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SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Prof. Flávio Pietrobon Costa Áreas de conhecimento do CNPQ 1.01.04.00-3 - Matemática Aplicada 3.05.01.04-0 -

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1 SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Prof. Flávio Pietrobon Costa Áreas de conhecimento do CNPQ Matemática Aplicada Princípios Variacionais e Métodos Numéricos

2 SUMÁRIO •Introdução •Origens •Conceitos gerais –Equações diferenciais –Métodos numéricos •Métodos numéricos de solução –ODE –PDE

3 INTRODUÇÃO •Equações diferenciais •Surgiram na segunda metade do século XVII •Associadas à descrição de problemas aplicados •Soluções dessas equações por procedimentos numéricos •Problemas de elevado grau de complexidade •Avanços importantes tornaram-se possíveis, no sentido da satisfação das necessidades humanas. •Preservação ambiental, •Estudo de ecossistemas, •determinação de deformações e esforços em grandes estruturas •barragens, plataformas de petróleo e torres de telecomunicação, •análise de estruturas de esbeltez elevada, •estudos de aerodinâmica, •previsão atmosférica, •erosão costeira ou fluvial, •poços profundos, •planejamento cirúrgico, •exploração de jazidas subterrâneas, •análise de problemas e projetos relativos sistemas de potência e transmissão de energia,

4  Problemas que resultam em sistemas de equações diferenciais,  Elevado número de incógnitas,  Esforço de cálculo analítico proibitivo,  Custos elevados de execução,  Soluções vulnerabilizadas a erros comprometedores (Cook, Malkus e Plesha, 1989).

5 •Evolução dos computadores nas últimas décadas, •Desenvolvimento das técnicas computacionais, •Abordagem por métodos numéricos, •Problemas complexos: grande no. de variáveis e de equações: sistemas, •Atualmente resolvidos por via computacional: solução automatizada, •Problemas envolvendo mecânica do contínuo (Pietrobon, 1998).

6 •Os métodos numéricos computacionais, utilizando técnicas de programação adequadas à otimização da busca de soluções, viabilizam o estudo dos problemas complexos, com elevado número de variáveis. •Advento dos métodos numéricos: décadas de 50 e 60 (sec. XX), •Prever e projetar, com apurado índice de acerto, resultados derivados de sistemas complexos de equações. •Problemas associados à mecânica do contínuo: simulação temporal por soluções precisas (Bushnell, 1990). •Ciências físicas, biológicas, matemáticas, químicas, engenharia, e do meio ambiente.

7 ORIGENS Equações diferenciais •O raiar da Teoria das Equações Diferenciais: –acúmulo de 325 anos de informações, –11 de novembro de 1675, Leibinitz:

8 •Newton (Methodus fluxionum et serierum infinitarum, escrito em 1671, editado em 1744): –equações de fluxo, –relação entre taxas de variação (“fluxo”) e variáveis independentes (“fluente”)

9 •associando dois fluentes, •definindo as Equações Diferenciais Ordinárias, EDO (inglês ODE). • classe de equações: EDP (PDE), • relaciona uma taxa de variação com mais de duas variáveis.

10 •Contribuições de Newton e Leibnitz. •Newton: –desenvolvimento de solução em série de potências, –solução da equação por uma série infinita,

11 •resulta por substituição da série representativa de y • in Tractatus de quadratura curvarum, 1676, 1 a publicação em Opticks, 1704 • O coeficiente a 0 resulta totalmente arbitrário, • Família de soluções, infinita.

12 •Leibnitz, 1691, técnica de separação de variáveis: • Desenvolvimento econômico e industrial, • Sec. XVIII a XX, requisitos: •ocupação do espaço territorial, •mecânica, eletricidade, mineração, navegação, vôo, construção, e outras demandas da sociedade moderna.

13 –Choque ideológico e econômico entre as potências, –Requisito de maiores e novos avanços na tecnologia, –Avanço no conhecimento em áreas fundamentais: matemática, física, química e engenharia,

14 –Rápido alcance dos limites de segurança de materiais e técnicas empíricas de construção de equipamentos, –Condições de uso nos limites da segurança e da resistência dos materiais: vôo a jato, exploração em águas profundas, construções de grandes estruturas,

15 No seu conjunto, requisitos de desenvolvimento da tecnologia: •resultam em modelos matemáticos •sistemas de ODEs e EDPs, •solução numérica computacional.

16 CONCEITOS GERAIS solução de sistemas de equações diferenciais (Tanehill, Andersen e Pletcher, 1997): • experimental: modelo físico, medição direta, análise dimensional, Teoria da Semelhança (Carneiro, F. Lobo, 1993). • analítica: simplificações teóricas, problemas complexos tratáveis, solução depende da precisão e eficácia das hipótese simplificadoras. • computacional: modelo matemático, algoritmo de solução, hipóteses coerentes, simulação numéricas,discretização do contínuo.

17 •Objeto de resolução: sistema de equações diferenciais obtidas no modelo numérico. •Pontualmente na malha de discretização do contínuo: função algébrica integrada  solução, •MDF: derivadas substituídas por diferenças finitas apropriadas, •MEF: funções de forma elementais ponderadas, para modelar solução.

18 VANTAGENS DA ABORDAGEM NUMÉRICA COMPUTACIONAL • Liberdade de limitações de ordem dimensional, de ordem física e espacial, • Ausência de limitações de hipóteses simplificadoras, • É a abordagem de maior potencial evolutivo. • Precisão, prevenção de erros numéricos, estabilidade e convergência do processo de solução (Lapidus e Pinder, 1999).

