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1 Os Modelos de Markowitz e Sharpe O CAPM Prof. Dr. Roberto Arruda de Souza Lima Outubro 2013 Baseado em SECURATO, J. R. Decisões financeiras em condições.

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1 1 Os Modelos de Markowitz e Sharpe O CAPM Prof. Dr. Roberto Arruda de Souza Lima Outubro 2013 Baseado em SECURATO, J. R. Decisões financeiras em condições de risco. São Paulo: Atlas, LES 470 – MERCADO DE CAPITAIS

2 2 Fronteira Eficiente de Ativos com Risco Considere uma carteira de investimentos composta dos ativos A 1, A 2 e A 3, nas proporções 1, 2 e 3, respectivamente. São conhecidos os retornos médios I 1, I 2 e I 3, bem como os desvios I S1, I S2 e I S3, respectivamente. As covariâncias dos retornos dos ativos são dadas por: cov(I 1, I 2 ), cov(I 1, I 3 ) e cov(I S2, I S3 ).

3 3 Fronteira Eficiente de Ativos com Risco Retorno: I C I SC : Risco Fronteira Eficiente de Ativos com Risco

4 4 Retorno: I C I SC : Risco No plano variância-retorno:

5 5 Fronteira Eficiente de Ativos com Risco Retorno: I C P r1r1 a1a1 r a Dentre todas as retas que têm um único ponto em comum com a curva, a equação da reta tangente deverá ter o mínimo valor para o termo independente a.

6 6 Diversificação do Risco de uma Carteira Equações das retas que passam por P: Condição para que seja tangente à curva: Ponto P: Em termos de variância retorno Em termos de composição da carteira

7 7 Diversificação do Risco de uma Carteira Assim, o ponto P deve satisfazer às seguintes condições: Em que e e

8 8 Diversificação do Risco de uma Carteira Obtidos os pontos Pode-se obter os pontos que serão pontos da fronteira eficiente de investimentos dos ativos com risco, ambos definidos pela mesma composição das carteiras. Próximo passo: obter a composição da carteira que dá os pontos tipo P.

9 9 Diversificação do Risco de uma Carteira Obter com tais que: Ou seja Função a ser minimizada: submetida à restrição função objetivo Pelo método do multiplicador de Lagrange, tem-se a função objetivo dada por:

10 10 Diversificação do Risco de uma Carteira Deve-se resolver o sistema:

11 11 Diversificação do Risco de uma Carteira Substituindo os valores de tem-se: (PAG.195)

12 12 Diversificação do Risco de uma Carteira Reescrevendo o sistema:

13 13 Diversificação do Risco de uma Carteira Que escrito na forma matricial: Que pode ser indicado por: M.W = U Resolvendo obtém-se: W =M -1 U O que possibilita obter ( 1, 2, 3 ) em função do coeficiente b.

14 14 Diversificação do Risco de uma Carteira Que escrito na forma matricial: Que pode ser indicado por: M.W = U Resolvendo obtém-se: W =M -1 U O que possibilita obter ( 1, 2, 3 ) em função do coeficiente b. Deve-se verificar se a condição 0 1, 2, 3 1) está satisfeita. (o método não capta se ocorre ou não esta condição).

15 15 Modelo de Markowitz – caso geral Que pode ser indicado por: M.W = U Resolvendo obtém-se: W =M -1 U O que possibilita obter ( 1, 2,..., n ) em função do coeficiente b.

16 16 Modelo de Markowitz – caso geral Exemplo: I 1 = 0,15; I S1 = 0,05 cov(I 1,I 2 ) = 0,00245 I 2 = 0,25; I S2 = 0,07 cov(I 1,I 3 ) = 0,00100 I 3 = 0,35; I S3 = 0,10 cov(I 2,I 3 ) = 0,00350

17 17 Modelo de Markowitz – caso geral Resolvendo:

18 18 Modelo de Markowitz – caso geral Questões: 1)Verifique se = 1 2)Qual é a equação do retorno médio da carteira? 3)Qual é a equação do risco da carteira? 4)Qual o retorno no ponto de mínimo risco? (dica: pense em qual deve ser o valor de b no vértice da parábola) 5)Qual é o valor do desvio no ponto de risco mínimo? 6)Qual é a composição da carteira no ponto de risco mínimo? 7)Para quais valores de b são obtidos os pontos da fronteira eficiente?

