SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Apresentação em tema: "SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS"— Transcrição da apresentação:

1 SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Prof. Flávio Pietrobon Costa Áreas de conhecimento do CNPQ Matemática Aplicada Princípios Variacionais e Métodos Numéricos

2 SUMÁRIO Introdução Origens Conceitos gerais Equações diferenciais
Métodos numéricos Métodos numéricos de solução ODE PDE

3 INTRODUÇÃO Equações diferenciais
Surgiram na segunda metade do século XVII Associadas à descrição de problemas aplicados Soluções dessas equações por procedimentos numéricos Problemas de elevado grau de complexidade Avanços importantes tornaram-se possíveis, no sentido da satisfação das necessidades humanas. Preservação ambiental, Estudo de ecossistemas, determinação de deformações e esforços em grandes estruturas barragens, plataformas de petróleo e torres de telecomunicação, análise de estruturas de esbeltez elevada, estudos de aerodinâmica, previsão atmosférica, erosão costeira ou fluvial, poços profundos, planejamento cirúrgico, exploração de jazidas subterrâneas, análise de problemas e projetos relativos sistemas de potência e transmissão de energia,

4 Problemas que resultam em sistemas de equações diferenciais,
Elevado número de incógnitas, Esforço de cálculo analítico proibitivo, Custos elevados de execução, Soluções vulnerabilizadas a erros comprometedores (Cook, Malkus e Plesha, 1989).

5 Evolução dos computadores nas últimas décadas,
Desenvolvimento das técnicas computacionais, Abordagem por métodos numéricos, Problemas complexos: grande no. de variáveis e de equações: sistemas, Atualmente resolvidos por via computacional: solução automatizada, Problemas envolvendo mecânica do contínuo (Pietrobon, 1998).

6 Os métodos numéricos computacionais, utilizando técnicas de programação adequadas à otimização da busca de soluções, viabilizam o estudo dos problemas complexos, com elevado número de variáveis. Advento dos métodos numéricos: décadas de 50 e 60 (sec. XX), Prever e projetar, com apurado índice de acerto, resultados derivados de sistemas complexos de equações. Problemas associados à mecânica do contínuo: simulação temporal por soluções precisas (Bushnell, 1990). Ciências físicas, biológicas, matemáticas, químicas, engenharia, e do meio ambiente.

7 ORIGENS Equações diferenciais
O raiar da Teoria das Equações Diferenciais: acúmulo de 325 anos de informações, 11 de novembro de 1675, Leibinitz:

8 Newton (Methodus fluxionum et serierum infinitarum, escrito em 1671, editado em 1744):
equações de fluxo, relação entre taxas de variação (“fluxo”) e variáveis independentes (“fluente”)

9 associando dois fluentes,
definindo as Equações Diferenciais Ordinárias, EDO (inglês ODE). classe de equações: EDP (PDE), relaciona uma taxa de variação com mais de duas variáveis.

10 Contribuições de Newton e Leibnitz. Newton:
desenvolvimento de solução em série de potências, solução da equação por uma série infinita,

11 resulta por substituição da série representativa de y
in Tractatus de quadratura curvarum, , 1a publicação em Opticks, 1704 O coeficiente a0 resulta totalmente arbitrário, Família de soluções, infinita.

12 Leibnitz, 1691, técnica de separação de variáveis:
Desenvolvimento econômico e industrial, Sec. XVIII a XX, requisitos: ocupação do espaço territorial, mecânica, eletricidade, mineração, navegação, vôo, construção, e outras demandas da sociedade moderna.

13 Choque ideológico e econômico entre as potências,
Requisito de maiores e novos avanços na tecnologia, Avanço no conhecimento em áreas fundamentais: matemática, física, química e engenharia,

14 Rápido alcance dos limites de segurança de materiais e técnicas empíricas de construção de equipamentos, Condições de uso nos limites da segurança e da resistência dos materiais: vôo a jato, exploração em águas profundas, construções de grandes estruturas,

15 No seu conjunto, requisitos de desenvolvimento da tecnologia:
resultam em modelos matemáticos sistemas de ODEs e EDPs, solução numérica computacional.

16 CONCEITOS GERAIS solução de sistemas de equações diferenciais (Tanehill, Andersen e Pletcher, 1997): experimental: modelo físico, medição direta, análise dimensional, Teoria da Semelhança (Carneiro, F. Lobo, 1993). analítica: simplificações teóricas, problemas complexos tratáveis, solução depende da precisão e eficácia das hipótese simplificadoras. computacional: modelo matemático, algoritmo de solução, hipóteses coerentes, simulação numéricas,discretização do contínuo.

17 Objeto de resolução: sistema de equações diferenciais obtidas no modelo numérico.
Pontualmente na malha de discretização do contínuo: função algébrica integrada  solução, MDF: derivadas substituídas por diferenças finitas apropriadas, MEF: funções de forma elementais ponderadas, para modelar solução.

18 VANTAGENS DA ABORDAGEM NUMÉRICA COMPUTACIONAL
Liberdade de limitações de ordem dimensional, de ordem física e espacial, Ausência de limitações de hipóteses simplificadoras, É a abordagem de maior potencial evolutivo. Precisão, prevenção de erros numéricos, estabilidade e convergência do processo de solução (Lapidus e Pinder, 1999).

