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César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 1 Métodos Analíticos para Simulação Dinâmica de Corpos Rígidos Não- penetrantes –Autor: David Baraff –Fonte:SIGGRAPH.

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1 César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 1 Métodos Analíticos para Simulação Dinâmica de Corpos Rígidos Não- penetrantes –Autor: David Baraff –Fonte:SIGGRAPH 1989 –Web:

2 César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 2 Objetivo Apresentar de maneira sucinta Método Heurístico utilizado por David Baraff, para Simulação Dinâmica de Corpos Rígidos Não-penetrantes.

3 César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 3 Heurístico ? Do grego heuristike : achado, descoberta; Relacionado a heurística, ie, uma hipótese de trabalho adotada provisoriamente como idéia diretriz na pesquisa de fatos; Método Heurístico: Técnicas (ex: auto- educação) que servem como ajuda na solução de um problema para o aprimoramento da performance.

4 César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 4 Roteiro Introdução Motivação Revisão alguns conceitos físicos Simulação utilizando Métodos Analíticos Modelando Contatos Calculando Dinamicamente forças de contato corretamente Solução Heurística Restrições Adicionais Conclusão

5 César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 5 Introdução Muitos trabalhos utilizam as leis dinâmica Newtoniana para simular sistemas de corpos rígidos (CR); Toda simulação realística de corpos rígidos exige que não haja inter- penetração de dois quaisquer corpos; Foco do Paper: Dado um número de corpos rígidos poliédricos, calcular as forças que naturalmente surgem para prevenir a interpenetração.

6 César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 6 Motivação Moore e Hahn fizeram os primeiros trabalhos (1988) utilizando métodos analíticos p/ cálculo de forças (impulso) entre CR; O método utilizado p/ corpos em repouso, entretanto, era não analítico. Modelo Utilizado p/ corpos em repouso: série de colisões ocorrendo freqüentemente. Modelo Analítico de forças que não é válido; Platt e Barr utilizaram Penalty Forces; e Moore e Wilhelms utilizaram forças elásticas.

7 César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 7 Motivação (continuação) Métodos Errôneos Vantagens: -fácil de implementar; -pouco complexidade; e -extensível p/ corpos não rígidos. Desvantagens: -as simulações apresentam resultados aproximados ; -a correção da simulação é difícil de se verificar em alguns casos; e -requer ajustes para condições diferentes na simulação.

8 César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 8 Motivação (continuação) Métodos Analíticos Vantagens: -dão respostas exatas; -produzem E.D.O. que requerem bem menos passos no tempo durante simulação; e -a correção da simulação é fácil de se verificar (baseadas diretamente da dinâmica Newtoniana). Desvantagens: -são muito mais complexos de derivar e implementar.

9 César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 9 Revisão Centro de Massa: Momento Linear: Força: Torque: Momento Angular: Momento de Inércia:

10 César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 10 Simulação via Métodos Analíticos Tratamento diferenciado entre forças de colisão e forças de contato em repouso. Forças de colisão: -forças descontínuas (impulsivas); -dimensão m v; e -causam descontinuidades na velocidade do CR. Forças de contato: -são contínuas em algum intervalo não-nulo; -dimensão m a; e -não causam descontinuidades na velocidade do CR.

11 César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 11 Simulador interage na solução de um par de EDO acopladas, via uso do método numérico de Runge- Kutta de 4º Ordem ou Adams-Moulton; Ao integrador é passado todas condições iniciais dos corpos; Métodos Analíticos introduzem descontinuidades nas velocidades dos corpos quando há colisão. Não teremos boa solução se integrarmos sobre estes intervalos... Solução: – Devemos descobrir o tempo no qual uma colisão ocorrerá!!! Foi utilizado o método descrito por Moore e Wilhelms.

12 César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 12 Resolvendo uma Colisão: -uma vez determinado o tempo da colisão, o integrador é parado; -faz-se o cálculo das novas forças; -calcula-se as novas velocidades dos corpos em colisão (novas condições iniciais); e -reinicializa-se o integrador.

