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. Matemática I Profª Ms. Carlos Alexandre N. Wanderley.

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1 . Matemática I Profª Ms. Carlos Alexandre N. Wanderley

2 Eng. Túlio Malta - Curso T.T.I.

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5 FATORAÇÃO O QUE SIGNIFICA FATORAR? A fatoração é a transformação da soma e/ou subtração de vários termos em um produto de diversos fatores. A fatoração é um recurso que utilizamos na simplificação de sentenças matemáticas. Quando for o caso, podemos utilizá-la na simplificação de uma fração ou de uma equação. Fatoração de polinômios (mais de um termo) é o nome dado a uma operação onde o objetivo é encontrar a origem de um ou mais monômios (um termo). Exemplo: efetuada a fatoração do polinômio 4r + 12, encontraremos o resultado 4(r+3). ²

6 Fatoração Fatorar um número significa escrevê-lo na forma de produto de números primos. Por exemplo, a fatoração do número 36 consiste na multiplicação entre os números 2 * 2 * 3 * 3. Na fatoração de polinômios devemos escrever o mesmo através do produto entre outros polinômios. Exemplos: 24 = 2 x 2 x 2 x 3 10 = 2 x 5 52 = 2 x 2 x = 2 x 2 x 2 x 2 x = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 5

7 Fatoração Fatorar um polinômio significa transformar esse polinômio num produto indicado de polinômios ou monômios e polinômios. A propriedade distributiva será muito usada sob a denominação de colocar em evidência. Vejamos a seguir alguns casos de fatoração. 1º caso –Fator Comum Vamos fatorar a expressão ax + bx + cx Ax + bx + cx = x. (a + b + c) O x é fator comum e foi colocado em evidência.

8 Fatoração Exemplos: Vamos fatorar as expressões: 1)3x + 3y = 3 (x + y) 2) 5x² - 10x = 5x ( x – 2) 3) 8ax³ - 4a²x² = 4ax²(2x – a)

9 Exercícios: a)4x + 4y = b) 7a – 7b = c) 5x – 5 = d) ax – ay = e) y² + 6y = f) 6x² - 4a = g) 4x - 7x² =

10 Fatoração 2º caso - Agrupamento Na fatoração por agrupamento, utilizamos inicialmente a fatoração por evidência e logo em seguida agrupamos os termos sob certas condições também de evidenciação. Observe: ax + bx + ay + by x( a + b) + y ( a+ b) (a + b).( x +y) Observe o que foi feito: Nos dois primeiros temos x em evidência Nos dois últimos fomos y em evidência Finalmente (a + b) em evidência Note que aplicamos duas vezes a fatoração utilizando o processo do fator comum

11 Exemplos : a) 5ax + bx + 5ay + by x.( 5a + b) + y (5a + b) (x + y) (5a + b) b) x² + 3x + ax + 3a x(x + 3) + a ( x + 3) (x + 3). ( x + a)

12 Exercícios: a)6x + 6y + ax + ay = b) ax + ay + 7x + 7y= c) 2a + 2n + ax +nx= d) ax + 5bx + ay + 5by = e) 3a – 3b + ax – bx =

13 Fatoração 3º caso -Trinômio quadrado perfeito O 3º caso é o mais simples e rápido de se realizar, consiste em elevar ao quadrado a soma da raiz do primeiro e do último termo. Exemplo 1: Raiz quadrada de dois termos elevadas ao quadrado x²+10x+25 - notamos na equação ao lado que não há nenhuma letra ou número em comum em todos os termos, então não é o primeiro caso. Nem o segundo, pois há somente três termos, impossibilitando o agrupamento.

14 Fatoração Então devemos extrair a raiz quadrada do primeiro e do último termo, resultando em x e 5. Agora simplesmente colocamos estes dois termos em parênteses e elevamos tudo ao quadrado. O resultado final será (x+5)². O sinal do segundo termo (+10x) sempre acompanhará o sinal do parêntese (x+5)². Se fosse (-10x) o sinal acompanharia no parêntese (x-5)². Prova real: (x+5)²=(x+5).(x+5)=x.x+x.5+5.x+5.5=x²+5x+5x+25=x²+10x+25.

15 Exemplos: a)x² + 4x + 4 = b) x² - 4x + 4 = c)a²+ 2a + 1 = d) a² - 2a + 1 = e) x²- 8x + 16= f)a² + 6a + 9 = g) a² - 6a + 9 = h)1 – 6a + 9a² =

16 Fatoração 4º caso -DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS Vimos que : ( a+ b ) (a –b) = a² - b² Sendo assim: a² - b²= ( a+ b ) (a –b) Para fatorar a diferença de dois quadrados, basta determinar as raízes quadradas dos dois termos. 1º exemplo x² - 49 = (x + 7) ( x – 7) 2º exemplo 9a² - 4b² = ( 3a + 2b) (3a – 2b)

17 Fatoração Exercícios: a) a² - 25 = b) x² - 1 = c) a² - 4 = d) 9 - x² = e) x² - a² =


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