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Variáveis regionalizadas semivariograma empírico krigeagem análise estrutural isotropia e anisotropia efeito pepita, alcance e patamar validação cruzada.

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1 variáveis regionalizadas semivariograma empírico krigeagem análise estrutural isotropia e anisotropia efeito pepita, alcance e patamar validação cruzada P a l a v r a s - c h a v e realidade análise estrutural cenário Geoestatística para geoprocessamento Organizado por Eduardo G. Camargo, DPI-INPE

2 OBJETIVO Apresentar as principais noções básicas de geoestatística para o tratamento de dados geográficos, com exemplos práticos no sistema Sistema de Processamento de Informações Georeferenciadas - SPRING. 7/6/20142

3 TÓPICOS 1) Introdução / Motivação 2) Principais conceitos teóricos 3) A função variograma 4) Modelos teóricos de variograma 5) Isotropia e anisotropia 6) Validação cruzada 7) Krigeagem linear 8) Integração: SPRING e geoestatística 7/6/20143

4 Introdução / Motivação Os métodos geoestatísticos, ou simplesmente geoestatística, foram desenvolvidos graças aos estudos do engenheiro de minas Georges Matheron na França no início dos anos 60. A geoestatística está fundamentada na Teoria das Variáveis Regionalizadas, a qual foi formalizada por Matheron a partir de estudos práticos desenvolvidos por Daniel G. Krige, no cálculo de reservas nas minas de ouro na África do Sul. Atualmente a geoestatística é aplicada em vários campos, desde as ciências da Terra e atmosfera, na agricultura, nas ciências dos solos e hidrologia, estudos ambientais e mais recentemente na epidemiologia. Origem da geoestatística Parte 1 7/6/20144

5 É uma abordagem PROBABILÍSTICA de modelagem, que engloba um conjunto de métodos estatísticos, para a análise e mapeamento de dados distribuídos no espaço e/ou no tempo. O que é geoestatística? Introdução / Motivação Parte 1 Requer o conhecimento de alguns conceitos básicos: Variável aleatória (V.A.) Momentos da V.A. Exs: E[X]), C[X,Y]; Função densidade de probabilidade (FDP); Função de Distribuição Acumulada (FDA): univariada e bivariada; Função aleatória (FA), etc. 7/6/20145

6 A modelagem geoestatística envolve três etapas: 1) Análise: objetiva descrever a variabilidade espacial do fenômeno em estudo, denominada de análise estrutural ou modelagem do semivariograma. 2) Inferência: objetiva estimar valores de uma variável distribuída no espaço em locais não amostrados, denominada de krigeagem. 3) Simulação: objetiva construir um conjunto de realizações equiprováveis ou igualmente representativa do fenômeno em estudo. Introdução / Motivação Parte 1 7/6/20146

7 Região de estudo interpolação krigeagem análise estrutural Construção de cenários Mapas de incerteza simulação condicionada Realizações equiprováveis Superfície estimada do fenômeno investigado Superfície da variância da estimativa análise exploratória Etapas da modelagem geoestatística Introdução / Motivação Parte 1 7/6/20147

8 Porque usar geoestatística? Área de Estudo P r o c e d i m e n t o s d e t e r m i n í s t i c o s geoestatística Amostras de campo % teor de argila inverso da distância média Simples vizinho + próximo Fazenda Canchim São Carlos - SP Introdução / Motivação Parte 1 7/6/20148

9 Principais conceitos teóricos Parte 2 Variável aleatória (V.A.): Uma visão prática no contexto da geoestatística. A z(u) u: é um vetor de coordenadas geográficas [u(x,y)]; localizações geográficas onde a variável Z é medida ou observada, denotado por z(u), u A. z(u) x y Z representa a variável em estudo. 7/6/20149

