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Equações diferenciais ordinárias. Problemática  Equações diferencias aparecem em modelos que descrevem quantitativamente fenômenos em diversas áreas.

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1 Equações diferenciais ordinárias

2 Problemática  Equações diferencias aparecem em modelos que descrevem quantitativamente fenômenos em diversas áreas.  Equações diferenciais são equações que envolvem derivada das funções.  Por exemplo, num movimento uniforme, temos: ; V 0 é uma velocidade constante.

3 Equação diferencial ordinária  Uma equação diferencial é ordinária somente se ela tem uma variável independente:  Uma solução de uma equação diferencial ordinária é uma função de variável independente que satisfaça a equação:

4 Ordem, linearidade  A ordem de uma equação diferencial é o grau mas alta de derivação da equação: y”’=0 é de terceira ordem.  Uma equação diferencial é linear se a função e suas derivadas aparecem linearmente na equação: xy’=x-y é linear, y”+y²y’+y=0 não é linear.

5 Solução única  Uma equação diferencial não possui uma solução única. Para individualizar uma solução única devemos impor condições suplementares.  Por exemplo, y(0)=1; y’(4)=0;....

6 Problema de valor inicial, de valor de contorno  Dada uma equação de ordem m, se a função como suas derivadas até ordem m-1 são especificadas num mesmo ponto, é um problema de valor inicial.  Se as condições não são todas dadas num mesmo ponto, temos um problema de valor de contorno.

7 Problema de valor inicial  A razão maior do uso de métodos numéricos para encontrar solução de equações diferenciais é o fato que não existe sempre soluções analíticas.  Em muitos casos a teoria garante a existencia e unicidade da solução, mas não produz a solução analítica.

8 Método numérico  PVI: Estudo do caso:  Vamos considerar x 1,..., x n igualmente espaçados (x k+1 -x k =h) (condição não necessária mas útil) e vamos calcular y i =y(x i ) para cada ponto usando as informações dos pontos anteriores.

9 Método numérico  Se para determinar y j precisamos somente de y j-1, o método é de passo simples. Se precisamos de mais valores, o método é de passo múltiplo.  No caso de PVI, temos uma aproximação inicial para y(x 0 ), o método é auto-iniciante.

10 Método de Euler  Nesse ponto, podemos aproximar a curva com a tangente em x 0 : y(x 0 )+(x-x 0 )y’(x 0 ). Escolhido h (x k+1 -x k ), podemos aproximar y1 com: y 1 =y 0 +hf(x 0,y 0 ).  O raciocino é repetido e assim, temos: y k+1 =y k +hf(x k,y k )  Conhecendo x 0 e y 0 =y(x 0 ), podemos calcular f(x 0,y 0 )=y’(x 0 ).

11 Método de série de Taylor  A serie de Taylor de y em torno de x=x n é:  Considerando h=x n+1 -x n, temos:  Com erro de truncamento:

12 Método de série de Taylor  Para aplicar esse método de ordem k, temos que calcular: y”, y”’,..., y (k) y’=f(x,y(x)), y”(x)=f x (x,y(x))+y’(x)f y (x,y(x)),.. y”’=  Podemos ver a dificuldade dos cálculos. O método de Euler é o método de série de Taylor de ordem 1.

13 Exemplo  Calcular y(2,1) sabendo que: Temos:

14 Método de Runge-Kutta  A idéia do método é aproveitar as qualidades dos métodos de série de Taylor: precisão e ao mesmo tempo eliminar seu maior defeito: calculo de derivadas de f(x,y). Basicamente, São de passo 1 Não exigem cálculo de derivada Coincide com a expressão do método de serie de Taylor

15 Método de Runge-Kutta  Ordem 1: o método de Euler satisfaz as características precedentes, ela é o método de Runge-Kutta de ordem 1.

16 Método de Euler Aperfeiçoado  O método de Euler aperfeiçoado usa, no lugar da inclinação da tangente num ponto para aproximar o ponto seguinte, a media das inclinações no ponto e no ponto seguinte.

17 Runge-Kutta de ordem 2  No caso de Euler aperfeiçoado, obtemos:  A forma geral dos métodos de Runge-Kutta de ordem 2 é a seguinte:

18 Runge-Kutta de ordem 3

19 Runge-Kutta de ordem 4


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