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Curso de Graduação em Administração - GST0073 Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr. Graduação em Administração - ESAG/UDESC Doutorado e Mestrado em Engenharia.

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2 Curso de Graduação em Administração - GST0073 Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr. Graduação em Administração - ESAG/UDESC Doutorado e Mestrado em Engenharia de Produção - UFSC Centro Universitário Estácio de Sá de Santa Catarina

3 Material Didático da Estácio

4 - SUMÁRIO - Conceitos Introdutórios Medidas de Tendência Central Medidas de Ordenamento Medidas de Dispersão Gráficos em Microsoft Excel Medidas de Assimetria e Curtose Distribuições Binomial e Normal Correlação Linear Números Índices Regressão Linear

5 Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr. Disciplina de Análise Estatística Retornar Conceitos Introdutórios

6 ESTATÍSTICA A administração é o processo de planejar, organizar, liderar e controlar os esforços realizados pelos membros da organização e o uso de todos os recursos organizacionais para alcançar os objetivos estabelecidos. ADMINISTRAÇÃO ESTATÍSTICA statusisticum Origem no latim status (estado) + isticum (contar) Informações referentes ao estado Coleta, Organização, Descrição, Análise e Interpretação de Dados

7 Para Sir Ronald A. Fisher ( ): Estatística é o estudo das populações, das variações e dos métodos de redução de dados. O Que é Estatística? ESTATÍSTICA

8 ESTATÍSTICA Eu gosto de pensar na Estatística como a ciência de aprendizagem a partir dos dados... Jon Kettenring Presidente da American Statistical Association, 1997 O Que é Estatística?

9 Estatística é um conjunto de técnicas e métodos que auxilia o processo de tomada de decisão na presença de incerteza. Estatística Descritiva coleta, organização e descrição dos dados. Estatística Inferencial análise e interpretação dos dados. ESTATÍSTICA O Que é Estatística (definição)?

10 ESTATÍSTICA LIVROS DE ESTATÍSTICA

11 Panorama Histórico ESTATÍSTICA Desde a Antiguidade, vários povos já registravam o número de habitantes, de nascimentos e óbitos, que hoje chamamos de estatísticas. Na Idade Média, colhiam-se informações, geralmente com finalidades tributárias ou bélicas. O Livro dos Impostos

12 À partir do século XVI começaram a surgir as primeiras análises sistemáticas de fatos sociais. No século XVIII o estudo de tais fatos foi adquirindo feição verdadeiramente científica. Gottfried Achenwall batizou a nova ciência com o nome de Estatística, determinando o seu objetivo e suas relações com as ciências. O verbete statistics apareceu na Enciclopédia Britânica em ESTATÍSTICA

13 Muitos dos conhecimentos que temos foram obtidos da Antiguidade por acaso e, outros, por necessidades práticas, sem aplicação de um método. Atualmente, quase todo acréscimo de conhecimento resultada da observação e do estudo. Método é um conjunto de meios dispostos convenientemente para se chegar a um fim que se deseja. ESTATÍSTICA Método Científico

14 O método experimental consiste em manter constantes todas as causas (fatores), menos uma, e variar esta causa de modo que o pesquisador possa descobrir seus efeitos, caso existam. ESTATÍSTICA Método Experimental Método Estatístico O método estatístico, diante da impossibilidade de manter as causas constantes, admitem todas essas causas presentes variando-as, registrando essas variações e procurando determinar, no resultado final, que influências cabem a cada uma delas.

15 Fases do Método Estatístico 1) Coleta de dados A coleta direta de dados pode ser classificada relativamente ao fator tempo em: contínua: quando feita continuamente; periódica: quando feita em intervalos constantes de tempo; ocasional: quando feita extemporaneamente, a fim de atender a uma conjuntura ou a uma emergência. ESTATÍSTICA

16 2) Crítica dos dados Obtidos os dados, eles devem ser cuidadosamente criticados, à procura de possíveis falhas e imperfeições. A crítica é externa quando visa às causas dos erros por parte do informante, por distração ou má interpretação das perguntas que lhe foram feitas; e é interna quando visa a observar os elementos originais dos dados da coleta. ESTATÍSTICA Nada mais é do que a soma e o processamento dos dados obtidos e a disposição mediante critérios de classificação. Pode ser manual, eletromecânica ou eletrônica. 3) Apuração dos dados

17 4) Exposição ou apresentação dos dados ESTATÍSTICA 5) Análise dos resultados Por mais diversa que seja a finalidade que se tenha em vista, os dados devem ser apresentados sob a forma adequada (tabelas ou gráficos), tornando mais fácil o exame daquilo que está sendo objeto de tratamento estatístico e ulterior obtenção de medidas típicas. Para tirar conclusões sobre o todo (população) a partir de informações fornecidas por parte representativa do todo (amostra).

18 Uma representação didática … Informação Decisão Dados Estatística ESTATÍSTICA Conhecimento

19 A direção de qualquer tipo de empresa, exige de seu administrador a tarefa de tomar decisões. O conhecimento e o uso da Estatística facilitarão seu trabalho de planejar, organizar, dirigir e controlar a empresa. Por meio da sondagem, da coleta de dados e de recenseamento de opiniões, pode-se conhecer a realidade geográfica e social da empresa, entre outros, e estabelecer suas metas, seus objetivos de curto, médio e longo prazos. ESTATÍSTICA A Estatística nas Empresas

20 A Estatística ajudará também na seleção e organização da estratégia a ser adotada no empreendimento e, ainda, na escolha das técnicas de verificação e avaliação da quantidade e qualidade do produto, e mesmo possíveis lucros e/ou perdas. Tudo que se pensou e se planejou precisa ficar registrado. O esquema do planejamento é o plano, que pode ser resumido, com auxílio da Estatística, em tabelas e gráficos, que facilitarão a compreensão visual dos cálculos matemático-estatísticos que lhes deram origem. ESTATÍSTICA

21 Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr. Disciplina de Análise Estatística Retornar Medidas de Tendência Central

22 ESTATÍSTICA Nos dão uma idéia de onde se localiza o centro, o ponto médio de um determinado conjunto de dados. Medidas: Média, Moda e Mediana. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL f x

23 ESTATÍSTICA É um valor típico representativo de um conjunto de dados. Fisicamente representa o ponto de equilíbrio da distribuição. Modos de calcular 1) para dados simples 2) para valores distintos 3) para agrupamentos em classes MÉDIA x = x / n x = fx / n