10 Principais conceitos teóricos Parte 2 Variável aleatória (V.A.): Uma visão prática no contexto da geoestatística. Localmente, um valor z(u), u A, é interpretado como uma das possíveis realizações da variável aleatória Z(u). A z(u) =45 V.A. Z(u) F(u, z) = Prob[Z(u) z] Função de Distribuição Acumulada (FDA) univariada Z(u) FDA 0 1 p=0,4 z=45 F(u, z) | (n) = Prob[Z(u) z | (n)] z*(u) =51 z*=51 p=0,8 7/6/201410

11 Principais conceitos teóricos Parte 2 z(u) A h é um vetor distância entre dois pontos. z(u+h) h Na geoestatística um caso de particular interesse de F.A. é a FDA bivariada. F(u, u+h; z 1, z 2 ) = Prob[Z(u) z 1, Z(u+h) z 2 ] Momento da FDA bivariada: Covariância C[Z(u),Z(u+h)] = E[Z(u).Z(u+h)] – E[Z(u)].E[Z(u+h)] Função aleatória (F.A.): Uma visão prática no contexto da geoestatística. O conjunto de V.A., {Z(u), u A}, é uma F.A. Z(u). 7/6/201411

12 Principais conceitos teóricos Parte 2 PROBLEMA: como deduzir a lei de probabilidade da F.A. Z(u) a partir de uma única realização da mesma? O que conhecemos de fato até agora? Em outras palavras, tudo o que se sabe da F.A. Z(u) é uma única realização. {z(u), u A} A z(u) Resposta: uma única amostragem do fenômeno de interesse. 7/6/201412

13 Principais conceitos teóricos Parte 2 O paradigma que se estabelece, para inferir as FDA e interpolar valores em localizações não amostradas, é o de assumir a hipótese de estacionariedade. a estacionariedade é uma propriedade do modelo probabilístico, uma hipótese necessária para realização de inferências; não é uma característica do fenômeno espacial em estudo; é uma decisão feita pelo analista, afim de verificar a adequação do modelo à realidade a ser investigada. 7/6/201413

14 Principais conceitos teóricos Parte 2 Hipótese de estacionariedade de 2 a ordem Considera somente o primeiro e o segundo momentos invariantes da F.A. 1) E[Z(u)] = m, u A E[Z(u)] = E[Z(u+h)] = m ou E[Z(u)] - E[Z(u+h)] = E[Z(u) - Z(u+h)] = 0 A z(u+h) z(u) h 7/6/201414

15 Principais conceitos teóricos Parte 2 Hipótese de estacionariedade de 2 a ordem 2) a covariância entre os pares Z(u) e Z(u h), separados por um vetor distância h, é estacionária. C[Z(u), Z(u h)] = E[(Z(u).(Z(u h)] E[Z(u)].E[Z(u h)] u A A z(u) h h h z(u+h) h h h h h h 7/6/201415

16 Principais conceitos teóricos Parte 2 Hipótese de estacionariedade de 2 a ordem 3) A estacionariedade da covariância implica na estacionariedade da variância: Var[Z(u)] = E[Z(u) m] 2 = E[Z 2 (u)] 2.E[Z(u)].m m 2 = = E[Z(u).Z(u 0)] 2m 2 m 2 = = E[Z(u).Z(u 0)] m 2 = C(0), u A A z(u) Covariância 7/6/201416

17 Principais conceitos teóricos Parte 2 Hipótese de estacionariedade intrínseca 1) E[Z(u) Z(u h)]=0, u A. 2) Var[Z(u) Z(u h)] = E{[Z(u) Z(u h)] 2 } = 2 (h) em que: 2 (h) é denominado de função variograma e (h) de semivariograma (h) = C(0) C(h) a covariância C(h) e o semivariograma (h) são ferramentas equivalentes para caracterizar a dependência espacial. estabelece que os incrementos [Z(u) Z(u h)] tem esperança zero e variância somente em função de h, assim: 7/6/201417

18 Principais conceitos teóricos Parte 2 (h) = C(0) C(h) relação entre as funções semivariograma e covariância Variância = 7/6/201418