19 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS •Contém uma ou mais derivadas, de 1 a, 2 a, ou ordem superior. •Derivadas ordinárias, correlaciona uma função, ou variável dependente, com uma única variável independente: EDO. •Derivadas parciais: função dependente de mais de uma variável. Derivadas indicando a variável com que se relaciona: EDP (Dieguez, 1994):

20 MÉTODOS NUMÉRICOS •procedimentos matemáticos, •aplicação otimizada para emprego computacional, •implementação em códigos que obedeçam a algoritmos lógicos, •solução de um problema de caráter científico •aproximações numéricas sucessivas: processo iterativo. •rotina de análise e modelagem do problema, •relações matemáticas entre variáveis, funções e condicionantes desse problema, •testes de validação e aperfeiçoamento.

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22 PROBLEMAS DE APLICAÇÃO

23 MÉTODOS NUMÉRICOS DE SOLUÇÃO •EDOs, podem sempre ser reduzidos à 1 a ordem:

24 •z(x) nova variável dependente (Dieguez, 19994). •Solução genéricas de EDOs: redução das EDOs de ordem superior ao estudo de uma cadeia de n equações de 1 a ordem acopladas em termos de funções y i, i=1,2,...,n:

25 O problema de solução numérica de EDO de ordem n: • Não é resolvido somente com essas n equações de 1 a ordem, • Crucial é a modelagem numérica (MDF, MEF etc), • Consideração das condições de contorno associadas à equação. • Condições de contorno: valores algébricos de x i ou de y i em pontos discretos específicos.

26  PVI, problema de valor inicial: em que valores algébricos de y i são fornecidos em pontos iniciais x s, sendo necessário o conhecimento desses valores para iniciar a solução da equação;  PVC, problema de valor de contorno: sendo necessário o conhecimento de valores, ou condições associadas a y i, em pontos x f que determinam a fronteira da solução do problema.

27 •Conceito de discretização desenvolvido por Euler: substitui-se a taxa relacional por “steps” ou incrementos  y e  x (Numerical recipes, 2002): •Multiplicando toda a equação por  x, •Resultado: formulação algébrica análoga à EDO, que fornece variação da função correspondente à variação de x de um  x. •No limite: incrementos adequadamente pequenos, aproximação ótima para a avaliação da função y, solução da EDO.

28 MÉTODO DE RUNGE-KUTTA PARA EDO Método de Euler Euler: expansão em série de Taylor, truncando a série no 2 o termo, resultando um erro de ordem O(h 2 ). Runge-Kutta: redução da ordem de erro, seqüência de formulações de 1 a ordem, avaliação do valor aproximado da função solução da EDO de ordem n.

29 Runge-Kutta de 2 a ordem Runge-Kutta de 4 a ordem

30 EDO, condições iniciais x 0 = 0, y 0 = 1, e x n = 0,1.Tomando 10 partições (n = 10) e, portanto h = 0,0:

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32 SOLUÇÃO NUMÉRICA DA EDP •Relacionada a métodos de discretização e integração de variáveis sobre um contínuo, •Método das Diferenças Finitas (FDM), •Método dos Elementos Finitos (FEM). •Nas últimas décadas: Diferenças Finitas Energéticas (EFDM), Elementos de Contorno (Boundary), Tiras (Strips) Finitas, dentre outros.

33 FDM: substituição das derivadas por formas de diferenças finitas, Obtidas pela expansão em Série de Taylor e truncamento a nível da ordem de erro desejada:

34 Formulações análogas para formas em diferenças finitas, centrais, a vante e a ré, para derivadas de ordem superior, assim para a 2 a derivada resulta a forma central: Aplicação em EDPs: equações algébricas, Integrando contribuições pontuais do valor da função, Domínio contínuo discretizado em uma malha de pontos, Valores da função em vértices da malha :

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37 Equação de onda, EDP, propagação de ondulação em um meio contínuo: Condições de bordo (contorno): extremidades fixas: u(0,t) = u(L,t) = 0

38 Equação algébrica só tem solução para a condição de estabilidade (Lapidus e Pinder, 1999; e Diegues, 1994): Corda inicialmente em repouso, em posição u(x) = x (4-x), de extremidades fixas, com comprimento 4 m,  de 2 m/s, discretizada em 8 partições, resultando  x = 0,5 m e  t = 0,25 s.

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40 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA (E. L. Ince, Ordinary differential equations, Dover publications, New york, 1944; (L. Lapidus and G. F. Pinder, Numerical solutions of partial differential equations in science and engineering, John Wiley & Sons Inc, Toronto, 1999;Cook, Malkus e Plesha, 1989; (Pietrobon, F.C.; Formulação Numérica por Diferenças Finitas Energéticas da Flexão Dinâmica de Vigas com a Consideração da Deformabilidade por Cortante e da Inércia de Rotação; Tese M.Sc., COPPE/PEC-UFRJ, Rio de Janeiro, 1998; (Bushnell, D.; Finite-difference Energy Models Versus Finite Element Models: Two Variacional Approaches in One Computer Program; Lockheed Missiles and Space Co., Palo Alto, in “Stress, Stability and Chaos in Structural Engineering Approach”, organizer El Naschie, McGraw-Hill Book Co., Singapore, 1990; ) Isaac Newton, Methodus fluxionum et serierum infinitarum, 1744; (Tractatus de quadratura curvarum, Opticks, 1704; (Tannehill, J.C.; Andersen, D.A.; Pletcher, R.H.; Computacional Fluid Mechanics and Heat Transfer; Taylor & Francis Publishers, 1997; (Carneiro, F. Lobo.; Análise Dimensional e Teoria da Semelhança e dos Modelos Físicos; Editora UFRJ, Rio de Janeiro, 1993; (Numerical recipes, Cambridge University Press, 2002.


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