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UNIDADE 1 - Noções básicas de erros 1.Introdução 2.Representação de números 2. 1. Aritmética de ponto flutuante 2. 1. Aritmética de ponto flutuante 3.

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1 UNIDADE 1 - Noções básicas de erros 1.Introdução 2.Representação de números Aritmética de ponto flutuante Aritmética de ponto flutuante 3. Erros 3.1 Erros Absolutos e Relativos

2 UNIDADE 1 - Noções básicas de erros 1. Introdução O que é cálculo numérico? Corresponde a um conjunto de ferramentas ou métodos usados para se obter a solução de problemas matemáticos de forma aproximada. Esses métodos se aplicam principalmente a problemas que não apresentam solução exata, portanto precisam ser resolvidos numericamente.

3 UNIDADE 1 - Noções básicas de erros 1. Introdução Circuito elétrico composto de uma fonte de tensão e um resistor Exemplo: V I R Solução Exata Introduzindo um diodo no circuito V I R D Solução Utilizando Métodos Numéricos

4 UNIDADE 1 - Noções básicas de erros 1. Introdução Por que produzir resultados numéricos? 1. Um problema de Matemática pode ser resolvido analiticamente, mas esse método pode se tornar impraticável com o aumento do tamanho do problema. Exemplo: Solução de sistemas de equações lineares (cálculo de estruturas, redes elétricas etc.

5 UNIDADE 1 - Noções básicas de erros 1. Introdução 2.A existência de problemas para os quais não existem métodos matemáticos para solução (não podem ser resolvidos analiticamente). Exemplo: a) Não se tem primitiva de forma simples; b) Equações diferenciais parciais não lineares podem ser resolvidas analiticamente só em casos particulares.

6 UNIDADE 1 - Noções básicas de erros 1. Introdução Algumas observações sobre os métodos numéricos. Os métodos numéricos buscam soluções aproximadas para formulações matemáticas. Nos problemas reais, os dados são medidas e, como tais, não são exatos. Uma medida física não e um número, é um intervalo, pela própria imprecisão das medidas. Daí, trabalha-se sempre com a figura do erro, inerente à própria medição. Os métodos aproximados buscam uma aproximação do que seria o valor exato. Dessa forma é inerente aos métodos se trabalhar com a figura da aproximação do erro, o desvio.

7 UNIDADE 1 - Noções básicas de erros 1. Introdução Qual a função do cálculo numérico na engenharia? Modelo Matemático Buscar solucionar problemas técnicos através de métodos numéricos, ou seja: Modelo Matemático

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11 UNIDADE 1 - Noções básicas de erros 1. Introdução Como pode ser visto, ainda que todas as fases da solução estejam corretas podem ocorre erros pelos seguintes motivos: Da precisão dos dados de entrada Da forma com que estes dados são representados no computador Das operações numéricas efetuadas 2. Representação de Números Exemplo 1: Calcular a área de uma circunferência de raio 100 m. Resultados: a) A=31400 m 2 b) A=31416 m 2 c) A= m 2 É possível obter exatamente esta área. Exemplo 2: Efetuar o somatório em calculadora e computador. Para x i =0.5 e para x i =0.11 Resultados obtidos: i) Para x i =0.5 calculadora S=15000 computador S=15000 ii) Para x i =0.11 calculadora S=3300 computador S= Como justificar os erros?

12 UNIDADE 1 - Noções básicas de erros 2. Representação de Números Quanto maior o número de dígitos maior será a precisão obtida. Nos trabalhamos no sistema decimal e o computador no sistema binário. Desta forma o processo de conversão de binário para decimal e vice versa constitui uma fonte de erro Aritmética de ponto flutuante Constitui-se da representação interna da calculadora ou do computador do número na forma: ±(. d 1 d d t ) x e Onde: base em que a máquina opera t – número de dígitos da mantissa: 0dj( j t, d K0; e – é o expoente no intervalo [1,u] Exemplo: Máquina que opera com o sistema: =10;t=3;t X [-5,5] representação do número: 0.d 1 d 2 d 3 x10 e,0 O d j O 9, e X [-5,5] Menor número: m=0.100x10 -5 =10 -6 Maior número: M=0.999x10 5 =99900

13 UNIDADE 1 - Noções básicas de erros Aritmética de ponto flutuante Dado um número real x= que deve ser inserido na máquina. Pode ocorrer as seguintes situações: Caso 1: Respeitando-se os critérios da máquina e de aproximação x= x 10 3 Caso 2: |x|M ocorreria um overflow. 3. Erros 3.1 Erros Absolutos e Relativos Erro absoluto constitui na diferença entre o valor exato x e o valor aproximado O erro relativo é a razão entre o erro absoluto e o valor aproximado.

14 UNIDADE 1 - Noções básicas de erros 3.1 Erros Absolutos e Relativos Exemplo: Seja o valor aproximado igual a de tal forma que |EA x |<0.1, ou seja, x X (2112.8,2113) determine o erro relativo de x.

15 UNIDADE 1 - Noções básicas de erros


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