24 ESTATÍSTICA 1) Cálculo para dados simples MÉDIA x = x / n x = Soma dos valores x = Soma dos valores n = tamanho da amostra x = ( ) 8 x = 18,75 x = 18,

25 ESTATÍSTICA 2) Cálculo para valores distintos x f fx Total MÉDIA x = fx / n fx = Soma dos produtos fx = Soma dos produtos dos valores distintos dos valores distintos com a frequência com a frequência n = tamanho da amostra x = 134 x = 4,7857 x = 134 x = 4,

26 ESTATÍSTICA 3) Cálculo para agrupamentos em classes Classes f x fx , ,5 277, ,5 332, , ,5 442,5 Total ,5 MÉDIA x = fx / n x = fx / n fx = Soma dos produtos fx = Soma dos produtos dos valores distintos dos valores distintos com a frequência com a frequência n = tamanho da amostra x = 1695,5 x = 67,82 x = 1695,5 x = 67,

27 ESTATÍSTICA É o valor que ocupa a posição central de um conjunto de dados ordenados. Para um número par de termos a mediana é obtida através da média aritmética dos dois valores intermediários. Interpretação: 50% dos valores estão abaixo ou coincidem com a mediana e 50% estão acima ou coincidem com a mediana. MEDIANA

28 ESTATÍSTICA 1) Cálculo da mediana para dados simples MEDIANA P Md =(n+1) / 2 P Md = (9+1) / 2 P Md = 5 o Termo Mediana (Md) = 6

29 ESTATÍSTICA 2) Cálculo da mediana para valores distintos x f fa o o o o o o o Total 28 - MEDIANA P Md =(n+1) / 2 P Md = (28+1) / 2 P Md = 14,5 x entre 14 o e 15 o Termo Mediana (Md) = 5

30 ESTATÍSTICA 3) Cálculo da mediana para agrupamentos em classes Classes f x fa ,5 4 o ,5 9 o ,5 14 o ,5 20 o ,5 25 o Total MEDIANA P Md =(n+1) / 2 P Md = (25+1) / 2 P Md = 13 o Termo Classe Mediana Mediana (Md) = 66,5 (estimativa)

31 ESTATÍSTICA 3) Cálculo da mediana para agrupamentos em classes Pode-se fazer a interpolação da classe mediana MEDIANA Classe Mediana Md = Li + ((P Md - faa) / f ). A Li = limite inferior da classe mediana PMd = posição da mediana faa = frequência acumulada da classe anterior f = frequência da classe mediana A = amplitude da classe mediana

32 ESTATÍSTICA 3) Cálculo da mediana para agrupamentos em classes Interpolação da classe mediana MEDIANA Md = Li + ((P Md - faa) / f ). A Md = 61 + ((13 - 9) / 5). 11 Md = 61 + ((13 - 9) / 5). 11 Mediana (Md) = 69,8 Mediana (Md) = 69,8 Classe Mediana 61 72

33 ESTATÍSTICA É o valor que ocorre com maior frequência em um conjunto de dados. Símbolo = Mo MODA 1) Moda para dados simples Exemplos: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 AMODAL 2, 3, 3, 4, 5, 6,7 MODA = 3 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6 BIMODAL (Mo = 3 e Mo = 5)

34 ESTATÍSTICA 2) Moda para valores distintos x f Total 28 MODA O valor 5 tem o maior número de ocorrências (9) Mo = 5

35 ESTATÍSTICA 3) Moda para agrupamentos em classes Classes f x fa ,5 4 o ,5 9 o ,5 14 o ,5 20 o ,5 25 o Total MODA Moda Bruta Ponto médio da classe de maior frequência Mo = 77,5 É uma estimativa

36 ESTATÍSTICA 3) Moda para agrupamentos em classes MODA Moda de King Mo = Li + (A. f2 / (f1 + f2)) Li = limite inferior da classe modal A = amplitude do intervalo da classe modal f1 = frequência da classe anterior a modal f2 = frequência da classe posterior a modal Mo = 72 + (11. 5) Mo = 77,5 Mo = 77,5

37 ESTATÍSTICA MÉDIA: Apropriada para Dados Numéricos MODA: Apropriada para Dados Nominais MEDIANA: Apropriada para Dados Ordinais Dados Nominais: Só se usa a Moda. Dados Ordinais: Pode-se usar a Mediana e a Moda. Dados Numéricos: Pode-se usar a Média, a Mediana e a Moda. USO DAS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

38 ESTATÍSTICA MÉDIA x MEDIANA x MODA Quando uma distribuição é simétrica, as três medidas coincidem. A assimetria, porém, as torna diferentes e essa diferença é tanto maior quanto maior é a assimetria. Assim, em uma distribuição em forma de sino (normal), temos:

39 ESTATÍSTICA USO DAS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL O salário médio dos empregados é uma relação entre soma e contagem, isto é, o somatório dos salários recebidos dividido pelo número empregados dessa indústria. O salário modal dos empregados de uma indústria é o salário mais comum, isto é, o salário recebido pelo maior número de empregados dessa indústria. A mediana salarial dos empregados de uma indústria é o salário que separa os 50% menores dos 50% maiores.

40 EXERCÍCIO N o 1 Determine a média, a mediana e a moda para o seguinte conjunto de dados ESTATÍSTICA

41 EXERCÍCIO N o 2 Determine o menor valor, o maior valor, a média, a mediana e a moda para o seguinte conjunto de dados ESTATÍSTICA

42 Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr. Disciplina de Análise Estatística Retornar Medidas de Ordenamento

43 ESTATÍSTICA MEDIDAS DE ORDENAMENTO A mediana caracteriza uma série de valores devido à sua posição central, mas também separa a série em dois grupos que apresentam o mesmo número de valores. Assim, além das medidas de posição, há outras que, consideradas individualmente, não são medidas de tendência central, mas estão ligadas à mediana relativamente à sua segunda característica. Essas medidas - os quartis, os percentis e os decis - são, juntamente com a mediana, conhecidas pelo nome genérico de separatrizes (medidas de ordenamento).

