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Olimpíada Paulista de Matemática Quadrados Mágicos: Director’s Cut Prof. Carlos Shine.

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1 Olimpíada Paulista de Matemática Quadrados Mágicos: Director’s Cut Prof. Carlos Shine

2 Olimpíada Paulista de Matemática Quadrados Mágicos •Aparecem números consecutivos •Soma das linhas = soma das colunas = soma das diagonais

3 Olimpíada Paulista de Matemática Existem quadrados mágicos maiores? •Sim! •Existem quadrados mágicos de tamanho 3, 4, 5, 6,...

4 Olimpíada Paulista de Matemática Matemática e Arte? Soma mágica:

5 Olimpíada Paulista de Matemática Como fazer quadrados mágicos de qualquer tamanho? •Uma ideia: quadrados latinos! •São quadrados que têm números de 1 a n em cada linha e coluna

6 Olimpíada Paulista de Matemática Algo a mais •Além disso, as diagonais não podem ter números repetidos  X

7 Olimpíada Paulista de Matemática Assim... •Monte uma nova tabela girando-a de 90 graus no sentido anti-horário

8 Olimpíada Paulista de Matemática Depois? •Subtraia 1 de cada número, multiplique tudo por 4 e some à primeira tabela

9 Olimpíada Paulista de Matemática Infelizmente •Isso funciona bem só para alguns quadrados •Não dá certo sempre •O que fazer então? •Não se preocupe! Há outras regras!

10 Olimpíada Paulista de Matemática Ímpares •Comece pela casinha do meio da primeira linha e vá na diagonal superior direita •Se o tabuleiro acabar, volte do outro lado (que nem videogame!) •Se a casinha já estiver ocupada, vá uma casa para baixo.

11 Olimpíada Paulista de Matemática Tamanho

12 Olimpíada Paulista de Matemática Por que funciona?

13 Olimpíada Paulista de Matemática Múltiplos de 4 •Preencha na ordem usual (da esquerda para a direita, de cima para baixo) •Divida o tabuleiro em quadrados 4  4 •Em cada tabuleiro desenhe as duas diagonais •Troque todos os números que estão sob diagonais pelo complementar (o maior pelo menor, o segundo maior pelo segundo menor, etc)

14 Olimpíada Paulista de Matemática Tamanho

15 Olimpíada Paulista de Matemática Por que funciona? •Trocamos elementos simétricos tanto numérica como geometricamente •Cada linha tem 4 números “grandes” e 4 “pequenos” •Isso balanceia a soma

16 Olimpíada Paulista de Matemática Pares que não são múltiplos de 4 •Método “LUX” •Dividimos em quadrados 2  2 •Preenchemos cada quadrado com quatro números, na ordem •A ordem dos quadrados é a mesma do caso ímpar •A ordem de cada quadrado pode ser L, U ou X

17 Olimpíada Paulista de Matemática Exemplo

18 Olimpíada Paulista de Matemática Em geral •Se n = 4k + 2, a distribuição dos Ls, Us e Xs é a seguinte: –k + 1 linhas de Ls –Uma linha de Us –k – 1 linhas de Xs –Trocamos o L central pelo U inferior

19 Olimpíada Paulista de Matemática Por que funciona? •As “médias” dos quadrados funcionam, pois o caso ímpar funciona •Falta só ajustar dentro dos quadrados

20 Olimpíada Paulista de Matemática Nas linhas... •Nas linhas está tudo bem, pois somamos vários pares na média

21 Olimpíada Paulista de Matemática Nas colunas... •Note que cada L compensa um U; •Há sempre dois Ls a mais que Us •Então nas linhas ímpares temos +2 e nas linhas ímpares -2 •Mas cada U tem -2 nas linhas ímpares e +2 nas linhas pares

22 Olimpíada Paulista de Matemática Nas diagonais... •Há um L a mais do que Us; •Então a diagonal que desce fica com +2 e a que sobe, com -2 •Mas cada um dos dois U tem -1 na diagonal que desce e +1 na que sobe

23 Olimpíada Paulista de Matemática Voltando ao 3 x 3 •Permitindo agora colocar qualquer número real nas casinhas, é possível achar todos os quadrados mágicos? •A resposta é sim, e vamos ver como!

24 Olimpíada Paulista de Matemática Primeiro passo: o número do meio •Seja 3k a soma mágica •Então:  a + e + i = 3k  b + e + h = 3k  c + e + g = 3k  d + e + f = 3k •Somando tudo obtemos a + b + c + d + e + f + g + h + i + 3e = 12k •Como a soma de todos os números é 9k (três vezes a soma mágica), 9k + 3e = 12k  e = k abc def ghi

25 Olimpíada Paulista de Matemática Agora é só preencher! k k + l k – l k + m k – m k – l + m k + l – m k – l – m k + l + m

26 Olimpíada Paulista de Matemática Mais uma curiosidade Produtos Soma das linhas 225 Soma das colunas 225

27 Olimpíada Paulista de Matemática Não é coincidência! •Isso vale para todo quadrado mágico de tamanho 3 •Você pode abrir a conta para conferir! k + lk – l – mk + m k – l + mkk + l – m k – mk + l + mk – l

28 Olimpíada Paulista de Matemática Quadrados mágicos multiplicativos •Agora os produtos devem ser iguais! •Os números não precisam mais ser consecutivos Produto mágico: 4096

29 Olimpíada Paulista de Matemática Cubos mágicos •É a versão 3D dos quadrados mágicos •Em cada linha de números a soma deve ser a mesma

30 Olimpíada Paulista de Matemática O que se sabe sobre cubos mágicos? •Não existem cubos mágicos de tamanho 2, 3 e 4 •Todavia existem cubos mágicos de tamanho 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12 •Não se sabe o que acontece para cubos maiores

31 Olimpíada Paulista de Matemática Alguns problemas para você 1.Construa quadrados mágicos de tamanho 6, 7, 12 e 14 2.Verifique a propriedade dos produtos dos quadrados mágicos de ordem 3 3.A propriedade vale também para diagonais? 4.Existe um exemplo em que a propriedade vale para diagonais? 5.O menor produto mágico possível para quadrados multiplicativos de tamanho 3 é 216. Encontre um quadrado mágico com esse produto mágico.


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