Lista Exercícios 2 - Criptografia Aluno: Leonardo Ribeiro.

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1 Lista Exercícios 2 - Criptografia Aluno: Leonardo Ribeiro

2 P2 - Encriptação DVD Player Entrada do problema: 1. n DVD players, onde n = 2 32 ; 2. Cada player é uma folha numa árvore binária de altura = log2(n); 3. Cada nó v i na árvore contém uma chave AES K i ; 4. Cada player é associado um serial i E [0,n-1]; 5. Si = {n0,n 1,n 2,...,log 2 (n)} são os nós ao longo do caminho da raíz até a folha i; 6. Cada DVD player i possui log2(n) chaves associadas com os nós de Si. 7. DVD = E Kroot (K) || E K (M) onde M é um filme e K é uma chave randômica e Kroot é a chave associada ao nó raiz. 8. O cabeçalho da encriptação do DVD pode conter múltiplos textos cifrados obde cada texto é encriptado sobre alguma chave ki.

3 Encriptação DVD Player a) Suponha que as log2(n) chaves de um DVD r são expostas a hackers. Mostre que a indústria pode lançar um filme no qual todos os DVD players podem decriptá-lo exceto o player r.

4 Encriptação DVD Player K ro ot K1K1 K..K.. K..K.. v0 v1 v2hv2h v 2 h +1 K2K2 v2 K2h+1-1K2h+1-1 K..K.. dvd 1 V 2 h+1 -1 dvd 2 dvd 3 dvd 4 Cada nó vi na árvore contém uma chave AES Ki h DVD i = log 2 n S i = {n o,n 1,....,n x } onde x = log 2 (n) V 2 h+1 -2 dvd n dvd n-1......... Cada DVD player i possui log2(n) chaves associadas com os nós de Si K2hK2h K 2 h +1 K 2 h+1 -1 K..

5 Encriptação DVD Player K ro ot K1K1 K3K3 K4K4 v0 v1 v3 v4 K2K2 v2 K6K6 K5K5 dvd 1 V6 dvd 2 dvd 3 dvd 4 Cada nó vi na árvore contém uma chave AES Ki h DVD i = log 2 8 =3 Si = {no,n1,....,n 3 } v5 dvd 8 dvd 7 dvd 5 dvd 6 S 1 = {v 0,v 1, v3} = S 2 S 3 = {v 0,v 1, v 4 } = S 4 S 5 = {v 0,v 2, v 5 } = S 6 S 7 = {v 0,v 2,v 6 } = S 8 K7K7 K8K8 K14K14 K9K9 K13K13 K10K10 K11K11 K12K12 C 1 = {K 7,K 3, K 1,K 0 } C 3 = {K 9,K 4,K 1,K 0 }

6 Encriptação DVD Player K ro ot K1K1 K3K3 K4K4 v0 v1 v2 u3 K2K2 u2 K6K6 K5K5 dvd 1 y dvd 2 dvd 3 dvd 4 Hipótese: r = dvd1 Seja S1 = {v0,v1,v3} e U1 = {u2,u3,dvd2} Se fizermos uma encriptação de um filme f1 com U1, o dvd1 não poderá decriptar o filme já que: DVD = E K8 (K)||E K4 (K) ||E K2 (K)||E K (M) segundo hipótese 8. x dvd 8 dvd 7 dvd 5 dvd 6 r= dvd1 K7K7 K8K8 K9K9 K10K10 K11K11 K12K12 K13K13 K14K14 Para um arvore n = 2 32 Encripta com com os Ur irmãos e r não decripta

7 Encriptação DVD Player b) Suponha que k DVD players R= {dvd1, dvd2,...,dvdk} são expostos a hackers. Mostre que pode ser encriptado novo filme usando um cabeçalho de O(klogn) tal que todos os players podem decriptar o filme exceto aqueles em R.

8 Encriptação DVD Player Para i=0,....,r, U r é o conjunto de folhas (dvds players) consecutivas no intervalor [dvdi,dvdi+1] onde dvd0=0 e dvdr+1=n; Seja Si igual as folhas(dvds players) cobertas por vi onde vi é um nó interno de uma subarvore de chaves. U i é exatamente coberto por v1,...,vb se U i = U j=1 b Sv j

9 Encriptação DVD Player v0 v1 v3 v4 v2 v6 Seja U no intervalo [a,b] =[dvd1,dvd8] Sv1 = {dvd1,....,dvd8} Sv2 = {dvd9,...,dvd16} U = {dvd1,..,dvd16} coberto por v1 e v2 v5 a b v7 v8 v9v10 v11 v12 v13 v14

10 Encriptação DVD Player Hipótese 1: U é coberto por no máximo 2log2(n).

11 Encriptação DVD Player v0 v1 u1u2 v2 v1 Seja u1= nó mais alto com “a” como folha esquerda v1 = nó mais alto com “b” como folha direita ui e ui-1 nós irmãos(Ex: u2 e u1) vi e vi-1 nós irmãos (Ex:v2 e v1) e i Є{2,...,log2(n)} Mostra-se que percorrendo a linha da altura de v2 e u2, quando ui = vi No. elementos us = No. Elementos vs = O (log2(n)) => u1,...,ui,vi,...,v1 é a cobertura total da linha é o no elementos da linha = O(2log2(n)) Então: cobertura de nós = O(2log2(n)) v2 a b.....................................................................

12 Encriptação DVD Player v0 v1 v3 v4 v2 v6 v5 a b v7 v8 v9v10 v11 v12 v13 v14 Cobertura de nós = O(2log2(16)) = 8

13 Encriptação DVD Player Hipótese 2: Cobrir U0,...,Ur é necessário no máximo (r+1)*2*log2(n) nós internos ou Cobrir U1,...,Ur é necessário no máximo (r)*2*log2(n) nós internos

14 Encriptação DVD Player v0 v1 u1 u 2klog2(n) v2 r1 rk............................................................. r elementos k elementos v1 v 2rlog2(n) O(2klog2(n)) = nós internos hackeados O(2rlog2(n)) = nós não hackeados r + k = n Podemos utilizar os O(2rlog2(n)) nós para encriptar e decriptar cada um com uma chave Ki onde i varia de 1 a O(2rlog2(n)) e isso impedi os k players de decriptar o filme