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1 Informação Quântica e Teoria da Relatividade Seminário de Teoria Quântica de Campos I Miguel Quartin Junho 2005.

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1 1 Informação Quântica e Teoria da Relatividade Seminário de Teoria Quântica de Campos I Miguel Quartin Junho 2005

2 2 Resumo Conceitos Preliminares Conceitos Preliminares Aquisição de Informação Aquisição de Informação Descoerência Descoerência Matrizes de Kraus e POVMs Matrizes de Kraus e POVMs O Processo Relativístico de Medida O Processo Relativístico de Medida Não Localidade Quântica? Não Localidade Quântica? Analogias Clássicas Analogias Clássicas Entropia Quântica e Relatividade Restrita Entropia Quântica e Relatividade Restrita TQC e Relatividade Geral TQC e Relatividade Geral Conclusões Conclusões Problemas em Aberto Problemas em Aberto Referências Referências

3 3 Conceitos Preliminares O operador densidade ρ: Permite a descrição de estados de mistura Permite a descrição de estados de mistura Possui vantagens na descrição de estados puros: Possui vantagens na descrição de estados puros: | ; e i | resultam no mesmo ρ | ; e i | resultam no mesmo ρ As fórmulas acima são lineares em ρ, mas quadráticas em |. As fórmulas acima são lineares em ρ, mas quadráticas em |. Se o estado for puro:

4 4 Conceitos Preliminares (2) Operador densidade reduzido e traços parciais: Sejam { |u(1) } e { |v(2) } bases de H(1) e H(2)

5 5 Conceitos Preliminares (3) O operador ρ[1] nos permite calcular todos os valores esperados como se o sistema 1 estivesse isolado e seu operador de densidade fosse ρ[1]; O operador ρ[1] nos permite calcular todos os valores esperados como se o sistema 1 estivesse isolado e seu operador de densidade fosse ρ[1]; Não há um vetor de estado que descreva o sistema 1 quando o sist. total não estiver em um estado produto direto. O operador ρ[1], no entanto, sempre existe. Não há um vetor de estado que descreva o sistema 1 quando o sist. total não estiver em um estado produto direto. O operador ρ[1], no entanto, sempre existe. Dificuldade: a evolução temporal de ρ[1] em geral depende do operador ρ completo; Dificuldade: a evolução temporal de ρ[1] em geral depende do operador ρ completo;

6 6 Conceitos Preliminares (4) Um estado quântico não é uma grandeza física, cujo valor (embora desconhecido) seja bem determinado; Um estado quântico não é uma grandeza física, cujo valor (embora desconhecido) seja bem determinado; A noção contrária não possui nenhuma evidência experimental e nos leva a aparentes paradoxos; A noção contrária não possui nenhuma evidência experimental e nos leva a aparentes paradoxos; Estes paradoxos são frutos de uma interpretação incorreta da MQ, que por si só nunca é contraditória; Estes paradoxos são frutos de uma interpretação incorreta da MQ, que por si só nunca é contraditória; | e ρ meras expressões matemáticas que codificam informação sobre potenciais resultados de nossas intervenções; | e ρ meras expressões matemáticas que codificam informação sobre potenciais resultados de nossas intervenções; Uma situação física contendo vários observadores não pode ser descrita por (t) com lei relativística de transformação. Uma situação física contendo vários observadores não pode ser descrita por (t) com lei relativística de transformação. Ex.: Paradoxo EPRB se A mede Z = +1, quando o estado do spin de B muda p/ aquele onde Z = -1 com prob. = 1? Ex.: Paradoxo EPRB se A mede Z = +1, quando o estado do spin de B muda p/ aquele onde Z = -1 com prob. = 1?

