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ME623A Planejamento e Pesquisa. 5. Experimentos Fatoriais 1.Experimento Fatorial com Dois Fatores 2.Experimento Fatorial Generalizado (k Fatores) 3.Experimento.

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1 ME623A Planejamento e Pesquisa

2 5. Experimentos Fatoriais 1.Experimento Fatorial com Dois Fatores 2.Experimento Fatorial Generalizado (k Fatores) 3.Experimento Fatorial 2 k 4.Única Replicação de Um Fatorial 2 k 5.Blocagem e Confundimento em Fatoriais 2 k 6.Experimento Fatorial Fracionado 2 k-p

3 Blocagem em Fatoriais 2 k Já vimos anteriormente como analisar experimentos fatoriais com replicações em blocos Se existem n replicações, cada replicação do fatorial completo é rodada dentro um bloco, isto é, cada bloco contém todos os tratamentos A aleatorização acontece dentro de cada bloco Vamos voltar no exemplo da pipoca, em que tínhamos dois fatores (marca e tempo no microondas) e 3 replicações Suponha agora que os sacos de pipoca usados em cada replicação foram comprados em supermercados diferentes. Nesse caso, cada supermercado constitui um bloco

4 Exemplo – Pipoca FatorReplicação Marca (A) Tempo (B) TratamentoIIIIII (1) a b ab Bloco IBloco IIBloco III (1) = 28(1) = 25(1) = 27 a = 36 a = 32 b = 18 b = 19 b = 23 ab = 31ab = 30ab = 29 Total Blocos B 1 = 113 B 2 = 106B 3 = 111 Experimento da Pipoca em Blocos

5 Blocagem em Fatoriais 2 k Todas as SS são calculadas da mesma forma que no experimento fatorial 2 k A SS Bloco é calculada pelo total dos blocos B 1, B 2 e B 3 :

6 Blocagem em Fatoriais 2 k A Tabela ANOVA (compare com a ANOVA sem blocos): anova(lm(dados~factor(bloco) + factor(marca)*factor(tempo)))

7 Confundimento em Fatoriais 2 k A técnica de blocagem é muito útil quando é possível aplicar todas os tratamentos dentro de cada bloco Mas e quando não é possível realizar uma replicação completa dentro de um bloco? Usamos uma técnica chamada de confundimento Essa técnica arranja um experimento fatorial completo em blocos, onde o tamanho do bloco é menor que o número de tratamentos numa única replicação Isso faz com que certos efeitos (usualmente interações de ordem mais alta) sejam confundidos com os blocos

8 Confundimento em Fatoriais 2 k Os experimentos que iremos estudar aqui são delineamentos em blocos incompletos, já que cada bloco não contém todos os tratamentos Ainda assim, a estrutura especial dos fatoriais 2 k permite uma método de análise simplificado Iremos considerar a construção e análise de fatoriais 2 k em 2 p blocos incompletos, onde p < k Isso quer dizer que podemos usar dois blocos (p= 1 ), quatro blocos (p= 2 ), oito blocos (p= 3 ) e assim por diante

9 Confundimento: Fatoriais 2 k em 2 blocos Suponha que iremos rodar uma única replicação de um fatorial 2 2, ou seja, 4 tratamentos e estes necessitam de um certa quantidade de matéria-prima Cada lote de matéria-prima é suficiente para apenas 2 tratamentos serem testados Então, precisamos de 2 lotes de matéria-prima e cada lote é considerado um bloco Bloco 1 Bloco 2 (1)a abb

10 Confundimento: Fatoriais 2 k em 2 blocos A ordem em que cada tratamento são rodados dentro dos blocos é aleatória Além disso, aleatoriamente decidimos qual bloco rodar primeiro Bloco 1 Bloco 2 (1)a abb

11 Confundimento: Fatoriais 2 k em 2 blocos Tabela dos sinais para um fatorial 2 2 Cálculo dos efeitos principais (ignorando os blocos) Os efeitos de A e B não são afetados pelos blocos (note um + e um nos tratamentos de cada bloco) Tratament o Efeito Fatorial Bloco IABAB (1) a ++ 2 b ab

12 Confundimento: Fatoriais 2 k em 2 blocos Vamos agora calcular o efeito da interação AB: Note que a interação é calculada como a diferença dos tratamentos no Bloco 1 [ (1) e ab ] e os tratamentos no Bloco 2 [ a e b ] Então o efeito da interação AB é idêntico ao efeito do bloco

