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UNIDADE 1 – Noções básicas de erros

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Apresentação em tema: "UNIDADE 1 – Noções básicas de erros"— Transcrição da apresentação:

1 UNIDADE 1 – Noções básicas de erros
CÁLCULO NUMÉRICO UNIDADE 1 – Noções básicas de erros Introdução Representação de números 2. 1. Aritmética de ponto flutuante 3. Erros 3.1 Erros Absolutos e Relativos

2 O que é cálculo numérico?
1. Introdução O que é cálculo numérico? Corresponde a um conjunto de ferramentas ou métodos usados para se obter a solução de problemas matemáticos de forma aproximada. Esses métodos se aplicam principalmente a problemas que não apresentam solução exata, portanto precisam ser resolvidos numericamente.

3 1. Introdução Exemplo: Circuito elétrico composto de uma fonte de tensão e um resistor V I R Solução Exata Introduzindo um diodo no circuito V I R D Solução Utilizando Métodos Numéricos

4 1. Introdução Por que produzir resultados numéricos? 1. Um problema de Matemática pode ser resolvido analiticamente, mas esse método pode se tornar impraticável com o aumento do tamanho do problema. Exemplo: Solução de sistemas de equações lineares (cálculo de estruturas, redes elétricas etc.

5 1. Introdução A existência de problemas para os quais não existem métodos matemáticos para solução (não podem ser resolvidos analiticamente). Exemplo: Não se tem primitiva de forma simples; b) Equações diferenciais parciais não lineares podem ser resolvidas analiticamente só em casos particulares.

6 1. Introdução Algumas observações sobre os métodos numéricos. Os métodos numéricos buscam soluções aproximadas para formulações matemáticas. Nos problemas reais, os dados são medidas e, como tais, não são exatos. Uma medida física não e um número, é um intervalo, pela própria imprecisão das medidas. Daí, trabalha-se sempre com a figura do erro, inerente à própria medição. Os métodos aproximados buscam uma aproximação do que seria o valor exato. Dessa forma é inerente aos métodos se trabalhar com a figura da aproximação do erro, o desvio.

7 1. Introdução Qual a função do cálculo numérico na engenharia? “Buscar solucionar problemas técnicos através de métodos numéricos, ou seja: Modelo Matemático

8 1. Introdução

9 1. Introdução

10 1. Introdução

11 2. Representação de Números
1. Introdução Como pode ser visto, ainda que todas as fases da solução estejam corretas podem ocorre erros pelos seguintes motivos: Da precisão dos dados de entrada Da forma com que estes dados são representados no computador Das operações numéricas efetuadas 2. Representação de Números Exemplo 2: Efetuar o somatório em calculadora e computador. Para xi=0.5 e para xi=0.11 Resultados obtidos: i) Para xi= calculadora S=15000 computador S=15000 ii) Para xi=0.11 calculadora S=3300 computador S= Exemplo 1: Calcular a área de uma circunferência de raio 100 m. Resultados: a) A=31400 m2 b) A=31416 m2 c) A= m2 É possível obter exatamente esta área. Como justificar os erros?

12 2. Representação de Números
Quanto maior o número de dígitos maior será a precisão obtida. Nos trabalhamos no sistema decimal e o computador no sistema binário. Desta forma o processo de conversão de binário para decimal e vice versa constitui uma fonte de erro 2. 1. Aritmética de ponto flutuante Constitui-se da representação interna da calculadora ou do computador do número na forma: ±(.d1d dt) x be Onde: - base em que a máquina opera t – número de dígitos da mantissa: 0≤dj≤(b-1),j=1.....t, dK0; e – é o expoente no intervalo [1,u] Exemplo: Máquina que opera com o sistema: b=10;t=3;tX[-5,5] representação do número: 0.d1d2d3x10e,0OdjO9, eX[-5,5] Menor número: m=0.100x10-5=10-6 Maior número: M=0.999x105=99900

13 3.1 Erros Absolutos e Relativos
2. 1. Aritmética de ponto flutuante Dado um número real x= que deve ser inserido na máquina. Pode ocorrer as seguintes situações: Caso 1: Respeitando-se os critérios da máquina e de aproximação x= x 103 Caso 2: |x|<m ocorreria um underflow. Caso 3: |x|>M ocorreria um overflow. 3. Erros 3.1 Erros Absolutos e Relativos Erro absoluto constitui na diferença entre o valor exato x e o valor aproximado O erro relativo é a razão entre o erro absoluto e o valor aproximado.

14 3.1 Erros Absolutos e Relativos
Exemplo: Seja o valor aproximado igual a de tal forma que |EAx|<0.1, ou seja, x X(2112.8,2113) determine o erro relativo de x.

15 O fim....O fim


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