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Teorema de Herbrand Equipe: Eduardo Dantas, Stefhany Oliveira, Raranna Alves e Vagner do Carmo.

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1 Teorema de Herbrand Equipe: Eduardo Dantas, Stefhany Oliveira, Raranna Alves e Vagner do Carmo

2 Teorema de Herbrand (1930) Por definição, uma fórmula válida é uma fórmula que é verdadeira sob todas as suas interpretações. Herbrand desenvolveu um algoritmo para encontrar uma interpretação que pode invalidar uma fórmula dada. O método de Herbrand é um procedimento de refutação. Isto é, ao invés de provar que uma fórmula é válida, prova-se que a negação de uma fórmula é inconsistente.

3 Por definição, um conjunto S de cláusulas é insatisfatível se e somente se ele falso sob todas as interpretações sobre todos os domínios. Uma vez que é inconveniente e impossível considerar todas as interpretações sobre todos os domínios, poderia ser interessante buscar-se um domínio especial H, tal que S é insatisfatível se e somente se S é falso sob todas as interpretações sobre este domínio. Felizmente, existe um domínio, que se chama de universo de Herbrand de S, definido como o seguinte:

4 Definição: Sendo H 0 o conjunto de constantes que aparecem em S. Se nenhuma constante aparece em S, então H 0 é formado por uma única constante, representado por H 0 = {a}. Para i = 0, 1, 2,...,H i +1 é a união de H i com o conjunto de todos os termos da forma f n (t 1,..., t n ) para todas as funções n-arg f n que aparecem em S, onde t j, j = 1,..., n, são membros do conjunto H i. Então cada H i é chamado de conjunto de constantes i-nível de S, e H 1 é chamado de Universo de Herbrand de S.

5 Idéia: usar um domínio especial H, tal que S é insatisfatível se e somente se S é falso sob todas as interpretações sobre H H é o universo de Herbrand de S Se H 0 é o conjunto de constantes que aparecem em S. -Se nenhuma constante aparece em S, então H 0 é formado por uma única constante, H 0 ={a} -se f é um símbolo funcional n-ário ocorrendo em S, e -se t 1,...,t n são termos que pertencem a H, então o termo f(t 1,...,t n ) também pertence a H

6 Exemplo 1: Seja S = {P(a), ~P(x) P(f(x))}. Então: H 0 = {a} H 1 = {a, f(a)} H 2 = {a, f(a), f(f(a))}. H 1 = {a, f(a), f(f(a)), f(f(f(a))),...}.

7 Exemplo 2: Seja S = { P(x) q(x), R(z), T(y) ~W(y) }. Uma vez que não existe nenhuma constante em S, H 0 = { a }. Não existe nenhum símbolo de função em S, portanto H = H 0 = H 1 =... = H 1 = { a }.

8 Exemplo 3: Seja S = { P( f(x), a, g(y), b) }. Então H 0 = { a, b} H 1 = { a, b, f(a), f(b), g(a), g(b) } H 2 = {a,b,f(a),f(b),g(a), g(b),f(f(a)),f(f(b)),f(g(a)),f(g(b)),g(f(a)),g(f(b)), g(g(a)), g(g(b))}.

9 BASE DE HERBRAND Um termo-base é um elemento de H Uma base de Herbrand para S é o conjunto B(S) de todas as fórmulas atômicas da forma P(t 1,...,t n ) o P é um símbolo predicativo ocorrendo em S o t 1,...,t n termos-base Exemplo: S = {P(x) Q(x), R(f(y))} H = {a, f(a), f(f(a)),... } B(S) = {P(a), Q(a), R(a), P(f(a)), Q(f(a)), R(f(a)),...}

10 INTERPRETAÇÃO DE HERBRAND Uma interpretação I para S é uma interpretação de Herbrand para S se e somente se: o o domínio U de I é H o para cada constante a de S, aI = a o para cada função f de S, fI(t 1,...,t n ) = f(t 1,...,t n ), para cada t 1,...,t n H(S) Também chamada de H-interpretação

11 Exemplo 4: Considere o conjunto S = { P(x) Q(x), R(f(y)) }. O universo Herbrand H de S é H = { a, f(a), f(f(a)),... }. Existem três símbolos de predicados: P, Q e R. Portanto o conjunto de átomos de S é: A = { P(a), Q(a), R(a), P(f(a)), Q(f(a)), R(f(a)),... }.

12 Algumas H-interpretações de S são as seguintes : I 1 = { P(a), Q(a), R(a), P(f(a)), Q(f(a)), R(f(a)),... }. I 2 = { ~P(a), ~Q(a), ~R(a), ~P(f(a)), ~Q(f(a)), ~R(f(a)),... }. I 3 = { P(a), Q(a), ~R(a), P(f(a)), Q(f(a)), ~R(f(a)),... }.

13 Referências FREITAS, Frederico Luiz Gonçalves de. Lógica de Predicados. Link: [ ]


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