19 Variograma 2 (h) Parte 3 O variograma é uma ferramenta básica de suporte às técnicas de geoestatística, que permite representar quantitativamente a variação de um fenômeno regionalizado no espaço (Huijbregts, 1975). A z(u h) z(u) h 2 (h) mede o grau de dissimilaridade entre pares de observação separados pelo vetor distância h; é função do vetor distância h; depende da geometria de amostragem. 7/6/201419

20 Variograma 2 (h) Parte 3 Definição: esperança matemática (E) do quadrado da diferença entre os valores de pontos no espaço separados pelo vetor distância h. 2 (h) = E{[z(u) z(u h)] 2 } Através de um conjunto amostral, {z(u 1 ), z(u 2 ),..., z(u N )}, o variograma pode ser estimado por: [ z(u i ) z(u i h)] 2 N(h)N(h) 1 i = 1 N(h)N(h) 2 (h) = ^ N(h): é o número de pares, z(u i ) e z(u i h), separados por h; 2 (h): é o estimador de variograma; ^ z(u i ) e z(u i h): são valores observados nas localizações u i e u i h. h: é o vetor distância (modulo e direção) entre pares de observação; em que: 7/6/201420

21 Semivariograma (h) Parte 3 Definição: metade da esperança matemática (E) do quadrado da diferença entre os valores de pontos no espaço separados pelo vetor distância h. Através de um conjunto amostral, {z(u 1 ), z(u 2 ),..., z(u N )}, o semivariograma pode ser estimado por: [ z(u i ) z(u i h)] 2 2N(h) 1 i = 1 N(h)N(h) (h) = ^ (h): é o estimador de semivariograma; ^ h, N(h), z(u i ) e z(u i h): conforme definidos anteriormente. em que: (h) = E{[z(u) z(u h)] 2 } 1 2 7/6/201421

22 Semivariograma (h) Parte 3 A figura ilustra um semivariograma empírico (ou experimental) com características muito próximas do ideal. alcance (a) patamar (C) efeito pepita (C 0 ) h (h) 7/6/201422

23 Semivariograma (h) Parte 3 Cálculo do semivariograma a partir de amostras regularmente espaçadas. h vetor distância h [ z(u i ) z(u i h)] 2 2N(h) 1 i = 1 N(h)N(h) (h) = ^ 0o0o 90 o 180 o 45 o N S L direções de análise (h) = (h) função simétrica C0C0 a C h (km) km 7/6/201423

24 Semivariograma (h) Parte 3 Cálculo do semivariograma a partir de amostras irregularmente espaçadas. [ z(u i ) z(u i h)] 2 2N(h) 1 i = 1 N(h)N(h) (h) = ^ parâmetros adicionais tolerância do incremento (lag) tolerância angular largura de banda 7/6/201424

25 Semivariograma (h) Parte 3 Cálculo do semivariograma a partir de amostras irregularmente espaçadas. Semivariograma omnidirecional => tolerância angular = 90 o direção de análise (do vetor h) não importa. h (1,30 o ) h (1,135 o ) h (1,225 o ) h (1,5 o ) 0o0o 90 o 270 o 180 o h (1,45 o ) [ z(u i ) z(u i h)] 2 2N(h) 1 i = 1 N(h)N(h) (h) = ^ h (|h|; ) C0C0 a C h (km) Exemplo: incremento (lag) = 1 km tolerância lag = 0,5 km direção de análise tolerância angular = 90 o 90 o 45 o 0o0o 135 o 315 o 180 o 7/6/201425