19 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Contém uma ou mais derivadas, de 1a , 2a, ou ordem superior. Derivadas ordinárias, correlaciona uma função, ou variável dependente, com uma única variável independente: EDO. Derivadas parciais: função dependente de mais de uma variável. Derivadas indicando a variável com que se relaciona: EDP (Dieguez, 1994):

20 MÉTODOS NUMÉRICOS procedimentos matemáticos,
aplicação otimizada para emprego computacional, implementação em códigos que obedeçam a algoritmos lógicos, solução de um problema de caráter científico aproximações numéricas sucessivas: processo iterativo. rotina de análise e modelagem do problema, relações matemáticas entre variáveis, funções e condicionantes desse problema, testes de validação e aperfeiçoamento.

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22 PROBLEMAS DE APLICAÇÃO

23 MÉTODOS NUMÉRICOS DE SOLUÇÃO
EDOs, podem sempre ser reduzidos à 1a ordem:

24 z(x) nova variável dependente (Dieguez, 19994).
Solução genéricas de EDOs: redução das EDOs de ordem superior ao estudo de uma cadeia de n equações de 1a ordem acopladas em termos de funções yi , i=1,2,...,n:

25 O problema de solução numérica de EDO de ordem n:
Não é resolvido somente com essas n equações de 1a ordem, Crucial é a modelagem numérica (MDF, MEF etc), Consideração das condições de contorno associadas à equação. Condições de contorno: valores algébricos de xi ou de yi em pontos discretos específicos.

26 PVI, problema de valor inicial: em que valores algébricos de yi são fornecidos em pontos iniciais xs, sendo necessário o conhecimento desses valores para iniciar a solução da equação; PVC, problema de valor de contorno: sendo necessário o conhecimento de valores, ou condições associadas a yi, em pontos xf que determinam a fronteira da solução do problema.

27 Conceito de discretização desenvolvido por Euler: substitui-se a taxa relacional por “steps” ou incrementos y e x (Numerical recipes, ): Multiplicando toda a equação por x, Resultado: formulação algébrica análoga à EDO, que fornece variação da função correspondente à variação de x de um x. No limite: incrementos adequadamente pequenos, aproximação ótima para a avaliação da função y, solução da EDO.

28 MÉTODO DE RUNGE-KUTTA PARA EDO
Método de Euler Euler: expansão em série de Taylor, truncando a série no 2o termo, resultando um erro de ordem O(h2). Runge-Kutta: redução da ordem de erro, seqüência de formulações de 1a ordem, avaliação do valor aproximado da função solução da EDO de ordem n.

29 Runge-Kutta de 2a ordem Runge-Kutta de 4a ordem

30 EDO, condições iniciais x0 = 0, y0 = 1, e xn = 0,1.Tomando 10 partições (n = 10) e, portanto h = 0,0:

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32 SOLUÇÃO NUMÉRICA DA EDP
Relacionada a métodos de discretização e integração de variáveis sobre um contínuo, Método das Diferenças Finitas (FDM), Método dos Elementos Finitos (FEM). Nas últimas décadas: Diferenças Finitas Energéticas (EFDM), Elementos de Contorno (Boundary), Tiras (Strips) Finitas, dentre outros.

33 FDM: substituição das derivadas por formas de diferenças finitas,
Obtidas pela expansão em Série de Taylor e truncamento a nível da ordem de erro desejada:

34 Formulações análogas para formas em diferenças finitas, centrais, a vante e a ré, para derivadas de ordem superior, assim para a 2a derivada resulta a forma central: Aplicação em EDPs: equações algébricas, Integrando contribuições pontuais do valor da função, Domínio contínuo discretizado em uma malha de pontos, Valores da função em vértices da malha :

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37 Equação de onda, EDP, propagação de ondulação em um meio contínuo:
Condições de bordo (contorno): extremidades fixas: u(0,t) = u(L,t) = 0

38 Equação algébrica só tem solução para a condição de estabilidade (Lapidus e Pinder, 1999; e Diegues, ): Corda inicialmente em repouso, em posição u(x) = x (4-x), de extremidades fixas, com comprimento 4 m,  de 2 m/s, discretizada em 8 partições, resultando x = 0,5 m e t = 0,25 s.

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40 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
E. L. Ince, Ordinary differential equations, Dover publications, New york, ; L. Lapidus and G. F. Pinder, Numerical solutions of partial differential equations in science and engineering, John Wiley & Sons Inc, Toronto, ;Cook, Malkus e Plesha, 1989; Pietrobon, F.C.; Formulação Numérica por Diferenças Finitas Energéticas da Flexão Dinâmica de Vigas com a Consideração da Deformabilidade por Cortante e da Inércia de Rotação; Tese M.Sc., COPPE/PEC-UFRJ, Rio de Janeiro, 1998; Bushnell, D.; Finite-difference Energy Models Versus Finite Element Models: Two Variacional Approaches in One Computer Program; Lockheed Missiles and Space Co., Palo Alto, in “Stress, Stability and Chaos in Structural Engineering Approach”, organizer El Naschie, McGraw-Hill Book Co., Singapore, 1990;)Isaac Newton, Methodus fluxionum et serierum infinitarum, 1744; Tractatus de quadratura curvarum, Opticks, 1704; Tannehill, J.C.; Andersen, D.A.; Pletcher, R.H.; Computacional Fluid Mechanics and Heat Transfer; Taylor & Francis Publishers, 1997; Carneiro, F. Lobo.; Análise Dimensional e Teoria da Semelhança e dos Modelos Físicos; Editora UFRJ, Rio de Janeiro, 1993; Numerical recipes, Cambridge University Press, 2002.