44 ESTATÍSTICA São os valores que subdividem uma disposição em rol Medidas: QUARTIS, DECIS E PERCENTIS Os Quartis dividem a disposição em 4 partes iguais Q 1, Q 2, Q 3 Os Decis dividem a disposição em 10 partes iguais D 1, D 2, D 3, D 4 D 5, D 6, D 7, D 8, D 9 D 1, D 2, D 3, D 4, D 5, D 6, D 7, D 8, D 9 Os Percentis dividem a disposição em 100 partes iguais P 1, P 2, P 3, P 4 P 5, P 6,..., P 99 P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6,..., P 99 MEDIDAS DE ORDENAMENTO

45 ESTATÍSTICA Os Quartis dividem a disposição em 4 partes iguais Q 1, Q 2, Q 3 Entre cada quartil há 25% dos dados da disposição Posição do Primeiro Quartil (Q 1 ) = (n + 1) / 4 Posição do Segundo Quartil (Q 2 ) = 2.(n + 1) / 4 Posição do Terceiro Quartil (Q 3 ) = 3.(n + 1) / 4 O segundo quartil coincide com a Mediana (Q 2 = Md) QUARTIS

46 ESTATÍSTICA Os Quartis dividem a disposição em 4 partes iguais Q 1, Q 2, Q 3 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9 QUARTIS Q1Q1Q1Q1 Q2Q2Q2Q2 Q3Q3Q3Q3 7 o termo 14 o termo 21 o termo n = 27

47 ESTATÍSTICA Os Decis dividem a disposição em 10 partes iguais D 1, D 2, D 3, D 4 D 5, D 6, D 7, D 8, D 9 D 1, D 2, D 3, D 4, D 5, D 6, D 7, D 8, D 9 Entre cada decil há 10% dos dados da disposição Posição do Primeiro Decil (D 1 ) = (n + 1) / 10 Posição do Segundo Decil (D 2 ) = 2.(n + 1) / 10 Posição do Nono Decil (D 9 ) = 9.(n + 1) / 10 O Quinto Decil coincide com a Mediana (D 5 = Md) DECIS

48 ESTATÍSTICA Os percentis dividem a disposição em 100 partes iguais P 1, P 2, P 3, P 4 P 5, P 6,..., P 99 P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6,..., P 99 Entre cada percentil há 1% dos dados da disposição Posição do Primeiro Percentil (P 1 ) = (n + 1) / 100 Posição do Segundo Percentil (P 2 ) = 2.(n + 1) / 100 Posição do Nonagésimo Nono Percentil (P 99 ) = 99.(n + 1) / 100 P 50 = Md P 25 = Q 1 P 75 = Q 3 PERCENTIS

49 ESTATÍSTICA 1) Dado o conjunto de dados: a) apresente a disposição em rol; b) o Percentil 50, c) o Primeiro Quartil, d) a Média, e) a Moda e f) a Mediana EXERCíCIOS

50 ESTATÍSTICA 2) Em uma amostra com 2789 valores qual é a posição do oitavo decil, da mediana, do segundo decil, do terceiro quartil e do segundo quartil?

51 ESTATÍSTICA 3) Determine a média, a moda, a mediana, o 1o quartil, o 5o decil, o percentil 75 e o percentil 50 para a seguinte distribuição por valores distintos? Lucro (US$ mil) f Lucro (US$ mil) f

52 Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr. Disciplina de Estatística Retornar Medidas de Dispersão

53 ESTATÍSTICA DISPERSÃO DOS DADOS Vimos que um conjunto de valores pode ser convenientemente sintetizado, por meio de procedimentos matemáticos, em poucos valores representativos - média aritmética, mediana e moda. Para qualificar os valores de uma dada variável, ressaltando a maior ou menor dispersão ou variabilidade entre esses valores e a sua medida de posição, a Estatística recorre às medidas de dispersão ou de variabilidade. Amplitude, Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação

54 ESTATÍSTICA É frequentemente chamada de variabilidade. Medidas mais comuns: Variância, Desvio Padrão, Amplitude e Coeficiente de Variação DISPERSÃO DOS DADOS f x Dispersão dos dados na população na população Dispersão dos dados na amostra

55 ESTATÍSTICA É uma forma de se ver o quanto os dados se afastam da média. Exemplo: Vilarejo com apenas 11 pessoas 135cm 152cm 136cm 152cm 138cm 157cm 141cm 163cm 143cm 170cm 152cm Dispersão na População Média = 149cm Mediana e Moda = 152cm Valor Máximo = 170cm Valor Mínimo = 135cm Amplitude = 35cm Alturas de 11 pessoas

56 ESTATÍSTICA Alturas (N=11) x - x(x - x) 2 135cm cm cm cm cm cm cm cm cm Total 1314 Dispersão na População 2 Variância 2 Variância = 1314 / 11 = 119,454 cm 2 Desvio Padrão Desvio Padrão = 119,454 = 10,92 cm Soma dos desvios quadráticos

57 2 = ( x - x ) 2 / N 2 = ( x - x ) 2 / N ESTATÍSTICA VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO NA POPULAÇÃO Variância da população Desvio Padrão da população = Raiz quadrada da variância 2 2 Como a dispersão nas amostras é menor do que na população, se faz um ajuste matemático.

58 ESTATÍSTICA Variância da Amostra ( s 2 ou v ) s 2 = ( x - x ) 2 / ( n -1 ) Desvio Padrão da amostra ( s ou DP ) = Raiz quadrada da variância s s 2 A dispersão nas amostras é menor do que na população, por isso é que se faz este ajuste matemático VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO NA AMOSTRA

59 ESTATÍSTICA SIGNIFICADO: É um modo de representar a dispersão dos dados ao redor da média. DESVIO PADRÃO f x Média

60 ESTATÍSTICA A curva A mostra uma dispersão dos dados maior do que a curva B, logo o desvio padrão de A é maior do que o de B. A curva A mostra uma dispersão dos dados maior do que a curva B, logo o desvio padrão de A é maior do que o de B. DESVIO PADRÃO f x Média Curva A Curva B x f Média

61 ESTATÍSTICA COEFICIENTE DE VARIAÇÃO O desvio padrão depende da unidade de medida usada, assim um desvio medido em dias será maior do que um medido em meses. O desvio padrão depende da unidade de medida usada, assim um desvio medido em dias será maior do que um medido em meses. O coeficiente de variação expressa o desvio-padrão como porcentagem do valor da média. COEF. VARIAÇÃO = 100. DESVIO PADRÃO COEF. VARIAÇÃO = 100. DESVIO PADRÃO MÉDIA MÉDIA Quanto menor for este coeficiente mais homogênea é a amostra. Quanto menor for este coeficiente mais homogênea é a amostra.