13 Confundimento: Fatoriais 2 k em 2 blocos Nesse caso dizemos que AB está confundida com blocos (veja a relação na tabela dos sinais) Essa técnica pode ser usada para confundir qualquer efeito (A, B ou AB) com blocos Em geral, usamos essa técnica para confundir a interação de maior ordem

14 Tratamento Efeito Fatorial IABAB C ACBCABC (1) a b ab ++++ c ac bc abc Tabela dos sinais para um fatorial 2 3 Para confundir a interação ABC com blocos, basta escolher os blocos pelas colunas de sinais correspondente ao efeito ABC Tratamento Efeito Fatorial Bloco IABAB C ACBCABC (1) a b ab c ac bc abc Confundimento: Fatoriais 2 3 em 2 blocos

15 Esse esquema pode ser usado para confundir qualquer fatorial 2 k em 2 blocos Fator B Bloco 1 Bloco 2 (1)a abb acc bcabc (1) a b c abc ab ac bc

16 Confundimento: Fatoriais 2 3 em 2 blocos No final das contas, o modelo fatorial em blocos, em termos de parâmetros é o mesmo que o modelo fatorial com a interação Então porque precisamos saber este modelo?

17 Confundimento: Fatoriais 2 3 em 2 blocos No final das contas, o modelo fatorial em blocos, em termos de parâmetros é o mesmo que o modelo fatorial com a interação Então porque precisamos saber este modelo? Porque alguns experimentos são planejados desta maneira Podemos então simplesmente construir a ANOVA?

18 Confundimento: Fatoriais 2 3 em 2 blocos No final das contas, o modelo fatorial em blocos, em termos de parâmetros é o mesmo que o modelo fatorial com a interação Então porque precisamos saber este modelo? Porque alguns experimentos são planejados desta maneira Podemos então simplesmente construir a ANOVA? Estimar o erro replicando o desenho. Ler no livro a extensão para 2 k em 2 p blocos

19 Experimentos Fatoriais Fracionados Já dissemos inúmeras vezes que nos experimentos fatoriais o número de tratamentos aumenta consideravelmente à medida que os aumentamos o número de fatores no estudo Por exemplo: fatorial 2 6 = 64 tratamentos Com apenas uma replicação, temos 63 graus de liberdade no total, que se dividem da seguinte forma: 6 gl para os efeitos principais 15 gl para as interações de 1ª ordem (interações com dois fatores) 42 gl para interações de 2ª ordem e superiores (interações com 3 ou mais fatores)

20 Experimentos Fatoriais Fracionados Em muitos casos, não é possível obter observações para todos os tratamentos Se pudermos assumir que interações de ordem mais altas são não significativas, então podemos obter informação sobre os efeitos principais e interações de ordem mais baixa rodando apenas uma parte (ou fração) de um experimento fatorial completo Esses experimentos são chamados de Fatoriais Fracionados Muito usados em desenvolvimento de produtos e melhoria de processos

21 Experimentos Fatoriais Fracionados O uso principal desse tipo de delineamento é em experimentos pilotos (screening experiments) Experimentos piloto: realizado com muitos fatores com o propósito de identificar os efeitos que são realmente significativos Geralmente realizado na fase inicial e os fatores identificados como importantes serão então estudados num experimento mais completo

22 Fatoriais Fracionados: Idéia Básica 1) Esparsidade: Quando existem muitas variáveis, o processo/sistema é dominado por alguns poucos efeitos principais e interações de baixa ordem 2) Projeção: Os fatoriais fracionados podem ser projetados em experimentos mais completos dentro de um subconjunto de fatores significantes 3) Experimentação Sequencial: Dois ou mais fatoriais fracionados pode ser combinados, sequencialmente, e assim estimar os efeitos principais e interações de interesse

23 Meia Fração (1/2) do Fatorial 2 k ou Fatorial 2 k – 1 Considere a situação na qual 3 fatores, cada um com dois níveis, são de interesse Temos então 2 3 = 8 tratamentos O experimentador tem recursos para obter apenas 4 observações, isto é, metade de uma replicação completa desse fatorial 2 3 Metade de um experimento fatorial 2 3 é chamado de fatorial 2 3 – 1