7 7 Aquisição de Informação A preparação e a medida são realizadas por dispositivos macroscópicos descritos em termos clássicos; A preparação e a medida são realizadas por dispositivos macroscópicos descritos em termos clássicos; O aparato obedece à MQ durante a interação O aparato obedece à MQ durante a interação Ao término, ele é desquantizado e descrito por uma densidade clás. de Liouville (e não 1 ponto no esp. de fase); Ao término, ele é desquantizado e descrito por uma densidade clás. de Liouville (e não 1 ponto no esp. de fase); Uma medida força o sistema a um salto para o auto- estado associado à variável medida. Uma medida força o sistema a um salto para o auto- estado associado à variável medida. Este salto (ou colapso), é algo que ocorre na nossa descrição do sistema, e não no próprio sistema. Este salto (ou colapso), é algo que ocorre na nossa descrição do sistema, e não no próprio sistema. Se o resultado de uma medida é a ausência de detecção, não importa se isto foi fruto de um detector mal projetado ou de uma prob. < 1 de um detector perfeito ser ativado. O sistema quântico não permanece inalterado! Se o resultado de uma medida é a ausência de detecção, não importa se isto foi fruto de um detector mal projetado ou de uma prob. < 1 de um detector perfeito ser ativado. O sistema quântico não permanece inalterado!

8 8 Aquisição de Informação (2) Intervenções se iniciam por uma interação do sistema com o aparato de medida, chamada pré-medida. Intervenções se iniciam por uma interação do sistema com o aparato de medida, chamada pré-medida. A escolha de U Sλ determina qual propriedade do sistema está correlacionada ao aparato e é, portanto, medida; A escolha de U Sλ determina qual propriedade do sistema está correlacionada ao aparato e é, portanto, medida; Detectores são descritos por operadores positivos E. Detectores são descritos por operadores positivos E. A prob. do detector ser excitado é Tr(ρE ); A prob. do detector ser excitado é Tr(ρE ); Um conj. completo de E constitui uma POVM (Positive Operator-Valued Measure); Um conj. completo de E constitui uma POVM (Positive Operator-Valued Measure); Em geral: POVM medida de observável. Em geral: POVM medida de observável. Estamos supondo que o estado inicial é puro

9 9 Aquisição de Informação (3) A medida envolve: sistema estudado + aparato de medida + ambiente (possui graus de liberdade não-especificados); A medida envolve: sistema estudado + aparato de medida + ambiente (possui graus de liberdade não-especificados); Estes g.d.l. interagem com os g.d.l. relevantes; Estes g.d.l. interagem com os g.d.l. relevantes; Descrição completa do sistema composto C envolve: variáveis microscópicas + var. macroscópicas. Descrição completa do sistema composto C envolve: variáveis microscópicas + var. macroscópicas. Isoladas do ambiente Interagem com o ambiente Propriedade essencial de C: seus estados formam um número finito de sub-espaços ortogonais distinguíveis pelo observador. Propriedade essencial de C: seus estados formam um número finito de sub-espaços ortogonais distinguíveis pelo observador. Cada sub-espaço um resultado da intervenção, que define um elemento de POVM E. Cada sub-espaço um resultado da intervenção, que define um elemento de POVM E.

10 10 Aq. de Info. - Descoerência (4) Seja {|, } uma base para o sist. composto C Seja {|, } uma base para o sist. composto C Sub-espaço macroscópico (associado a um E ) Sub-espaço macroscópico (associado a um E ) Estados microscópicos nesse sub-espaço Estados microscópicos nesse sub-espaço Estados do ambiente correlacionados com sub-espaços distintos de C são aproximadamente ortogonais; Estados do ambiente correlacionados com sub-espaços distintos de C são aproximadamente ortogonais; Ortogonalidade matriz de densidade diagonal em blocos Ortogonalidade matriz de densidade diagonal em blocos Resultado predições estatísticas idênticas àquelas obtidas em uma mistura de estados puros (não-normalizados) | : Resultado predições estatísticas idênticas àquelas obtidas em uma mistura de estados puros (não-normalizados) | : Desaparece o emaranhamento entre estados com distintos Descoerência

11 11 Aq. de Info. – Matrizes de Kraus (5) O passo final da intervenção é descartar parte de C. A parte descartada pode depender de. O passo final da intervenção é descartar parte de C. A parte descartada pode depender de. {|, } novo sistema {|, } novo sistema {|, } parte descartada {|, m } parte descartada Matrizes de Kraus O salto quântico não é um processo dinâmico que ocorre no sistema propriamente dito