26 Semivariograma (h) Parte 3 Cálculo do semivariograma a partir de amostras irregularmente espaçadas. Semivariograma direcional => tolerância angular < 90 o h (1; 30 o ) h (1; 304 o ) h (1; 237 o ) h (1; 5 o ) 0o0o 90 o 270 o 180 o h (1; 60 o ) [ z(u i ) z(u i h)] 2 2N(h) 1 i = 1 N(h)N(h) (h) = ^ (h) direção do vetor h Tolerância angular < 90 o 90 o Exemplo: incremento (lag) = 1 km tolerância lag = 0,5 km direção de análise = 90 o tolerância angular = 35 o 55 o 90 o 125 o |______|_______| h (|h|; ) 6 7 h (1,6; 57 o ) C0C0 a C h (km) /6/201426

27 Modelos teóricos de semivariograma Parte 4 O gráfico do semivariograma empírico estimado por é formado por uma série de valores, sobre os quais se objetiva ajustar uma função. (h) ^h O modelo de ajuste deve representar o melhor possível o comportamento de (h). alcance (a) patamar (C) efeito pepita (C 0 ) contribuição (C 1 ) C C 0 C 1 7/6/201427

28 Modelos teóricos de semivariograma Parte 4 Modelo de ajuste esférico Sph(h) h a 1 0 C = 1 C0C0 h (h) C1C1 C C 0 C 1 a Normalizado Na prática: C 0 > 0 e C 1 > 1 7/6/201428

29 Modelos teóricos de semivariograma Parte 4 Modelo de ajuste gaussiano Normalizado Na prática: C 0 > 0 e C 1 > 1 Gau(h) h a 1 0 C 1 C0C0 h a (h) C1C1 C C 0 C 1 7/6/201429

30 Modelos teóricos de semivariograma Parte 4 Modelo de ajuste exponencial Normalizado Na prática: C 0 > 0 e C 1 > 1 Exp(h) h a 1 0 C = 1 C0C0 h a (h) C1C1 C C 0 C 1 7/6/201430

31 Modelos teóricos de semivariograma Parte 4 Modelo de ajuste potência Normalizado Na prática: C 0 > 0 e C 1 > 1 Pot(h)h 0 e<1 e=1 e>1 h (h) e<1 e=1 e>1 C0C0 7/6/201431

32 C0C0 Modelos teóricos de semivariograma Parte 4 Modelo de ajuste aninhados Existem determinados fenômenos em que são necessários modelos mais complexos de semivariograma para explicar suas variações espaciais. Estes modelos são combinações de modelos simples, denominados aninhados. Ex: Modelo aninhado duplo esférico (h) C1C1 C = C 0 + C 1 + C 2 C2C2 a1a1 a2a2 h 7/6/201432

33 Isotropia Parte 5 Quando a variabilidade espacial de um fenômeno em estudo é a mesma em todas as direções, diz-se que o fenômeno é isotrópico. O N S L O N S L Imagem nível de cinzaComposição Colorida 7/6/201433

34 Isotropia Parte 5 Considere os semivariogramas ilustrados na figura abaixo 0O0O 45 O 90 O 135 O Modelo de ajuste a C CoCo (h) Esta é a representação de um caso simples e menos freqüente, em que a distribuição espacial do fenômeno é denominada isotrópica. Neste caso, um único modelo é suficiente para descrever a variabilidade espacial do fenômeno em estudo. 7/6/201434

35 Anisotropia Parte 5 Quando a variabilidade espacial de um fenômeno em estudo não é a mesma em todas as direções, diz-se que o fenômeno é anisotrópico. O N S L O N S L Imagem nível de cinzaComposição Colorida maiormenor direções de continuidade espacial 7/6/201435

36 Anisotropia Parte 5 Uma forma de detectar a anisotropia é através da observação dos semivariogramas obtidos para diferentes direções. N LO S 0o0o 90 o 45 o 135 o Convenções direcionais usadas na geoestatística A análise da anisotropia objetiva detectar as direções de maior e menor continuidade espacial do fenômeno investigado. 7/6/201436

