Equações diferenciais ordinárias

Apresentação em tema: "Equações diferenciais ordinárias"— Transcrição da apresentação:

1 Equações diferenciais ordinárias

2 Problemática Equações diferencias aparecem em modelos que descrevem quantitativamente fenômenos em diversas áreas. Equações diferenciais são equações que envolvem derivada das funções. Por exemplo, num movimento uniforme, temos: ; V0 é uma velocidade constante.

3 Equação diferencial ordinária
Uma equação diferencial é ordinária somente se ela tem uma variável independente: Uma solução de uma equação diferencial ordinária é uma função de variável independente que satisfaça a equação:

4 Ordem, linearidade A ordem de uma equação diferencial é o grau mas alta de derivação da equação: y”’=0 é de terceira ordem. Uma equação diferencial é linear se a função e suas derivadas aparecem linearmente na equação: xy’=x-y é linear, y”+y²y’+y=0 não é linear.

5 Solução única Uma equação diferencial não possui uma solução única. Para individualizar uma solução única devemos impor condições suplementares. Por exemplo, y(0)=1; y’(4)=0; ....

6 Problema de valor inicial, de valor de contorno
Dada uma equação de ordem m, se a função como suas derivadas até ordem m-1 são especificadas num mesmo ponto, é um problema de valor inicial. Se as condições não são todas dadas num mesmo ponto, temos um problema de valor de contorno.

7 Problema de valor inicial
A razão maior do uso de métodos numéricos para encontrar solução de equações diferenciais é o fato que não existe sempre soluções analíticas. Em muitos casos a teoria garante a existencia e unicidade da solução, mas não produz a solução analítica.

8 Método numérico PVI: Estudo do caso:
Vamos considerar x1, ..., xn igualmente espaçados (xk+1-xk=h) (condição não necessária mas útil) e vamos calcular yi=y(xi) para cada ponto usando as informações dos pontos anteriores.

9 Método numérico Se para determinar yj precisamos somente de yj-1, o método é de passo simples. Se precisamos de mais valores, o método é de passo múltiplo. No caso de PVI, temos uma aproximação inicial para y(x0), o método é auto-iniciante.

10 Método de Euler Conhecendo x0 e y0=y(x0), podemos calcular f(x0,y0)=y’(x0). Nesse ponto, podemos aproximar a curva com a tangente em x0: y(x0)+(x-x0)y’(x0). Escolhido h (xk+1-xk), podemos aproximar y1 com: y1=y0+hf(x0,y0). O raciocino é repetido e assim, temos: yk+1=yk+hf(xk,yk)

11 Método de série de Taylor
A serie de Taylor de y em torno de x=xn é: Considerando h=xn+1-xn, temos: Com erro de truncamento:

12 Método de série de Taylor
Para aplicar esse método de ordem k, temos que calcular: y”, y”’, ..., y(k) y’=f(x,y(x)), y”(x)=fx(x,y(x))+y’(x)fy(x,y(x)), .. y”’= Podemos ver a dificuldade dos cálculos. O método de Euler é o método de série de Taylor de ordem 1.

13 Exemplo Calcular y(2,1) sabendo que: Temos:

14 Método de Runge-Kutta A idéia do método é aproveitar as qualidades dos métodos de série de Taylor: precisão e ao mesmo tempo eliminar seu maior defeito: calculo de derivadas de f(x,y). Basicamente, São de passo 1 Não exigem cálculo de derivada Coincide com a expressão do método de serie de Taylor

15 Método de Runge-Kutta Ordem 1: o método de Euler satisfaz as características precedentes, ela é o método de Runge-Kutta de ordem 1.

16 Método de Euler Aperfeiçoado
O método de Euler aperfeiçoado usa, no lugar da inclinação da tangente num ponto para aproximar o ponto seguinte, a media das inclinações no ponto e no ponto seguinte.

17 Runge-Kutta de ordem 2 No caso de Euler aperfeiçoado, obtemos:
A forma geral dos métodos de Runge-Kutta de ordem 2 é a seguinte:

18 Runge-Kutta de ordem 3

19 Runge-Kutta de ordem 4