12 12 pois U S m é unitária Aq. de Info. – Matrizes de Kraus (6) Probabilidade de ocorrência do resultado : Probabilidade de ocorrência do resultado : Elemento de uma POVM Condição suficiente para não poder haver transferência instantânea de informação: Condição suficiente para não poder haver transferência instantânea de informação:

13 13 O Processo Relativístico de Medida Medidas quânticas são quase-instantâneas. Medidas quânticas são quase-instantâneas. Pergunta: a mudança quase-inst. é causada por um agente exofísico consistente com a teoria da relatividade? Pergunta: a mudança quase-inst. é causada por um agente exofísico consistente com a teoria da relatividade? O importante não é como diferentes detectores se movem em relação um ao outro, mas como os efeitos devidos aos mesmos são descritos em um referencial ou em outro. O importante não é como diferentes detectores se movem em relação um ao outro, mas como os efeitos devidos aos mesmos são descritos em um referencial ou em outro. Sob uma transf. de Lorentz, não só os vários operadores são transformados, mas o modo de calcular o resultado de uma série de intervenções é alterado (pois a ordem cronológica dos operadores muda). Sob uma transf. de Lorentz, não só os vários operadores são transformados, mas o modo de calcular o resultado de uma série de intervenções é alterado (pois a ordem cronológica dos operadores muda). Estes diferentes ordenamentos devem resultar no mesmo conjunto de probabilidades. Este requisito não é trivial! Estes diferentes ordenamentos devem resultar no mesmo conjunto de probabilidades. Este requisito não é trivial!

14 14 O Processo Relativ. de Medida (2) Consideremos o paradoxo EPR à la Bohm (EPRB): um par de partículas de spin ½ preparadas num estado singleto se afastam e são detectas por 2 observadores; Consideremos o paradoxo EPR à la Bohm (EPRB): um par de partículas de spin ½ preparadas num estado singleto se afastam e são detectas por 2 observadores; Cada um mede uma componente de spin em uma direção arbitrária (intervenções são mutuamente do tipo espaço); Cada um mede uma componente de spin em uma direção arbitrária (intervenções são mutuamente do tipo espaço); A evolução do estado quântico deste sistema bipartido parece ser genuinamente distinta nos 2 referenciais; A evolução do estado quântico deste sistema bipartido parece ser genuinamente distinta nos 2 referenciais; Os estados quânticos não são relacionados por T.L., mas todos os resultados observáveis são os mesmos; Os estados quânticos não são relacionados por T.L., mas todos os resultados observáveis são os mesmos; Consistência com o arcabouço teórico impõe relações entre os vários operadores usados; Consistência com o arcabouço teórico impõe relações entre os vários operadores usados; É suficiente para a consistência que os E comutem em tempos iguais (análogo à TQC). É suficiente para a consistência que os E comutem em tempos iguais (análogo à TQC).

15 15 O Processo Relativ. de Medida (3) Temos: Temos: Invariância de Lorentz garante:Donde concluímos que: Há uma T.L. conectando ρ 0 e ρ 0, assim como há uma para ρ f e ρ f, mas não há T.L. p/ os estados intermediários; Há uma T.L. conectando ρ 0 e ρ 0, assim como há uma para ρ f e ρ f, mas não há T.L. p/ os estados intermediários; Apenas nos nossos cálculos matemáticos há uma evolução determinística para o estado do sistema. Esta evolução não é um processo físico!!! Apenas nos nossos cálculos matemáticos há uma evolução determinística para o estado do sistema. Esta evolução não é um processo físico!!!