19 19 Modelo de Markowitz – caso geral Risco: I S Retorno: I A3A3 A Hipérbole nos dá uma carteira alavancada. Fronteira Eficiente de Investimento Com Risco

20 20 Modelo de Markowitz – caso geral Risco: I S Retorno: I Fronteira Eficiente de Investimento Com Risco Considerando que o investimento livre de risco tenha retorno I F = 0,07 0,07 Fronteira Eficiente Geral de Investimento C*

21 21 Carteira de Máxima Razão Recompensa-Variabilidade Conforme a definição de Sharpe, a razão recompensa-variabilidade de um ativo A, indicada por RV A, é dada por: Estendendo o conceito para uma carteira C, tem-se:

22 22 Carteira de Máxima Razão Recompensa-Variabilidade Risco: I S Retorno: I Fronteira Eficiente de Investimento Com Risco IFIF Fronteira Eficiente Geral de Investimento C* I SC I C C

23 23 Carteira de Máxima Razão Recompensa-Variabilidade Risco: I S Retorno: I Fronteira Eficiente de Investimento Com Risco IFIF Fronteira Eficiente Geral de Investimento C* I SC I C C Quando se obtém a reta tangente à fronteira eficiente de investimentos com risco, passando por I F, obtém-se a carteira C* que dá a máxima razão recompensa-variabilidade

24 24 Carteira de Risco Mínimo para um Retorno Fixado Ver item 6.4 (p.207) de SECURATO, J. R. Decisões financeiras em condições de risco. São Paulo: Atlas, 1996.

25 25 Modelo de SHARPE Dificuldade no modelo de Markovitz: -Estabelecer as covariâncias entre os retornos dos ativos que iriam compor as várias carteiras que seriam analisadas (grande número de cálculos). Idéia inicial: substituir as covariâncias pelos coeficientes de correlação linear, visto que

26 26 Modelo de SHARPE Até aqui, poucas vantagens, apenas trocou o cálculo das covariâncias pelo cálculo dos coeficientes de correlação... Seria possível calcular o coeficiente de correlação linear dos retornos dos ativos A 1, A 2,..., A n, em relação a um único ativo, que atuaria como uma espécie de padrão para as comparações? Idéia inicial: substituir as covariâncias pelos coeficientes de correlação linear, visto que:

27 27 Modelo de SHARPE Seria possível calcular o coeficiente de correlação linear dos retornos dos ativos A 1, A 2,..., A n, em relação a um único ativo, que atuaria como uma espécie de padrão para as comparações? Se tivéssemos este ativo padrão poderíamos comparar o retorno de cada ativo com o retorno desse ativo padrão e examinar o grau de correlação linear. IBOVESPA, por exemplo.

28 28 Modelo de SHARPE Ver itens 6.5 e 6.6 de SECURATO, J. R. Decisões financeiras em condições de risco. São Paulo: Atlas, 1996.

29 29 CAPM – Capital Asset Pricing Model Modelo de Precificação de Ativos Financeiros O desenvolvimento do CAPM baseia-se em algumas hipóteses: 1.Os investidores preocupam-se apenas com o valor esperado e com a variância (ou o desvio padrão) da taxa de retorno. 2.Os investidores têm preferências por retorno maior e risco menor. 3.Os investidores desejam ter carteiras eficientes:aquelas que dão o máximo retorno esperado, dado o risco, ou mínimo risco, dado o retorno esperado. 4.Os investidores estão de acordo quanto à distribuição de probabilidades das taxas de retorno dos ativos, o que assegura a existência de um único conjunto de carteiras eficientes. Aceitação da relação risco-retorno