62 ESTATÍSTICA COEFICIENTE DE VARIAÇÃO Classificação da proporção que o desvio padrão apresenta sobre a média. GRAU DE HOMOGENEIDADE DOS DADOS até 10% ÓTIMO até 10% ÓTIMO de 10% a 20% BOM de 10% a 20% BOM de 20% a 30% REGULAR de 20% a 30% REGULAR acima de 30% RUIM acima de 30% RUIM

63 ESTATÍSTICA EXERCÍCIOS 1) Determine a média, a amplitude, a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação da seguinte amostra de dados: 1) Determine a média, a amplitude, a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação da seguinte amostra de dados:

64 ESTATÍSTICA 2) Determine o valor de n, a amplitude, a média, o desvio padrão e o coeficiente de variação da seguinte amostra de dados: 2) Determine o valor de n, a amplitude, a média, o desvio padrão e o coeficiente de variação da seguinte amostra de dados: Como a base de dados é extensa sugere-se que os cálculos sejam feitos com o uso da planilha eletrônica Microsoft Excel.

65 ESTATÍSTICA FUNÇÕESFÓRMULAS NO EXCEL Contagem Numérica =CONT.NÚM(A1:A30) Mínimo =MÍNlMO(A1:A30) Máximo =MÁXlMO(A1:A30) Total (Soma) =SOMA(A1:A30) Média =MÉDIA(A1:A30) Moda =MODO(A1:A30) Mediana =MED(A1:A30) Variância =VAR(A1:A30) Desvio padrão =DESVPAD(A1:A30)

66 Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr. Disciplina de Análise Estatística Retornar Gráficos em Microsoft Excel

67 ESTATÍSTICA GRÁFICOS O gráfico é uma forma de apresentação dos dados estatísticos, cujo objetivo é o de produzir, no investigador ou no público em geral, uma impressão mais rápida e viva do fenômeno em estudo. A representação gráfica de um fenômeno deve obedecer a certos requisitos fundamentais para ser realmente útil: Simplicidade Clareza Veracidade

68 ESTATÍSTICA Gráfico é a forma geométrica de apresentação dos dados e respectivos resultados de sua análise. A escolha do modelo ideal de representação gráfica depende das preferências e do senso estético do elaborador. Vantagens: - Permitem a síntese dos resultados; - Auxiliam o pesquisador na análise dos dados e - Facilitam a compreensão das conclusões do autor. GRÁFICOS

69 ESTATÍSTICA NORMAS PARA A CONFECÇÃO DE GRÁFICOS Deve facilitar a interpretação dos dados para um leigo; Não há a necessidade de se colocar título se estiver na mesma página da tabela correspondente; Há a necessidade de se colocar o título se a tabela correspondente não estiver na mesma página. O senso estético individual determina o espaço do gráfico (L x A); As colunas, barras, linhas e áreas gráficas devem ser ordenadas de modo crescente ou decrescente, mas a ordem cronológica prevalece;

70 ESTATÍSTICA ORIGEM DOS GRÁFICOS O diagrama cartesiano é a figura geométrica que deu origem à técnica de construção de gráficos estatísticos. O diagrama cartesiano é a figura geométrica que deu origem à técnica de construção de gráficos estatísticos. Utiliza-se o primeiro quadrante do sistema de eixos coordenados cartesianos ortogonais. Utiliza-se o primeiro quadrante do sistema de eixos coordenados cartesianos ortogonais. 1 o Quadrante Abscissas (eixo x) Ordenadas (eixo y) Eixo y Frequências Eixo x Valores da Variável

71 ESTATÍSTICA GRÁFICO EM COLUNAS OU DE BARRAS Figura 1: Gráfico em colunas do número de exames em um determinado laboratório em Tabela 1: Quantidade de exames realizados em um determinado laboratório em Exames Quantidade Exames Quantidade Hematologia 9824 Hematologia 9824 Bioquímica Bioquímica Imunologia Imunologia Parasitologia 4310 Parasitologia 4310 Fonte: Hipotética

72 ESTATÍSTICA GRÁFICO DE BARRAS HORIZONTAL Figura 2: Gráfico em barras horizontais do número de exames realizados em um determinado laboratório no ano de Tabela 2: Quantidade de exames realizados em um determinado laboratório em Exames Quantidade Exames Quantidade Hematologia 9824 Hematologia 9824 Bioquímica Bioquímica Imunologia Imunologia Parasitologia 4310 Parasitologia 4310 Fonte: Hipotética

73 ESTATÍSTICA GRÁFICO DE SETORES OU CIRCULAR Figura 3: Gráfico circular do número de exames realizados em um determinado laboratório no ano de Tabela 3: Quantidade de exames realizados em um determinado laboratório em Exames Quantidade Exames Quantidade Hematologia 9824 Hematologia 9824 Bioquímica Bioquímica Imunologia Imunologia Parasitologia 4310 Parasitologia 4310 Fonte: Hipotética

74 ESTATÍSTICA HISTOGRAMA DE FREQUÊNCIA Figura 4: Histograma das notas dos alunos Tabela 4: Notas dos alunos na disciplina de Estatística no curso de Administração (ano x) Notas Frequência Notas Frequência Fonte: Dados Fictícios

75 ESTATÍSTICA HISTOGRAMA DE FREQUÊNCIA Figura 5: Histograma dos percentuais das notas dos alunos A área do histograma é proporcional à soma das frequências; A área do histograma é proporcional à soma das frequências; Para comparar duas distribuições, o ideal é utilizar números percentuais; Para comparar duas distribuições, o ideal é utilizar números percentuais;

76 ESTATÍSTICA POLÍGONO DE FREQUÊNCIA Figura 6: Polígono de Frequência percentual de das notas dos alunos É um Gráfico em Linha de uma distribuição de frequência; É um Gráfico em Linha de uma distribuição de frequência; Para se obter um polígono (linha fechada), deve-se completar a figura, ligando os extremos da linha obtida aos pontos médios da classe anterior à primeira e posterior à última, da distribuição. Para se obter um polígono (linha fechada), deve-se completar a figura, ligando os extremos da linha obtida aos pontos médios da classe anterior à primeira e posterior à última, da distribuição.