24 Fatorial Fracionado 2 k – 1 Veja a tabela dos sinais O fatorial 2 3 – 1 é formado pelos tratamentos que tem o sinal + na coluna ABC Tratament o Efeito Fatorial IABABCACBCABC a b c abc ab ++++ ac bc (1)

25 Fatorial Fracionado 2 k – 1 A coluna ABC é que determina a fração do experimento que será rodada Então ABC é chamado de gerador da fração Além disso, como a coluna I é sempre +, dizemos que I = ABC é a relação de definição No geral, a relação de definição será sempre o conjunto de todas as colunas que são iguais à coluna identidade I No nosso exemplo, a única coluna igual a I é ABC

26 As Duas Metades de um Fatorial 2 3 Fator B a b c abc Fator B (1) ab ac bc Fração Principal I = ABC Fração Alternada I = ABC

27 Fatorial Fracionado 2 3 – 1 Tabela dos sinais para a metade que foi realizada: Estimativa dos efeitos principais e interações: Tratamento Efeito Fatorial IABABCACBCABC a b c abc

28 Fatorial Fracionado 2 3 – 1 Notamos que: [A] = [BC] [B] = [AC] [C] = [AB] Dessa forma, é impossível diferenciar A de BC, B de AC e C de AB Na realidade, estamos estimando: A + BC, B + AC e C + AB Dois ou mais efeitos com esta propriedade são chamados de associados (aliases) Portanto, A e BC são associados e indicamos por [A] A + BC Estimativa dos efeitos principais e interações:

29 Fatorial Fracionado 2 3 – 1 No nosso exemplo temos: [A] A + BC [B] B + AC [C] C + AB A estrutura dos associados pode ser encontrada usando a relação de definição I = ABC da seguinte forma: Essa meio fração, com I = ABC, é chamada de fração principal

30 Fatorial Fracionado 2 3 – 1 A meia fração complementar desse experimento é formada pelos tratamentos (1), ab, ac e bc A relação de definição é I = ABC As combinações lineares para essa fração são: [A] A BC [B] B AC [C] C AB Então quando estimamos A, B e C com esta fração particular, estamos na verdade estimando A BC, B AC e C AB

31 Fatorial Fracionado 2 3 – 1 Na prática, não interessa qual fração é usada (principal ou complementar) Ambas frações pertencem à mesma família, isto é, as duas meia frações formam um fatorial 2 3 completo Se depois de rodar uma das metades de um fatorial 2 3, a outra meia fração também é rodada, obtemos então informação sobre todos os 8 tratamentos A partir disso podemos obter estimativas de todos os efeitos analisando as 8 rodadas com um fatorial 2 3 completo em dois blocos com 4 rodadas cada

32 Fatorial Fracionado 2 3 – 1 Estimativas de todos os efeitos podem ser obtidas também através do seguinte: Para todos os pares de combinações lineares, temos: i½([i] + [i])½([i] [i]) AABC BBAC CCAB

33 Fatorial Fracionado O problema é que nem sempre é possível executar mais de um fração Nesse caso, temos que escolher, previamente, os fatores mais importantes a serem considerados Faz sentido um modelo somente com fatores principais, mas não faz sentido um modelo somente com interações Além disso, o modelo deve permitir a existência de número razoável de gl para os resíduos

34 Resolução de um Delineamento Resolução III: Os efeitos principais não estão associados(aliased) com qualquer outro efeito principal, mas efeitos principais estão associados com interações de dois fatores e interações com dois fatores podem estar associadas entre elas. O fatorial 2 3 – 1 anterior é de resolução III (2 III 3 – 1 ) Resolução IV: Os efeitos principais não estão associados com qualquer outro efeito principal ou com qualquer interação de dois fatores, mas interações com dois fatores estão associadas entre elas.

35 Resolução de um Delineamento Resolução V: Os efeitos principais ou interações com dois fatores não estão associados com qualquer outro efeito principal ou interação com dois fatores, mas interações com dois fatores estão associadas com interações de três fatores Em geral, a resolução de um fatorial fracionado em dois blocos é igual ao menor número de letras em qualquer gerador na relação de definição Geralmente, prefere-se delineamentos com a mais alta resolução possível dentro do nível de fracionamento requerido

36 Fatorial Fator Taxa Filtração ABCD=ABCTratamento (1) ad bd45 ++ ab65 ++ cd ac60 ++ bc abcd96 O experimento original é uma única replicação de um fatorial 2 4 Exercício: Quais as conclusões se apenas meia fração do experimento é rodada?


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