16 16 O P.R.M. – Não-Localidade? (4) Fenômenos como aquele encontrado no paradoxo EPRB são comumente associados à não-localidade quântica possibilidade de comunicação superluminal; Fenômenos como aquele encontrado no paradoxo EPRB são comumente associados à não-localidade quântica possibilidade de comunicação superluminal; O Teorema de Bell garante que é impossível imitar a MQ por variáveis ocultas qualquer imitação clássica da MQ é necessariamente não-local; O Teorema de Bell garante que é impossível imitar a MQ por variáveis ocultas qualquer imitação clássica da MQ é necessariamente não-local; Mas a MQ não precisa ser não-local. Em particular, a TQC é manifestamente local; Mas a MQ não precisa ser não-local. Em particular, a TQC é manifestamente local; Informação tem que ser carregada por partículas materiais, quantizadas ou não; Informação tem que ser carregada por partículas materiais, quantizadas ou não; T.L. são implementadas por matrizes unitárias (G.L.H. é uma simetria válida) causalidade não pode ser violada por medidas quânticas T.L. são implementadas por matrizes unitárias (G.L.H. é uma simetria válida) causalidade não pode ser violada por medidas quânticas

17 17 O P.R.M. – Analogias Clássicas (5) A relatividade e a MQ estão realmente envolvidas nisso? A relatividade e a MQ estão realmente envolvidas nisso? Experimento clássico análogo ao EPRB bomba explode em 2 partes, carregando momentos angulares opostos: Experimento clássico análogo ao EPRB bomba explode em 2 partes, carregando momentos angulares opostos: Alice e Bob medem componentes arbitrárias de J 1 e J 2 ; Alice e Bob medem componentes arbitrárias de J 1 e J 2 ; A medida de Bob nada diz a respeito do que Alice fez (se é que ela fez algo!); A medida de Bob nada diz a respeito do que Alice fez (se é que ela fez algo!); Bob sabe apenas o que Alice iria obter caso medisse a mesma componente que ele; Bob sabe apenas o que Alice iria obter caso medisse a mesma componente que ele; A analogia é completa se usarmos mecânica estatística: A analogia é completa se usarmos mecânica estatística: A distribuição dos fragmentos é dada por uma fç. de Liouville no espaço de fase. Uma medida de J 1 por Alice altera instan- taneamente a fç. de J 2, não importa quão longe Bob esteja. A distribuição dos fragmentos é dada por uma fç. de Liouville no espaço de fase. Uma medida de J 1 por Alice altera instan- taneamente a fç. de J 2, não importa quão longe Bob esteja. Fç de Liouville apenas uma ferramenta estatística Fç de Liouville apenas uma ferramenta estatística

18 18 Entropia Quântica e Relatividade Descoerência graus de liberdade do ambiente desconhecidos (ambiente é um exosistema); Descoerência graus de liberdade do ambiente desconhecidos (ambiente é um exosistema); V componentes do vetor de estado; V m componentes do vetor de estado; Matriz de densidade do sistema em estudo: Entropia: Conseqüência da relatividade: Conseqüência da relatividade: Variáveis primárias (cuja T.L. depende apenas de ) Variáveis primárias (cuja T.L. depende apenas de ) Ex.: componentes de momento Ex.: componentes de momento Variáveis secundárias (cuja T.L. depende também de p) Variáveis secundárias (cuja T.L. depende também de p) Ex.: spin e polarização Ex.: spin e polarização

19 19 Entropia Quântica e Relatividade (2) Considere uma partícula de spin ½ e massa m > 0: Considere uma partícula de spin ½ e massa m > 0: Entropia: Matriz densidade reduzida: Considere ainda que Bob se afasta de Alice com v const.. Considere ainda que Bob se afasta de Alice com v const.. No referencial de Bob: Ex.: Alice prepara Z a 2 (p) = 0 S = 0 Ex.: Alice prepara Z a 2 (p) = 0 S = 0 No referencial de Bob, mostra-se que: a 2 (p) 0 S 0 No referencial de Bob, mostra-se que: a 2 (p) 0 S 0 Conclusão: S não tem significado invariante, pois não se transforma covariantemente! Conclusão: S não tem significado invariante, pois não se transforma covariantemente!