37 Anisotropia Parte 5 Um modo direto de visualizar e calcular os parâmetros (fator e ângulo) da anisotropia é através do esboço gráfico de uma elipse (ou diagrama de rosa ). N LO S 180 o 0o0o 90 o 30 o 120 o a1a1 a2a2 Parâmetros da anisotropia Fator de anisotropia (Fa) Fa = a 2 / a 1 Ângulo de anisotropia (Aa) Aa = tomado da direção Norte para o eixo de maior continuidade. No exemplo = 30 o. Tipos de anisotropia: geométrica, zonal e combinada. 7/6/201437

38 Anisotropia Parte 5 Neste caso, os semivariogramas apresentam o mesmo patamar (C) com diferentes alcances (a) para o mesmo modelo. (h) Mesmo modelo para as duas direções a C ah CoCo 120 O 30 O Anisotropia geométrica 7/6/201438

39 Anisotropia Parte 5 Anisotropia zonal Neste caso, os semivariogramas apresentam diferentes patamares (C) com mesmo alcance (a) para o mesmo modelo. Como a isotropia, a anisotropia zonal é um caso menos freqüente presente nos fenômenos naturais. (h) Mesmo modelo para as duas direções a C h CoCo 150 O 60 O C 7/6/201439

40 Anisotropia Parte 5 Anisotropia combinada (geométrica + zonal) Neste caso, os semivariogramas apresentam diferentes patamares (C) e diferentes alcances (a) para o mesmo modelo. Pode apresentar também diferentes efeitos pepita. (h) Mesmo modelo para as duas direções a C h CoCo 150 O 60 O C a 7/6/201440

41 Semivariograma de superfície Parte 3 É um gráfico 2D que fornece uma visão geral da variabilidade espacial do fenômeno em estudo. Também conhecido como Mapa de Semivariograma. Utilizado para detectar os eixos de Anisotropia (direções de maior e menor continuidade espacial). N 0 o L 90 o ângulo de anisotropia 7/6/201441

42 Semivariograma de nuvem Parte 3 outliers É um gráfico das semivariâncias de todos os pares de pontos tomados para um determinado lag (distância). O variograma de nuvem é útil para detectar a presença de outliers. 7/6/201442

43 Validação cruzada Parte 6 É um procedimento para verificar a adequação do modelo de ajuste ao semivariograma Aprova ? Modelo semariograma Sim Não ? ? ? ? ? Análises – estatísticas do erro – histograma do erro – diagrama espacial do erro – diagrama de valores observados versus estimados 7/6/201443

44 Validação cruzada Parte 6 Análise de resultados 7/6/201444

45 Krigeagem Parte 7 O termo krigeagem é derivado do nome Daniel G. Krige A krigeagem é um estimador estocástico que depende da análise de correlação espacial baseada em semivariograma. Áreas de Aplicações: mapeamento geológico (Verly et al., 1984) mapeamento solo (Burgess e Webster, 1980) mapeamento hidrológico (Kitanidis et. al., 1983) mapeamento atmosférico (Lajaunie, 1984) A krigeagem engloba um conjunto de estimadores: krigeagem Simples (*) krigeagem Ordinária (*) krigeagem Universal co-krigeagem krigeagem por indicação Outros 7/6/201445

46 Krigeagem Parte 7 Envolve uma combinação linear de n valores em pontos vizinhos. u1u1 u2u2 u3u3 u4u4 u0u0 ? z z z z z média local Z = ^ u0u0 i=1 n i. Z uiui i = 1/n inverso do quadrado da distância i = 1/d 2 Z = ^ u0u0 i=1 n i. Z uiui krigeagem Z = ^ u0u0 i=1 n i. Z uiui i = ? 7/6/201446

47 Krigeagem Parte 7 Os pesos são calculados considerando a estrutura de correlação espacial imposta pelo semivariograma u1u1 u2u2 u3u3 u4u4 u0u0 ? z z z z z análise de correlação espacial baseada em semivariograma 1 ajuste do semivariograma experimental (modelo teórico) 2 4 estimador de krigeagem validação do modelo de ajuste 3 7/6/201447