77 ESTATÍSTICA POLÍGONO DE FREQUÊNCIAS ACUMULADAS Figura 7: Polígono de frequências acumuladas das notas dos alunos Tabela 5: Notas dos alunos na disciplina de estatística no ano x Notas Frequência F. Acumulada % Notas Frequência F. Acumulada % , , , , , , , , , ,0 Fonte: Dados Fictícios (Sinônimo: Ogiva)

78 ESTATÍSTICA POLÍGONO DE FREQUÊNCIAS ACUMULADAS Figura 7: Polígono de frequências acumuladas das notas dos alunos Tabela 5: Notas dos alunos na disciplina de estatística no ano x Notas Frequência F. Acumulada % Notas Frequência F. Acumulada % , , , , , , , , , ,0 Fonte: Dados Fictícios (Sinônimo: Ogiva)

79 GRÁFICO STEM AND LEAF (TRONCO E FOLHAS) ESTATÍSTICA Figura 8: Gráfico Stem-Leaf onde o primeiro dígito é o tronco e o segundo é a folha Conjunto de Dados Tronco (Stem) Folha (Leaf) Tronco (Stem) Folha (Leaf)

80 GRÁFICO DE BARRAS COM DESVIO PADRÃO ESTATÍSTICA Figura 9: Gráfico de barras com os valores médios e o desvio padrão das alturas de estudantes da faculdade x (valores fictícios).

81 GRÁFICO BOX AND WISKER (Caixa e Fio de Bigode) ESTATÍSTICA Figura 10: Gráfico Box and Wisker das alturas dos estudantes de medicina (valores fictícios). 1,95m1,90m1,85m1,80m1,75m1,70m1,65m1,60m1,55m Valor Máximo Percentil 75 Percentil 50 Percentil 25 Valor Mínimo

82 GRÁFICO POLAR ESTATÍSTICA É o gráfico ideal para representar séries temporais cíclicas

83 CARTOGRAMA ESTATÍSTICA Cartograma é a representação sobre uma carta geográfica.

84 PICTOGRAMA ESTATÍSTICA O pictograma constitui um dos processos gráficos que melhor fala ao público, pela sua forma ao mesmo tempo atraente e sugestiva. A representação gráfica consta de figuras.

85 Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr. Disciplina de Análise Estatística Retornar Medidas de Assimetria e Curtose

86 ESTATÍSTICA CURVAS DE FREQUÊNCIA Análise Horizontal: Análise Vertical: Assimétrica Positiva (cauda direita) Leptocúrtica (alta) Assimétrica Positiva (cauda direita) Leptocúrtica (alta) Simétrica Mesocúrtica Simétrica Mesocúrtica Assimétrica Negativa (cauda esquerda) Platicúrtica (baixa) Assimétrica Negativa (cauda esquerda) Platicúrtica (baixa) Análise Conjunta: Assimétrica Positiva Leptocúrtica Assimétrica Positiva Leptocúrtica Simétrica Mesocúrtica Curva de Gauss Curva Normal Simétrica Mesocúrtica Curva de Gauss Curva Normal

87 ESTATÍSTICA CURVAS DE FREQUÊNCIA Análise Horizontal: Assimétrica Positiva (cauda direita é mais longa) f x Curva Assimétrica à Direita

88 ESTATÍSTICA CURVAS DE FREQUÊNCIA Análise Horizontal: Simétrica f x

89 ESTATÍSTICA CURVAS DE FREQUÊNCIA Análise Horizontal: Assimétrica Negativa (cauda esquerda é mais longa) f x Curva Assimétrica à Esquerda

90 ESTATÍSTICA CURVAS DE FREQUÊNCIA Análise Vertical: Leptocúrtica (alta) f x

91 ESTATÍSTICA CURVAS DE FREQUÊNCIA Análise Vertical: Mesocúrtica f x

92 ESTATÍSTICA CURVAS DE FREQUÊNCIA Análise Vertical: Platicúrtica (baixa) f x

93 ESTATÍSTICA MENSURANDO A ASSIMETRIA Em uma distribuição simétrica, a média e a moda coincidem; Na distribuição assimétrica à esquerda ou negativa, a média é menor que a moda; Na assimétrica à direita ou positiva, a média é maior que a moda.

94 ESTATÍSTICA MEDINDO A ASSIMETRIA (Forma Simples) Baseando-nos nessas relações entre a média e a moda, podemos empregá-las para determinar o tipo de assimetria. Assim, calculando o valor da diferença: Se assimetria nula ou distribuição simétrica; Se assimetria negativa ou à esquerda; Se assimetria positiva ou à direita.

95 ESTATÍSTICA COEFICIENTE DE ASSIMETRIA A medida anterior, por ser absoluta, apresenta a mesma deficiência do desvio padrão, isto é, não permite a possibilidade de comparação entre as medidas de duas distribuições. Por esse motivo, daremos preferência ao coeficiente de assimetria de Pearson, dado por: Se 0,15<|As|<1, a assimetria é moderada; Se |As|>1, a assimetria é forte.

96 ESTATÍSTICA ASSIMETRIA NAS CURVAS DE FREQUÊNCIA Assimétrica à direita Assimétrica à esquerda SimétricaSimétrica

97 ESTATÍSTICA

98 ESTATÍSTICA MENSURANDO A CURTOSE Denominamos curtose o grau de achatamento de uma distribuição em relação a uma distribuição padrão, denominada curva normal.

99 ESTATÍSTICA COEFICIENTE PERCENTÍLICO DE CURTOSE Se C = 0,263, a curva é mesocúrtica; se C < 0,263, a curva é leptocúrtica; se C > 0,263, a curva é platicúrtica. Observação: no Microsoft Excel a interpretação é diferente.

100 ESTATÍSTICA COEFICIENTE PERCENTÍLICO DE CURTOSE

101 ESTATÍSTICA MEDINDO A CURTOSE NO Microsoft Excel Se Coef = 0, a curva é mesocúrtica; se Coef > 0, a curva é leptocúrtica; se Coef < 0, a curva é platicúrtica. No Microsoft Excel a interpretação é diferente, pois é observado se os valores do coeficiente são positivos ou negativos.