20 20 Entropia Quântica e Relatividade (3) Não existe uma mecânica estatística relativística para um sistema de N partículas com espaço de fase de dimensão 6N definido pelos p n e q n. Não existe uma mecânica estatística relativística para um sistema de N partículas com espaço de fase de dimensão 6N definido pelos p n e q n. Interações relativísticas são mediadas por campos; Interações relativísticas são mediadas por campos; Uma fç. de Liouville completa deve conter os campos; Uma fç. de Liouville completa deve conter os campos; A partir desta, podemos definir uma fç. de Liouville reduzida, que dependa só dos p n e q n. No entanto, a evolução temporal da fç. reduzida depende dos campos. Se Alice prepara um par de estados, qual a prob. de Bob distinguí-los? Se Alice prepara um par de estados, qual a prob. de Bob distinguí-los?

21 21 Entropia Quântica e Relatividade (4) Consideremos agora fótons. Consideremos agora fótons. Imperfeições nas fibras óticas e efeitos de difração nos receptores levam a regras de superseleção impossível definir uma matriz densidade reduzida para a polarização. Imperfeições nas fibras óticas e efeitos de difração nos receptores levam a regras de superseleção impossível definir uma matriz densidade reduzida para a polarização. Mas podemos definir matrizes densidade efetivas; E construir POVMs. Porém se nos restringirmos a medidas de polarização por estas POVMs não mais existem estados de polarização ortogonais. O teorema de não-clonagem se aplica! Se Bob se move com v em relação a Alice, mostra-se que: Se Bob se move com v em relação a Alice, mostra-se que: Implicações sobre propriedades do canal de comunicação quântico

22 22 TQC e Relatividade Geral Alguns resultados da TQC são importantes na generalização de conceitos como POVMs e emaranhamento; Alguns resultados da TQC são importantes na generalização de conceitos como POVMs e emaranhamento; Corolário do Teorema de Reeh-Schlieder: se modelamos um detector por um operador localizado, este detector apresenta. Corolário do Teorema de Reeh-Schlieder: se modelamos um detector por um operador localizado, este detector apresentacontagens escuras. Corolário do Teorema de Epstein-Glaser-Jaffe: Nenhuma POVM construída por operad. locais satisfaz Ω |E (x)| Ω = 0. Corolário do Teorema de Epstein-Glaser-Jaffe: Nenhuma POVM construída por operad. locais satisfaz Ω |E (x)| Ω = 0. Intervenções clássicas em sistemas quânticos são aproximadamente localizadas no espaço e no tempo Intervenções clássicas em sistemas quânticos são aproximadamente localizadas no espaço e no tempo O conceito de posição em um dado tempo não é um atributo do elétron, mas um atributo da interação entre o elétron e um dispositivo de detecção adequado. O conceito de posição em um dado tempo não é um atributo do elétron, mas um atributo da interação entre o elétron e um dispositivo de detecção adequado. -- R. Haag (1996)

23 23 TQC e Relatividade Geral (2) Quão localizados podem ser os detectores? Quão localizados podem ser os detectores? A idealização de um detector por ponto espaço-temporal é claramente impossível; A idealização de um detector por ponto espaço-temporal é claramente impossível; Como garantir que 2 detectores possuem probabilidade zero de se sobrepor? Como garantir que 2 detectores possuem probabilidade zero de se sobrepor? Aparentemente há um compromisso fundamental entre confiabilidade e localizabilidade. Aparentemente há um compromisso fundamental entre confiabilidade e localizabilidade. Problema em aberto... Problema em aberto... Estados com um número definido de partículas conceitos teóricos úteis. Estados com um número definido de partículas conceitos teóricos úteis. Estados experimentalmente acessíveis não são, em geral, auto-estados de operadores número de partículas. Estados experimentalmente acessíveis não são, em geral, auto-estados de operadores número de partículas. A realização física de um único qubit é uma idealização. A realização física de um único qubit é uma idealização.