13 César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 13 Modelando Contatos Contato:colidindo ou em repouso; Dois corpos A e B se tocam em um número finito de contatos (pontos de contato); p a ( t o ):posição de um ponto de contato de um CR A no instante t 0 ; Sejam dois pontos a e b dos CR A e B que estão em contato: p a ( t 0 ) =p=p b ( t 0 )

14 César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 14 Características p a (t o ) e p b (t o ) : -Variáveis no tempo; -Variam de acordo com os movimentos independentemente dos CR A e B respectivamente; e - indica : i. colisão; ii. repouso; ou iii. separando-se,

15 César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 15 Associado a cada ponto de contato: –Força (possivelmente nula); e –Um vetor unitário normal a superfície. Contatos tipo Vértice-Plano –Corpo A: vértice; e –Corpo B: plano com normal em p b. Contatos tipo Aresta-Aresta –Um corpo é definido como Corpo A arbitrariamente. –N é mutuamente perpendicular as arestas em contato e direcionado se afastando de B. Obs.: na ausência de atrito é colinear com.

16 César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 16

17 César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 17 Pontos de Contato Degenerados Obs: usualmente estes casos existem apenas instantaneamente, e a escolha para n tem pouco efeito na simulação.

18 César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 18 Pontos de Contato Degenerados Cálculo da intensidade nestes casos é um problema NP-completo (teorema de Palmer); Solução: extensão de um plano local em B, e dá- se o tratamento de contatos tipo Vértice-Plano. Restrição dos Pontos de Contato –Pontos extremos; –Vértices do segmento de reta; e –Polígono de contato das regiões.

19 César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 19 Restrição Pontos de Contato n : número de pontos de contato; : vetor normal a superfície do iésimo ponto de contato; :intensidade da força do iésimo ponto de contato;

20 César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 20 Calculando dinamicamente forças de contato corretamente Um vetor é uma força de contato de magnitude correta se: 1.não permite que os corpos interpenetrem-se; 2.a força de contato empurra mas não puxa; 3.forças de contato ocorrem apenas nos pontos de contato; e 4.visto como uma função do tempo, as forças de contato são contínuas.

21 César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 21 Restrições p/ Não-Penetrações É suficiente examinar o movimento relativo dos corpos em cada ponto de contato; Seja a função característica:

22 César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 22 Quem seriam e ? Seja t o o instante no qual há o choque entre os CR A e B. - A e B estão colidindo (nunca acontecerá) - A e B estão se separando ( fi =0) - se χ i (t o ) <0, χ i está diminuindo em t o e uma interpenetração é eminente, e portanto devemos ter:

23 César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 23 Exemplo 1:

24 César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 24 Exemplo 2:

25 César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 25 Matriz formulação das condições (1) e (2), para 1 i n (não h á inter-penetra ç ão); f i 0, para 1 i n (forcas somente empurram );

26 César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 26 Podemos escrever a representação matricial, portanto, da seguinte forma: –

27 César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 27 Programação Linear (PL) Encontrar um vetor que satisfaz: M x c (M é matriz e c é um vetor) que minimiza uma função linear z( x ) é um exemplo de um problema típico de PL; Se existem x que satisfazem todas as restrições dizemos que o sistema é realizável e cada x é uma solução realizável; Se x é uma solução realizável que minimiza z, são ditos sistemas limitados e x uma solução ótima. PL é um problema polinomial no tempo; Se, entretanto, é explorado o fato de A ser tipicamente uma matriz esparsa, a solução é O (n);

28 César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 28 Formulação das condições (3) e (4) Uma f que atenda a e, não será necessariamente correta!!! –Exemplo 1: f =mgcos( θ ) é a única solução correta, porém f =2mgcos( θ ) é solução realizável que previne a inter-penetração, porém acelera incorretamente, afastando o CR A de B.

