido e uma quantidade de pedido que minimizem os custos de estocagem.

27 Teoria das Filas Estuda as relações entre as demandas em um sistema e os atrasos sofridos pelos usuários deste sistema. A formação de filas ocorre se a demanda excede a capacidade do sistema de fornecer o serviço em um certo período.

28 Teoria das Filas Tipos de sistemas de filas: Fila única e um servidor;
Fila única e múltiplos servidores em paralelo; Múltiplas filas e múltiplos servidores em paralelo; Fila única e múltiplos servidores em série (múltiplos estágios).

29 Teoria das Filas APLICAÇÕES: Bancos; Supermecado;
Produtos aguardando processamento em máquinas ou estações de trabalho; Aviões aguardando para aterrissar em aeroportos; Navios esperando para descarregar em portos; Etc.

30 Teoria dos Jogos A Teoria dos jogos foi desenvolvida com a finalidade de analisar situações competitivas que envolvessem interesses conflitantes. Nessas situações, existem duas ou mais pessoas com objetivos diferentes, sendo que a ação de cada uma influencia, mas não determina completamente o resultado do jogo. Além disso, admite-se que cada jogador sabe os objetivos de seu oponente. A Teoria dos Jogos fornece um resultado para este jogo, admitindo que cada um dos jogadores deseja maximizar seu lucro mínimo esperado, ou, minimizar sua perda máxima esperada.

31 Teoria dos Jogos Os elementos necessários à compreensão do objeto de estudo da Teoria dos Jogos seriam: Existe um conjunto finito de jogadores representados; Cada jogador possui um conjunto finito de opções, denominadas estratégias puras do jogador. Os resultados de cada jogador A função que permite a cada parte combinar suas estratégias A relação de preferências de cada um diante dos resultados

32 Teoria dos Jogos Aplicações:
Campanhas de marketing e políticas de preços de produtos; Campanhas de eleições políticas; Programação de programas de televisão; Planejamento de estratégias militares de guerra; Etc.

33 Teoria dos Grafos A Teoria dos Grafos é o ramo da matemática que estuda as propriedades de grafos. Um grafo é um conjunto de pontos, chamados vértices (ou nodos ou nós), conectados por linhas, chamadas de arestas (ou arcos).

34 Teoria dos Grafos Um grafo com 6 vértices e 7 arestas

35 Teoria dos Grafos Dependendo da aplicação, arestas podem ou não ter direção, pode ser permitido ou não arestas ligarem um vértice a ele próprio e vértices e/ou arestas podem ter um peso (numérico) associado. Se as arestas têm uma direção associada (indicada por uma seta na representação gráfica) temos um grafo direcionado, ou dígrafo.

36 Teoria dos Grafos Exemplo:
Figura 1: Grafo disjuntivo representando 9 operações (3 tarefas) em 3 máquinas.                                                       

37 Teoria dos Grafos Estruturas que podem ser representadas por grafos estão em toda parte e muitos problemas de interesse prático podem ser formulados como questões sobre certos grafos. Exemplo: Problemas de roteamento; Problemas de fluxo em redes.