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INTRODUÇÃO A ALGORITMOS NUMÉRICOS Prof. Renata S.S. Guizzardi 2009/02.

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1 INTRODUÇÃO A ALGORITMOS NUMÉRICOS Prof. Renata S.S. Guizzardi 2009/02

2 A GENDA Introdução Detalhes da Disciplina: Ementa Métodos de Avaliação Outros Detalhes

3 INTRODUÇÃO

4 O QUE SÃO ALGORITMOS NUMÉRICOS? São programas de computador capazes de solucionar problemas matemáticos, fornecendo resultado numérico aproximado. Apesar de aproximada, a solução pode ser obtida em um grau crescente de exatidão.

5 1) Um problema de Matemática pode ser resolvido analiticamente, mas esse método pode se tornar impraticável com o aumento do tamanho do problema. Ex.: solução de sistemas de equações lineares. 5 P OR QUE UTILIZAR ? (1/2)

6 2) O problema não tem solução analítica. Exemplos: a) não representável por funções elementares; b) não pode ser resolvido analiticamente; 6 P OR QUE UTILIZAR ? (2/2)

7 FUNÇÃO DE ALGORITMOS NUMÉRICOS NA ENGENHARIA Solucionar problemas técnicos através de métodos numéricos, usando um modelo matemático 7

8 Calcular tensões dos nós do circuito elétrico (pag. 117): No nó 1, pela lei de Kirchhoff: EXEMPLO DE APLICAÇÃO (1/2)

9 EXEMPLO DE APLICAÇÃO (2/2) O problema é resolvido a partir de um sistema linear de quatro equações e quatro variáveis V1, V2, V3 e V4.

10 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Problema Real Levantar Dados Construir Modelo Matemático Escolher Método Numérico Implementar Método Computacionalment e Solução Numérica Analisar Resultados Eventualmente Rever

11 N O EXEMPLO ANTERIOR Problema real: determinar tensões nos nós dos circuitos. Levantamento de dados: valores das resistências e tensões nos pontos A e B. Construir modelo matemático: montar equações e criar as matrizes a partir delas. Escolher método numérico: Decomposição LU, Decomposição de Cholesky, Fatoração LDL T, Método de Jacobi etc. Implementar Método Computacionalmente: criar e processar programa. Analisar resultados e verificar se o modelo matemático ou o método numérico precisam ser alterados.

12 T IPOS DE E RROS (1/6) Erro na Modelagem Devido à expressão matemática que não reflete perfeitamente o fenômeno físico ou aos dados terem sido obtidos com pouca exatidão. Erro Grosseiro Devido a erro na elaboração ou implementação do algoritmo ou a erro de digitação.

13 T IPOS DE E RROS (2/6) - T RUNCAMENTO Erro de Truncamento: Devido à aproximação de uma fórmula. expansão da função exponencial em séries de potência Exercício: Calcular o valor de e 1 por meio de uma série truncada de segunda ordem. Verificar o erro sabendo-se que o valor com 4 algarismos significativos é 2,718.

14 T IPOS DE E RROS (3/6) - A RREDONDAMENTO Erro de Arredondamento: Devido à forma de representação de números no computador. Conversão de base (decimalbinário) Problema com o número de bits que são usados para representar os números (números fracionários). Nem sempre um número decimal exato tem representação exata em binário. Ex. 0,1 10 0, = 0, (erro de 0, ). Exercícios

15 T IPOS DE E RROS (4/6) - A RREDONDAMENTO A RITMÉTICA DE P ONTO F LUTUANTE Números em ponto flutuante (reais) são representados no formato normalizado : 5 = 0.5 x ,007 = 0.7 x ,42 = 0,3542 x 10 2 Representação no computador

16 T IPOS DE E RROS (5/6) - A RREDONDAMENTO A RITMÉTICA DE P ONTO F LUTUANTE Suponha uma mantissa de tamanho 2: Represente 35,42 Some 4,32 e 0,064 Subtraia 372 e 371 Multiplique 1234 por 0,016

17 T IPOS DE E RROS (4/6) - A RREDONDAMENTO A RITMÉTICA DE P ONTO F LUTUANTE Formato IEEE de ponto flutuante

18 Aritmética de ponto flutuante A perda de precisao quando dois numeros aproximadamente iguais são subtraidos eh a maior fonte de erro nas operacoes de ponto flutuante. Dar exercicio Levar exemplos no papel, inclusive para explicar conversão na aula.

19 DESASTRES CAUSADOS POR ERROS NAS SOLUÇÕES (1/3) Exemplo 1: Falha no lançamento de mísseis (25/02/1991 – Guerra do Golfo – míssil Patriot) 19 Erro de 0,34 s no cálculo do tempo de lançamento Limitação na representação numérica (24 bits)

20 Exemplo 2: Explosão de foguetes (04/06/1996 – Guiana Francesa – foguete Ariane 5) 20 Erro de trajetória 36,7 s após o lançamento Limitação na representação numérica (64 bits/ 16 bits) Prejuízo: U$ 7,5 bilhões DESASTRES CAUSADOS POR ERROS NAS SOLUÇÕES (2/3)

21 DESASTRES CAUSADOS POR ERROS NAS SOLUÇÕES (3/3) Exemplo 3: Afundamento de Plataforma Marítima (23/08/1991 – Mar do Norte/Noruega – Plataforma Sleipner) Rompimento de uma das Células que compunham a parede Parcialmente causada por erro de análise no elemento finito Prejuízo: U$ 700 milhões

22 E RRO A BSOLUTO E E RRO R ELATIVO Duas formas de medir o erro. Erro Absoluto = valor real – valor aproximado. Erro Relativo = valor real – valor aproximado valor real Exercício: calcular erro absoluto e relativo para os exercícios anteriores.

23 O UTROS C ONCEITOS I MPORTANTES Complexidade computacional Medida do esforço computacional despendido para resolver o problema. Medido pelo número necessário de operações aritméticas e lógicas. Convergência Propriedade de gerar solução exata. Ordem de Convergência: rapidez com que a sequência gerada por dado método converge para a solução exata.

24 D ETALHES DA D ISCIPLINA

25 E MENTA 1. Introdução 2. Sistemas Lineares 3. Interpolação Polinomial 4. Ajuste de Curvas 5. Integração Numérica 6. Raízes de Equações 7. Equações Diferenciais Ordinárias

26 AVALIAÇÃO Duas provas parciais 1ª prova: 13/10 (4 primeiros itens da ementa) 2ª prova: 26/11 (3 últimos itens da ementa) Um trabalho computacional Entrega: primeira semana de novembro Duas listas de exercício Entrega: uma aula antes das provas. Cálculo da Média: (0,6 x Médias das provas) + (0,3 x Trabalho Computacional) + (0,1 x Entrega das listas de exercício completas)

27 L IVRO T EXTO Frederico Ferreira Campos Filho. Algoritmos Numéricos, 2 ed., Rio de Janeiro: LTC p.

28 H ORÁRIO DE A TENDIMENTO Horário de Atendimento 3ªs – 15:00 às 18:00 P ÁGINA DO C URSO m


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