102 ESTATÍSTICA Análise de Dados no Microsoft Excel

103 Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr. Disciplina de Análise Estatística Retornar Distribuições Binomial e Normal

104 ESTATÍSTICA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Estuda o comportamento amostral de eventos dicotômicos. Masculino / Feminino Satisfeito / Insatisfeito Atrasado / Não-atrasado Estes eventos são denominados designativos (sim / não ou sucesso / fracasso)

105 ESTATÍSTICA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Ocorre em experimentos que satisfaçam as seguintes condições: a.O experimento deve ser repetido, nas mesmas condições, um número finito de vezes (n); b.As provas repetidas devem ser independentes, isto é, o resultado de uma não deve afetar os resultados das sucessivas; c.Em cada prova deve aparecer um dos dois possíveis resultados; d.No decorrer do experimento, a probabilidade de sucesso e de insucesso manter-se-ão constantes.

106 ESTATÍSTICA EXPERIMENTO BINOMIAL Tem as seguintes características ( 1 ) consiste de n ensaios; ( 2 ) cada ensaio tem apenas dois resultados: sim ou não; ( 3 ) os ensaios são independentes entre si, com probabilidade ( 3 ) os ensaios são independentes entre si, com probabilidade de ocorrer sim, sendo uma constante entre 0 e 1. de ocorrer sim, sendo uma constante entre 0 e 1. Exemplo: Lançamento de uma moeda 3 vezes e observar o número de caras. n = 3 = 0,5 n = 3 = 0,5

107 ESTATÍSTICA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

108 ESTATÍSTICA Binômio de Newton

109 ESTATÍSTICA Simplificando a Fórmula: Cálculo Probabilístico (Distribuição Binomial): P (r) = n!. p r. (1 - p) n-r r!. (n - r)! n = número de tentativas ou repetições do experimento r = proporção desejada de sucessos n - r = proporção esperada de fracassos p = probabilidade de sucessos

110 ESTATÍSTICA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL x DISTRIBUIÇÃO NORMAL Média, Moda e Mediana x y x y Variável dicotômica (sim ou não, sucesso ou fracasso) Dá para enumerar os possíveis resultados Variável contínua (infinitos resultados possíveis) Não dá para enumerar os possíveis resultados

111 ESTATÍSTICA DISTRIBUIÇÃO NORMAL Média, Moda e Mediana x y Variável contínua (infinitos resultados possíveis) Não dá para enumerar os possíveis resultados

112 ESTATÍSTICA CURVA NORMAL É descrita pela média e pelo desvio padrão. É descrita pela média e pelo desvio padrão. A mediana, a média e a moda coincidem. A mediana, a média e a moda coincidem. A curva é simétrica ao redor da média. A curva é simétrica ao redor da média. A curva é mesocúrtica. A curva é mesocúrtica. Média, Moda e Mediana x y

113 ESTATÍSTICA CURVA NORMAL As inferências em pesquisas em administração estão baseadas em dados, cuja distribuição é normal. As inferências em pesquisas em administração estão baseadas em dados, cuja distribuição é normal. A curva normal (Gauss) é simétrica, unimodal e tem forma de sino. A curva normal (Gauss) é simétrica, unimodal e tem forma de sino. É assintótica em relação ao eixo horizontal (eixo x). É assintótica em relação ao eixo horizontal (eixo x). Média, Moda e Mediana x y

114 ESTATÍSTICA CURVA NORMAL

115 ESTATÍSTICA A ESTATÍSTICA Z 0 x y 1 DP 2 DP 3 DP A estatística Z (standard score) está baseada na curva normal. A estatística Z (standard score) está baseada na curva normal. Mede o afastamento de um valor em relação a média em unidades de desvios padrão. Mede o afastamento de um valor em relação a média em unidades de desvios padrão. Z = x - x Z = x - x s

116 ESTATÍSTICA A ESTATÍSTICA Z 0 x y Exemplo: A altura média dos estudantes da ESTÁCIO é de 1,70m com desvio padrão de 10cm Z = x - x Z = x - x s z

117 ESTATÍSTICA ÁREAS DA CURVA NORMAL Áreas -1DP a +1DP 68,27% -2DP a +2DP 95,45% -3DP a +3DP 99,73% -1,96DP a +1,96DP 95% Média a 1DP 34,13% Média a 2 DP 47,72% Média a 3DP 49,86% Média, Moda e Mediana x y 1 DP 2 DP 3 DP -1 DP +1 DP -2 DP +2 DP +3 DP -3 DP

118 ESTATÍSTICA ÁREAS DA CURVA NORMAL 0 x y z 34,13% 47,72% 49,86%

119 ESTATÍSTICA 0 x y z 68,27% 95,45% 99,73%

120 ESTATÍSTICA TABELA Z

121 ESTATÍSTICA Média, Moda e Mediana (continuação)

122 ESTATÍSTICA Média, Moda e Mediana No Microsoft Excel =DIST.NORM (x; média; s; 1) - 1 = DIST.NORMP (z) - 1 Fornece o valor da área entre x e a cauda direita. Fornece o valor da área entre z e a cauda direita.

123 ESTATÍSTICA EXERCÍCIOS 1) O processo de fabricação de uma determinada empresa apresenta a média de peso de uma peça igual a 100g e desvio padrão de 1,5 g. Qual é a proporção de peças entre 100 e 102g? ? 0 ? x z Z = (x - média) / desvio padrão = ( ) / 1,5 = 1,33 na tabela qdo z = 1,33 a área é de 50% - 9,18% = 40,82% ?

124 ESTATÍSTICA 2) Calcule as seguintes proporções de peças: (a) com peso entre 98 e 102g (b) abaixo de 98g (c) acima de 102g (d) abaixo de 100g (e) abaixo de 96,5g

125 Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr. Disciplina de Análise Estatística Retornar Correlação Linear

126 ESTATÍSTICA CORRELAÇÃO E REGRESSÃO Sendo a relação entre as variáveis de natureza quantitativa, a CORRELAÇÃO é o instrumento adequado para descobrir e medir essa relação. Uma vez caracterizada a relação, procuramos descrevê-la através de uma função matemática. A REGRESSÃO é o instrumento adequado para a determinação dos parâmetros da função.