48 Krigeagem Parte 7 Segundo Journel (1988): K. = k => K k = Substituindo os valores de C ij nas matrizes encontram-se os pesos 1, 2,..., e n. Estimador de Krigeagem (Journel, 1988): Variância de Krigeagem (Journel, 1988): Os elementos das matrizes de covariâncias são calcu- lados da seguinte forma (Journel, 1988): 7/6/201448

49 Krigeagem Parte 7 Considere o espaço amostral na figura abaixo. Deseja-se estimar o valor da variável Z no ponto u 0, a partir de z(u 1 ), z(u 2 ), z(u 3 ) e z(u 4 ). Considere ainda, que o semivariograma empírico foi ajustado através de um modelo esférico, com a = 200, C 1 = 20, e C 0 = u1u1u1u1 u2u2u2u2 u3u3u3u3 u4u4u4u4 u0u0u0u0 krigeagem ordinária λ λ λ λ = C C C C CCCC CCCC CCCC CCCC 1 Os elementos das matrizes são calculados: C ij = C 0 + C 1 - (h) Modelo Teórico C 12 = C 21 = C 04 = C 0 + C 1 - (50 2) = 9,84= (2+20) - EXEMPLO 7/6/201449

50 Krigeagem Parte 7 C 14 = C 41 = C 02 = (C 0 + C 1 ) - [ V (100) 2 + (50) 2 ] = 4,98 C 13 = C 31 = (C 0 + C 1 ) - [ V (150) 2 + (50) 2 ] = 1,23 C 23 = C 32 = (C 0 + C 1 ) - [ V (100) 2 + (100) 2 ] = 2,33 C 24 = C 42 = (C 0 + C 1 ) - [ V (100) 2 + (150) 2 ] = 0,29 C 34 = C 43 = (C 0 + C 1 ) - [ V (200) 2 + (50) 2 ] = 0 C 01 = (C 0 + C 1 ) - (50) = 12,66 C 03 = (C 0 + C 1 ) - (150) = 1,72 C 11 = C 22 = C 33 = C 44 = (C 0 + C 1 ) - (0) = u1u1u1u1 u2u2u2u2 u3u3u3u3 u4u4u4u4 u0u0u0u0 EXEMPLO 7/6/201450

51 Krigeagem Parte u1u1u1u1 u2u2u2u2 u3u3u3u3 u4u4u4u4 u0u0u0u0 EXEMPLO Substituindo os valores de C ij nas matrizes, encontra-se os seguintes pesos: 1 = 0,518 2 = 0,022 3 = 0,089 4 = 0,371 Finalmente o valor estimado é dado por: 0,518 z(u 1 ) + 0,022 z(u 2 ) + 0,089 z(u 3 ) + 0,371 z(u 4 ) Z(u 0 ) = ^ COMENTÁRIO: embora as amostras Z 2 e Z 3 tenham pouca influência na estimativa final de Z 0, suas influências não são lineares em relação às suas distâncias a partir de Z 0. A amostra Z 3 está mais distante que Z 2 ; no en- tanto, tem mais influência, 8,9%, que Z 2, 2,2%. Isto ocorre porque Z 0 está diretamente sobre a influência de Z 3, enquanto Z 2 está muito pró- ximo de Z 1. Ao se introduzir as covariâncias no cálculo dos pesos, evita-se associar pesos indevidos a clusters (agrupamentos) de amostras, o que não ocorre com outros métodos baseados somente na distância. 7/6/201451

52 Integração: SPRING e geoestatistica Parte 8 SPRING: geoestatística 7/6/201452

53 Integração: geoestatistica e SPRING Parte 8 7/6/201453

54 Integração: geoestatistica e SPRING Parte 8 7/6/201454

55 Integração: geoestatistica e SPRING Parte 8 7/6/201455

56 Integração: geoestatistica e SPRING Parte 8 7/6/201456

57 Integração: geoestatistica e SPRING Parte 8 7/6/201457


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