24 24 TQC e Relatividade Geral (3) Um Bobservador acelerado descreve uma trajetória hiperbólica. Um Bobservador acelerado descreve uma trajetória hiperbólica. Bob nunca não tem acesso à região I. Bob nunca não tem acesso à região I. Onde Alice vê um estado puro, Bob vê um estado de mistura... alguma informação se perdeu. Onde Alice vê um estado puro, Bob vê um estado de mistura... alguma informação se perdeu. Situação análoga a presença de um Situação análoga a presença de um buraco negro Bob I II III IV Se uma partícula cai no buraco negro, sua entropia desaparece? Se uma partícula cai no buraco negro, sua entropia desaparece? Se cai em um buraco negro matéria com correlações quânticas com matéria que permanece fora, essas correlações são observáveis? O estado é descrito pela MQ? Se cai em um buraco negro matéria com correlações quânticas com matéria que permanece fora, essas correlações são observáveis? O estado é descrito pela MQ?

25 25 Conclusões O estado quântico e as funções de onda devem ser encarados como meras ferramentas matemáticas para o cálculo de probabilidades em um dado referencial; O estado quântico e as funções de onda devem ser encarados como meras ferramentas matemáticas para o cálculo de probabilidades em um dado referencial; Colapsos decorrentes de medidas ocorrem apenas na nossa descrição do sistema em questão; Colapsos decorrentes de medidas ocorrem apenas na nossa descrição do sistema em questão; Causalidade não pode ser violada por medidas quânticas; Causalidade não pode ser violada por medidas quânticas; Evolução de estados puros para estados de mistura é a regra geral ao se realizar uma intervenção clássica; Evolução de estados puros para estados de mistura é a regra geral ao se realizar uma intervenção clássica; Entropia não é um conceito covariante de Lorentz; Entropia não é um conceito covariante de Lorentz; TQC impõe um compromisso entre confiabilidade e localizabilidade de detectores. TQC impõe um compromisso entre confiabilidade e localizabilidade de detectores.

26 26 Problemas em Aberto Discussão quantitativa do compromisso imposto pela TQC aos detectores; Discussão quantitativa do compromisso imposto pela TQC aos detectores; Passando da relatividade restrita para a geral, qual o sentido de transporte paralelo de spin? Passando da relatividade restrita para a geral, qual o sentido de transporte paralelo de spin? Em um espaço curvo, isto depende do caminho. Em um espaço curvo, isto depende do caminho. O que significa então dizer que um par de partículas distantes está num estado singleto? O que significa então dizer que um par de partículas distantes está num estado singleto? Como o grupo de rotações O(3) não é mais uma simetria, a classificação e o próprio conceito de partícula torna-se duvidoso. Como o grupo de rotações O(3) não é mais uma simetria, a classificação e o próprio conceito de partícula torna-se duvidoso. Método para a detecção de emaranhamento relativístico que envolva as propriedades espaço-temporais do sistema (ex.: combinar POVMs de spin e localização). Método para a detecção de emaranhamento relativístico que envolva as propriedades espaço-temporais do sistema (ex.: combinar POVMs de spin e localização).

27 27 Referências Referência básica: A. Peres, D. Terno, Rev. Mod. Phys., vol. 76, pág. 93 (2004) A. Peres, D. Terno, Rev. Mod. Phys., vol. 76, pág. 93 (2004) Referências adicionais: C. Cohen-Tannoudji et al., Quantum Mechanics vol. 1 C. Cohen-Tannoudji et al., Quantum Mechanics vol. 1 J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics (2nd ed.) J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics (2nd ed.) L. Reichl, A Modern Course in Stat. Phys. (2nd ed.) L. Reichl, A Modern Course in Stat. Phys. (2nd ed.) J. Preskill, Quantum Information and Computation, notas de aula (1998) J. Preskill, Quantum Information and Computation, notas de aula (1998) R. DInverno, Introducing Einsteins Relativity R. DInverno, Introducing Einsteins Relativity C. Fuchs, J. van de Graaf, IEEE Trans. Inf. Theory, 45, p.1216 C. Fuchs, J. van de Graaf, IEEE Trans. Inf. Theory, 45, p.1216


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