127 ESTATÍSTICA DIAGRAMA DE DISPERSÃO Mostra o comportamento de duas variáveis quantitativas (com dados numéricos). aaa b b b

128 ESTATÍSTICA CORRELAÇÃO LINEAR POSITIVA Quando valores pequenos da variável a tendem a estar relacionados com valores pequenos de b, enquanto que valores grandes de a tendem a estar relacionados com valores grandes de b. a b Exemplos: Peso x Altura Nível socioeconômico x Volume de vendas Consumo de Álcool x Preval. Cirrose Hepática

129 ESTATÍSTICA CORRELAÇÃO LINEAR NEGATIVA Quando valores pequenos da variável a tendem a estar relacionados com valores grandes de b, enquanto que valores grandes de a tendem a estar relacionados com valores pequenos de b. a b Exemplos: Renda Familiar x Número de Filhos Escolaridade x Absenteísmo Volume de vendas x Passivo circulante

130 ESTATÍSTICA CORRELAÇÃO NÃO LINEAR O diagrama de dispersão mostra um conjunto de pontos aproximando-se mais de uma parábola do que de uma reta. a Exemplos: Coef. de Letalidade (a) x Dose do Medicamento (b) Custo (a) x Lote Econômico de Compra (b) b

131 ESTATÍSTICA TIPOS DE CORRELAÇÃO

132 ESTATÍSTICA

133 ESTATÍSTICA

134 ESTATÍSTICA COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO DE PEARSON r = n. (X.Y) - X. Y n. X 2 - ( X) 2. n. Y 2 - ( Y) 2 n. X 2 - ( X) 2. n. Y 2 - ( Y) 2 (X.Y) = Fazem-se os produtos X.Y p/ cada par e depois efetua-se a soma (X.Y) = Fazem-se os produtos X.Y p/ cada par e depois efetua-se a soma X = Somatório dos valores da variável X X = Somatório dos valores da variável X Y = Somatório dos valores da variável Y Y = Somatório dos valores da variável Y X 2 = Elevam-se ao quadrado cada valor de X e depois efetua-se a soma X 2 = Elevam-se ao quadrado cada valor de X e depois efetua-se a soma Y 2 = Elevam-se ao quadrado cada valor de Y e depois efetua-se a soma Y 2 = Elevam-se ao quadrado cada valor de Y e depois efetua-se a soma

135 ESTATÍSTICA Cálculo do coeficiente de correlação para os dados das variáveis X = população residente e Y = taxa de cresc. populacional, em 12 vilarejos. X = população residente e Y = taxa de cresc. populacional, em 12 vilarejos. X Y X 2 Y 2 X. Y X Y X 2 Y 2 X. Y 1013, ,24323,2 1934, ,16887, , ,84117,6 422, ,84117, , , , , , ,2 EXEMPLO

136 ESTATÍSTICA r = n. (X.Y) - X. Y n. X 2 - ( X) 2. n. Y 2 - ( Y) 2 n. X 2 - ( X) 2. n. Y 2 - ( Y) 2 r = , , (1452) ,55 - (39,3) (1452) ,55 - (39,3) 2 r = 0,69 (Correlação Linear Positiva r > 0) r = 0,69 (Correlação Linear Positiva r > 0)

137 ESTATÍSTICA COEFICIENTES DE CORRELAÇÃO Positiva Positiva Perfeita Negativa Negativa perfeita r > 0 r = 1 r < 0 r = -1

138 ESTATÍSTICA COEFICIENTES DE CORRELAÇÃO r = 0 Ausência de Correlação

139 ESTATÍSTICA INTERPRETAÇÃO O Valor de r (Correlação Linear de Pearson) varia de -1 a +1. O Valor de r (Correlação Linear de Pearson) varia de -1 a +1. O sinal indica o sentido (correlação positiva ou negativa). O sinal indica o sentido (correlação positiva ou negativa). O valor indica a força da correlação ( Fraca ou Forte ) O valor indica a força da correlação ( Fraca ou Forte ) valor de r Ausência Muito Fraca Relativa Fraca ForteForte - 0,6 - 0,3 + 0,3 + 0,6

140 ESTATÍSTICA CORRELAÇÃO DE SPEARMAN (Rho) Estatística não paramétrica Estatística não paramétrica Usada em dados que não têm Distribuição Normal Usada em dados que não têm Distribuição Normal Usadas com dados Ordinais (Conceitos: A, B, C, D, E) Usadas com dados Ordinais (Conceitos: A, B, C, D, E) CORRELAÇÃO TAU DE KENDALL Estatística não paramétrica Estatística não paramétrica Usada em um conjunto pequeno de dados com muitos Usada em um conjunto pequeno de dados com muitos postos empatados postos empatados

141 ESTATÍSTICA 1) Coloque V (Verdadeiro) ou F (Falso): ( ) Quando o valor de r for maior que 0,6 ou menor que -0,6 a correlação entre as duas variáveis em estudo é forte ( ) O sinal negativo de r indica que as variáveis em estudo são inversamente proporcionais ( ) Ao se encontrar um valor de r = 0,6 não se pode afirmar que as variáveis sejam diretamente proporcionais. ( ) O coeficiente de correlação de Pearson pode ser aplicado em dados nominais EXERCÍCIO

142 Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr. Disciplina de Análise Estatística Retornar Regressão Linear

143 ESTATÍSTICA REGRESSÃO Sempre que desejamos estudar determinada variável em função de outra fazemos uma análise de regressão. A análise de regressão tem por objetivo descrever, através de um modelo matemático, a relação entre duas variáveis, partindo de n observações das mesmas. A variável a qual desejamos fazer uma estimativa recebe o nome de variável dependente e a outra recebe o nome de variável independente.

144 ESTATÍSTICA REGRESSÃO Supondo X a variável independente e Y a dependente, vamos procurar determinar o ajustamento de uma reta à relação entre essas variáveis, ou seja, vamos obter uma função definida por: Y = a.X + b onde a e b são coeficientes. a = Inclinação ou Gradiente (Coef. Angular) b = Intercepto (Coef. Linear) a = Inclinação ou Gradiente (Coef. Angular) b = Intercepto (Coef. Linear)

145 ESTATÍSTICA REGRESSÃO Sejam duas variáveis X (Notas de Matemática) e Y (Notas de Estatística), entre as quais exista uma correlação acentuada, embora não perfeita, como as que formam a tabela a seguir:

146 ESTATÍSTICA REGRESSÃO Podemos concluir, pela forma do diagrama, que se trata de uma correlação retilínea, de modo a permitir o ajustamento de uma reta, imagem da função definida por: Y = a.X + b

147 ESTATÍSTICA REGRESSÃO - Matemático francês, discípulo de Euler e Lagrange. - É autor de um clássico trabalho de geometria, Élements de géométrie. - Também fez importantes contribuições em equações diferenciais, cálculo, teoria das funções e teoria dos números. Legendre, Adrien-Marie ( ) Eu obtive a equação da reta... dos mínimos quadrados ordinários