30 30 CAPM – Capital Asset Pricing Model Modelo de Precificação de Ativos Financeiros O desenvolvimento do CAPM baseia-se em algumas hipóteses: 5.Os ativos são perfeitamente divisíveis. 6.Há um ativo sem risco, e os investidores podem comprá-lo e vendê-lo em qualquer quantidade. 7.Não há custo de transação ou impostos, ou, alternativamente, eles são idênticos para todos os indivíduos. As hipóteses implicam em condições de mercado perfeito.

31 31 CAPM – Capital Asset Pricing Model Modelo de Precificação de Ativos Financeiros Seja M a carteira de mercado (todos ativos do mercado), em que seu retorno R M apresenta média R M e risco/desvio R SM. Considere um ativo de risco A com retorno I A, de média R A e risco/desvio R SA. F é um ativo livre de risco com retorno I F. Deseja-se montar uma carteira C composta pelo ativo A e por M.

32 32 CAPM – Capital Asset Pricing Model Modelo de Precificação de Ativos Financeiros Pode-se examinar o que ocorre com o risco e o retorno à medida que variamos a proporção w do ativo A na carteira, calculando: e

33 33 CAPM – Capital Asset Pricing Model Modelo de Precificação de Ativos Financeiros Coeficiente angular das retas tangentes à hipérbole:

34 34 CAPM – Capital Asset Pricing Model Modelo de Precificação de Ativos Financeiros Se 0, a composição de M é alterada. Assim, a condição de equilíbrio de mercado ocorre para = 0, ou seja, quando não há procura do ativo A em proporções maiores do que sua participação na carteira de mercado M.

35 35 CAPM – Capital Asset Pricing Model Modelo de Precificação de Ativos Financeiros Para = 0:

36 36 CAPM – Capital Asset Pricing Model Modelo de Precificação de Ativos Financeiros Para as carteiras C, formadas pelos ativos A e M ( 0), a razão recompensa-variabilidade é: Condição de máxima razão recompensa-variabilidade:

37 37 CAPM – Capital Asset Pricing Model Modelo de Precificação de Ativos Financeiros Condição de máxima razão recompensa-variabilidade:

38 38 CAPM – Capital Asset Pricing Model Modelo de Precificação de Ativos Financeiros Coeficiente angular das retas tangentes à hipérbole definida pelas carteiras do tipo C Máxima razão recompensa- variabilidade da carteiras C

39 39 CAPM – Capital Asset Pricing Model Modelo de Precificação de Ativos Financeiros Em condição de equilíbrio, = 0, ou seja, C = M:

40 40 CAPM – Capital Asset Pricing Model Modelo de Precificação de Ativos Financeiros Retorno Risco F M Carteiras do tipo C, formadas pelos ativos F e M Carteiras do tipo C, formadas pelos ativos A e M

41 41 CAPM – Capital Asset Pricing Model Modelo de Precificação de Ativos Financeiros Retorno Risco F M Carteiras do tipo C, formadas pelos ativos F e M Carteiras do tipo C, formadas pelos ativos A e M Igualando as expressões que nos dão o coeficiente angular da reta tangente à hipérbole:

42 42 CAPM – Capital Asset Pricing Model Modelo de Precificação de Ativos Financeiros

43 43 CAPM – Capital Asset Pricing Model Modelo de Precificação de Ativos Financeiros Esta expressão, obtida por Sharpe, é a equação fundamental do CAPM, caracterizando que o preço de um ativo A, ou seja, seu retorno médio I A, é formado por duas parcelas:

44 44 CAPM – Capital Asset Pricing Model Modelo de Precificação de Ativos Financeiros Preço do ativo livre de risco Ganho básico dado por (R M -I F ) do qual o ativo recebe uma proporção que caracteriza o nível de risco do ativo em relação ao mercado


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