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Prof. Leo – Curvas Aula 11. Importante para criação de objetos e visualização de fenômenos científicos Servem de base para modelagem de formas: Simples.

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1 Prof. Leo – Curvas Aula 11

2 Importante para criação de objetos e visualização de fenômenos científicos Servem de base para modelagem de formas: Simples : círculos, elípses, etc Complexas: automóveis, aeronaves, navios, etc Introdução 2 Curvas

3 Para representar uma curva, pode ser suficiente apenas definir uma sucessão de linhas Curvas e superfícies mais complexas irão demandar uma maneira mais eficiente de representação: Definir uma curva que passe por um determinado conjunto de pontos Definir a melhor curva para representar um determinado conjunto de pontos Representação 3 Curvas

4 Formalmente, as curvas podem ser representadas de diversas formas: Por um conjunto de pontos Através de sua representação analítica Não paramétricas Paramétricas De 3 Ordem Representação 4 Curvas

5 Uma curva pode ser representada por um conjunto finito de pontos Na verdade, qualquer representação de curvas ou retas contém um número infinito de pontos Representação – Conjunto de Pontos 5 Curvas

6 A curva pode ser representada por um número grande de pontos ou pela conexão deles por segmentos adequados Representação – Conjunto de Pontos 6 Curvas

7 No caso de uma quantidade limitada de pontos, pode-se utilizar retas para conectá-los E, para alcançar uma suavidade maior, pode-se acrescentar uma maior quantidade de pontos Representação – Conjunto de Pontos 7 Curvas

8 A representação analítica utiliza uma ou mais equações Vantagens: É mais precisa Não requer área de armazenamento Facilita o cálculo de novos pontos É mais fácil obter propriedades da curva (inclinação, área) Pode ser: Não Paramétrica Paramétrica Representação – Analítica 8 Curvas

9 A forma não paramétrica não recebe parâmetros, sendo calculada através de uma equação de y em x (ou vice-versa): Representação – Analítica – Não Paramétrica 9 Curvas Y = ax 2 + bx + c Equação da parábola a = 1 b = -2 c = 0 Para: É gerada: Ordem da curva

10 Certas curvas, chamadas de seções cônicas, podem ser obtidas a partir do corte de um cone por um plano Representação – Analítica – Não Paramétrica 10 Curvas

11 Na forma paramétrica, usa-se um parâmetro para definir as coordenadas dos pontos da curva A posição do ponto na curva é definida com base no valor do parâmetro Ex: Formalmente, a posição de um ponto na curva é dada por: Representação – Analítica – Paramétrica 11 Curvas x = 10 cos θ = f x ( θ ) y = 10 sen θ = f y ( θ ) x = t+1 = f x (t) y = 2t+1 = f y (t) P (t) =( x (t), y (t) ) Independe do sistema de coordenadas. Ex: pode-se acrescentar mais uma coordenada z facilmente

12 Problema: algumas curvas não podem ser facilmente descritas por expressões analíticas em toda sua extensão Solução: união de diversas curvas Novo problema: manter a continuidade das conexões Nova solução: usadas curvas representadas por polinômios cúbicos Muito conhecidas pelos usuários da CG, as curvas paramétricas de terceira ordem são: Hermite, Bézier e Splines Geradas por um polinômio cúbico e pela definição de um conjunto determinado de pontos de controle Representação – Analítica – Paramétrica de 3 Ordem 12 Curvas

13 Charles Hermite (1822 – 1901) Uso de polinômios de 3ª ordem e 4 fatores: Ponto inicial Ponto final Vetor de controle de saída Vetor de controle de chegada Permite um maior controle Formas suaves e homogêneas Formas bruscas, loops Paramétrica de 3 Ordem – Hermite 13 Curvas

14 Os módulos de T1 e T2 funcionam como pesos na determinação da curva. Hermite 14 Curvas Figura 1: Elementos da curva de Hermite Figura 2: As diferentes curvas formadas por alteração na direção de T1 e T2.

15 O grau da curva (do polinômio) é dado pelo número de pontos do polígono de controle menos 1 A curva de Bézier está contida no fecho convexo do polígono de controle A curva interpola o primeiro e último ponto do polígono de controle Utiliza 4 fatores: Ponto inicial Ponto final 2 pontos de controle das tangentes nos extremos Bézier 15 Curvas

16 Controle Global: Movendo-se a posição de 1 só ponto, toda a forma da curva se modifica Bézier 16 Curvas

17 Bézier – Junção de Curvas 17 Curvas

18 A base de Bézier não é própria para a modelagem de curvas longas Bézier única: suporte não local Trechos emendados: restrições não são naturais Base alternativa: B-Splines Modelagem por polígonos de controle sem restrições adicionais Grau do polinômio independe do número de pontos de controle Não passa pelos pontos de controle Controle local Alteração de um vértice afeta curva apenas na vizinhança Spline 18 Curvas

19 Spline 19 Curvas

20 Comparativo 20 Curvas Spline Hermite Bézier


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