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Teoria da Demanda Tratamento Algébrico. Os consumidores maximizam sua utilidade dada uma restrição orçamentária Supondo a seguinte função de utilidade.

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1 Teoria da Demanda Tratamento Algébrico

2 Os consumidores maximizam sua utilidade dada uma restrição orçamentária Supondo a seguinte função de utilidade A função utilidade marginal do bem X será O consumidor irá tentar maximizar sua função de utilidade, sujeito a restrição orçamentária (1) (2)

3 Para maximizar uma função sujeita a uma restrição utilizamos o método dos multiplicadores de Lagrange A equação a seguir representa o lagrangiano do problema Note que escrevemos a restrição orçamentária como (3) (4) Diferenciando em relação a e e igualando as derivadas a zero, encontramos

4 As três equações anteriores podem ser reescritas da seguinte forma pois assim poderemos encontrar os valores ótimos de X e Y A seguir apresentamos o princípio da utilidade marginal que significa que a utilidade marginal de cada mercadoria dividida por seu respectivo preço é a mesma, (5) (6) Cada mercadoria será consumida até o ponto em que a utilidade marginal de seu consumo seja um múltiplo de seu preço

5 Considerando um nível fixo de utilidade U*, a curva de indiferença correspondente a tal nível de utilidade é A variação total na utilidade deve ser igual a zero, assim Reordenando os termos, temos TMS YX é a taxa marginal de substituição de Y por X, que representa a razão entre utilidades marginais do consumidor, e é igual a razão entre os preços (7) (8)

6 Agora vamos diferenciar a função de utilidade em relação a renda para encontrar a utilidade marginal da renda (9) Como um incremento na renda deve ser dividido entre X e Y substituindo a equação 5 na equação 9 (10) e substituindo a equação 10 na equação 11 (11) (12)

7 Vamos supor uma função de utilidade de Cobb-Douglas, que pode ser escrita das seguintes formas Exemplo Dada a restrição orçamentária usual, escrevemos o lagrangiano Diferenciando em relação a e e igualando as derivadas a zero, encontramos

8 As duas primeiras condições têm as seguintes implicações (13) (14) Combinando essas duas com a última condição, que é a restrição orçamentária, temos Substituindo essa expressão nas equações 13 e 14, obtemos as funções de demanda ou

9 Podemos enxergar de duas formas as decisões de otimização do consumidor escolha da curva de indiferença mais alta escolha da linha de orçamento mais baixa Vamos agora minimizar o custo de um nível de utilidade Considerando a seguinte restrição Dualidade na Teoria do Consumidor criamos o lagrangiano (15)

10 Resolvendo as duas primeiras equações obtemos Pelo fato de também ser verdadeiro que a escolha dos valores para X e Y que minimizem o custo deve ser no ponto em que a linha de orçamento tangencie a curva de utilidade U*, que é o mesmo ponto que maximiza a utilidade com restrição de renda Diferenciando em relação a e e igualando as derivadas a zero, encontramos

11 Agora vamos utilizar a forma exponencial da função de utilidade de Cobb-Douglas, para provar que as funções de demanda resultantes serão as mesmas Dada a restrição de utilidade, obtemos o lagrangiano Multiplicando a primeira equação por X e a segunda por Y, e somando ambas, temos (16) Diferenciando em relação a e e igualando as derivadas a zero, encontramos

12 que são as mesmas funções de demanda obtidas anteriormente! Efeito Renda e Efeito Substituição Denotamos a variação de X que resulta de uma variação de uma unidade no preço de X, mantendo a utilidade constante, por Assim, a variação total de X resultante da variação em P X é Sendo R o gasto minimizador de custo, teremos que Efetuando a substituição nas equações anteriores, obtemos

13 A partir da restrição orçamentária usual, sabemos que por diferenciação obtemos Substituindo esta expressão na equação 17 obtemos a equação de Slutsky onde o primeiro termo representa o efeito substituição e o segundo, o efeito renda Fonte: R. Pindyck & D. Rubinfeld, Microeconomia, 5 a Edição


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