29 César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 29 Sabemos que se para o i-ésimo ponto de contato, se então é estritamente crescente e os CR A e B estão se separando. Para atendermos (3) devemos ter:

30 César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 30 Para 1 i n, nossas restri ç ões passam a ser escritas como: Ou:

31 César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 31 O termo que envolve a forma é quadrático em f i ; Programação Quadrática, diferentemente de PL é um problema NP-difícil de um modo geral; Modelando contatos sem atrito A é positivamente semidefinida (PSD), e programas quadráticos podem teoricamente ser resolvidos em tempo polinomial (não existe tal algoritmo...) Não há porque acreditar que com atrito A continuará sendo PSD... SOLUÇÃO: desenvolvimento de um algoritmo heurístico para este problema...

32 César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 32 Solução Heurística Uma determinada configuração de corpos tem apenas uma configuração de movimentos corretos. Seja V e C os conjuntos de pontos que estão deixando de existir e não estão deixando de existir, ou seja: V ={j | ponto de contato que está sumindo} C ={k | ponto de contato que não está sumindo}

33 César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 33 Sabemos que para qualquer solução correta : – Podemos escrever:

34 César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 34 Exemplo: Seja um sistema quadrático com restrições em quatro pontos de contato, com V ={1,3} e C ={2,4}

35 César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 35 Como achar V ? Como achar V ?

36 César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 36 1) Solução mais simples: V =Ø Não existem pontos de contato que estão deixando de existir, e f está sujeito às seguintes restrições: Através de diversas simulações constatou-se que a solução V =Ø é correta para a grande maioria dos casos.

37 César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 37 2) Predizendo um conjunto não-vazio de V Se for encontrado uma configuração com pontos de contatos que estão deixando de existir, a adivinhação de que V=Ø resultará em um sistema indeterminado. Solução: encontrar uma solução aproximada f a que satisfaça às restrições: Seja o vetor residual:

38 César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 38 Se f a for uma solução correta, para todos pontos j, que estão deixando de existir,, e para todos os outros pontos k,. 2.1) Encontrando f a Aproximadas A heurística utilizada para encontrar a solução aproximada é: escolha f a que minimiza a seguinte função:, sujeita às seguintes restrições:

39 César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG ) Tratando com Predições Incorretas -Tendo n pontos de contatos, deveríamos testar todas as 2 n possibilidades ? - A implementação desenvolvida leva em consideração que pontos deixando de existir ocorrem com pouquíssima freqüência... - Energia é adicionada ao sistema, produzindo resultados incorretos...

40 César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG porém o (d)efeito é mascarado pelo fato de que estas configurações são singulares, ou seja é aplicado apenas por um período pequeno no tempo. - Descobriu-se que, no pequeno intervalo de tempo na qual é aplicado, levando-se em conta que é usualmente uma boa aproximação da solução correta produziu resultados satisfatórios.

41 César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 41 Restrições Adicionais Restrições Holonômicas (figuras articuladas) podem ser adicionadas de uma maneira consistente; Barzel e Barr mantiveram restrições holonômicas pela introdução de forças de restrição que satisfaziam ao sistema linear Todo o sistema é resolvido conforme descrito anteriormente, à exceção do somatório mínimo das forças, o qual levará em consideração tão somente as restrições não holonômicas das forças.

42 César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 42 É consistente com a formulação proposta, uma vez que programação linear permite restrições com igualdades; Não estão sujeitos as condições (2); Todo o sistema é resolvido conforme metodologia apresentada, à exceção do somatório mínimo de forças, o qual levará em questão apenas as forças de restrições não-holonômicas; e Utilizado pacote de PL esparsa p/ resolver em O(n).

43 César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 43 Exemplos

44 César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 44

45 César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 45

46 César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 46 Conclusão A solução proposta para encontrar as forças de contato entre corpos poliédricos, foi baseada em uma heurística, cuja solução é encontrada via uso de técnicas de Programação Linear; A solução proposta permite trabalhar com restrições holonômicas; O grande esforço computacional do algoritmo é voltado na solução de um sistema linear de desigualdades; e O algoritmo heurístico utilizado ocasionalmente falhará e uma solução aproximada é utilizada. Isto adiciona energia a simulação mas não resulta em nenhum efeito visual insatisfatório.


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