148 ESTATÍSTICA REGRESSÃO Y = a.X + b

149 ESTATÍSTICA REGRESSÃO

150 ESTATÍSTICA CÁLCULO DA REGRESSÃO

151 ESTATÍSTICA RETA IMAGEM DA REGRESSÃO

152 ESTATÍSTICA RETA IMAGEM DA REGRESSÃO (Microsoft Excel)

153 ESTATÍSTICA COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO ( R 2 ) Basta elevar o coeficiente de correlação ao quadrado R 2 É quanto a variável X pode explicar da variação em Y

154 ESTATÍSTICA INTERPOLAÇÃO E EXTRAPOLAÇÃO Voltando à tabela das notas, vemos que 4,0 não figura entre as notas de Matemática. Entretanto, podemos estimar a nota correspondente em Estatística fazendo X=4,0 na equação: Assim, O mesmo acontece com a nota 1,0: Como 4 pertence ao intervalo [2,10], foi feita uma interpolação; e como 1 não pertence ao intervalo [2,10], foi feita uma extrapolação.

155 Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr. Disciplina de Análise Estatística Retornar Números Índices

156 ESTATÍSTICA INTRODUÇÃO Um jornal, por ocasião de um pleito eleitoral, publicou uma tabela com os resultados da apuração na região:

157 ESTATÍSTICA INTRODUÇÃO Confeccionando uma nova tabela, com números relativos, obtemos:

158 ESTATÍSTICA INTRODUÇÃO Somos levados a concluir, de imediato, que a cidade E foi a que apresentou maior índice de votos brancos. 2,36% dos votos da CIDADE E são brancos Não são poucas as situações em que, para a descrição ou análise de um fenômeno quantitativo, o emprego dos números relativos revela-se mais pertinente do que o dos números absolutos.

159 ESTATÍSTICA NÚMEROS ÍNDICES Consideremos a tabela abaixo, relativa às matrículas efetivadas em certo estabelecimento de ensino durante o período de 1989 a 1994:

160 ESTATÍSTICA NÚMEROS ÍNDICES A vantagem dos números-índices é permitir uma rápida avaliação da variação relativa (percentual) sofrida pelo número de matrículas. Número-índice, ou, simplesmente, índice é a relação entre dois estados de uma variável ou de um grupo de variáveis, suscetível de variar no tempo ou no espaço (ou de grupo de indivíduos para grupo de indivíduos).

161 ESTATÍSTICA RELATIVO DE PREÇOS Quando queremos analisar a variação no preço (ou na quantidade ou no valor) de um só bem, basta expressar tal variação em termos percentuais, obtendo o que denominamos relativo de preços (de quantidade ou de valor).

162 ESTATÍSTICA RELATIVOS DE QUANTIDADE E DE VALOR Do mesmo modo, obtemos:

163 ESTATÍSTICA ELOS DE RELATIVOS Assim, se um bem apresentou, no período de 1991 a 1994, respectivamente os preços de R$240, R$300, R$360 e R$540, os elos relativos são: Vários relativos formam elos quando cada um deles é calculado tomando como base o ano anterior; são os relativos de base móvel.

164 ESTATÍSTICA RELATIVOS EM CADEIA O relativo em cadeia é o índice de base fixa: todos os relativos são calculados tomando-se uma determinada época como base. Utilizando o exemplo anterior, e considerando 1991 como ano-base, obtemos:

165 ESTATÍSTICA RELATIVOS EM CADEIA O gráfico mostra a evolução do preço do bem em questão:

166 ESTATÍSTICA ÍNDICES AGREGATIVOS Temos como exemplos os índices de preços: Índice de custo de vida IPC – Índice de Preços ao Consumidor (IBGE) ICB – Índice da Cesta Básica IGP – Índice Geral de Preços IPC – FIPE

167 ESTATÍSTICA DEFLACIONAMENTO DE DADOS Sabemos que os aumentos de preços implicam baixas no poder de compra ou no valor da moeda. Por isso mesmo, a manutenção do poder de compra dos salários é um problema que muito preocupa os assalariados de países onde o valor da moeda está continuamente se deteriorando. Assim, embora os salários nominais estejam aumentando, os salários reais podem estar diminuindo, devido ao aumento do custo de vida e redução do poder aquisitivo. Daí a importância dos índices de preços.

168 ESTATÍSTICA DEFLACIONAMENTO DE DADOS Para determinarmos os salários reais (SR), também denominados salários deflacionados, dividimos os salários nominais de várias épocas (S t ) pelo índice de preços das épocas correspondentes (IP t ) e multiplicando o resultado por 100: Esse processo é chamado deflacionamento de salários e o índice de preços usado é chamado deflator.

169 Fonte Bibliográfica BARBETA, P. A. Estatística Aplicada às Ciências Sociais. 5.ed. Florianópolis: UFSC, BARBETA, P. A. Estatística Aplicada às Ciências Sociais. 5.ed. Florianópolis: UFSC, BRUNI, A. L. Estatística Aplicada à Gestão Empresarial. 1.ed. São Paulo; Atlas, BRUNI, A. L. Estatística Aplicada à Gestão Empresarial. 1.ed. São Paulo; Atlas, BRUNI, A. L. Excel Aplicado à Gestão Empresarial. 1.ed. São Paulo; Atlas, BRUNI, A. L. Excel Aplicado à Gestão Empresarial. 1.ed. São Paulo; Atlas, CRESPO, A. A. Estatística Fácil. 19.ed. São Paulo; Saraiva, CRESPO, A. A. Estatística Fácil. 19.ed. São Paulo; Saraiva, LEVIN, J. Estatística Aplicada às Ciências Humanas. 7.ed. São Paulo: Harbra, LEVIN, J. Estatística Aplicada às Ciências Humanas. 7.ed. São Paulo: Harbra, SPIEGEL, M. R. Estatística. 8.ed. São Paulo: Makron Books, SPIEGEL, M. R. Estatística. 8.ed. São Paulo: Makron Books, STEVENSON, W. J. Estatística Aplicada à Administração. São Paulo: Harbra, STEVENSON, W. J. Estatística Aplicada à Administração. São Paulo: Harbra, 2007.

170 Retornar The Wrap-up A little knowledge of statistic helps you understand a lot about the information which is presented to you.


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