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MÉTODOS ESTATÍSTICOS APLICADOS AO SEGURO AGRÍCOLA Copyright Vitor Ozaki 2006.

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1 MÉTODOS ESTATÍSTICOS APLICADOS AO SEGURO AGRÍCOLA Copyright Vitor Ozaki 2006

2 1 Problemas no mercado de seguro agrícola 2 Complexa precificação 3 Tendência e heteroscedasticia 4 Modelagem Estatística 5 Cálculo Atuarial 6 Metodologias Atuariais 6.1 O modelos Gaussiano 6.2 Mistura finita de distribuições 6.3 Modelo temporal 6.4 Modelo espacial 6.5 Modelo espaço-temporal 7 Resultados 8 Conclusões Outline

3 RISCO MORAL As seguradoras são incapazes de monitorar perfeitamente os segurados; Produtores podem mudar suas práticas culturais após a contratação do seguro; O seguro subvencionado resulta em aumento do risco? Problemas no mercado de seguro agrícola Copyright Vitor Ozaki 2006

4 Erros na precificação? Implicações para a SELEÇÃO ADVERSA Se a seguradora precificar com base no risco médio dos produtores, então ocorrem duas situações: a seguradora irá cobrar um prêmio maior do que aquele que os produtores de baixo risco estarão dispostos a pagar; e, a seguradora estará cobrando um prêmio menor do que aquele que os produtores de alto risco estarão dispostos a pagar. Problemas no mercado de seguro agrícola Copyright Vitor Ozaki 2006

5 Conseqüentemente, os produtores de baixo risco serão desencorajados a comprar o seguro, restando apenas aqueles com maior risco; As indenizações aumentam resultando em perdas para a seguradora; Problemas no mercado de seguro agrícola Copyright Vitor Ozaki 2006

6 RISCO SISTÊMICO Para o mercado segurador a ocorrência de tais eventos catastróficos dificulta sobremaneira a continuidade das seguradoras no ramo de atividade; No caso agrícola, esses eventos apresentam elevada severidade, e sua ocorrência atinge não apenas uma propriedade rurais mas milhares de propriedades em uma grande extensão territorial. Problemas no mercado de seguro agrícola Copyright Vitor Ozaki 2006

7 Por esse motivo diz-se que o risco é altamente correlacionado; Esse fato viola um dos princípios básicos do mercado de seguros: as unidades expostas devem ser homogêneas e independentes; Problemas no mercado de seguro agrícola Copyright Vitor Ozaki 2006

8 Como lidar com isso?  Resseguro (O mercado consegue assimilar?);  Constituir reservas;  Resseguro governamental; Para a seguradora, constituir reservas e ressegurar suas operações podem não ser o suficiente para suportar um evento catastrófico; Problemas no mercado de seguro agrícola Copyright Vitor Ozaki 2006

9 Complexa precificação; Alta exposição catastrófica; Alto custo de fiscalização e peritagem; Graves problemas de fraudes; Severa antiseletividade; Inexperiência e falta de profissionais especializados no ramo; Ausência de normatização; Falta de dados estatísticos; Problemas no mercado de seguro agrícola Copyright Vitor Ozaki 2006

10 A metodologia deve levar em conta diversas idiossincrasias presentes nos dados de produtividade agrícola: Dificuldades de ordem amostral  Neste caso o tamanho das séries históricas de produtividade* é relativamente pequeno, impossibilitando a detecção de qualquer tipo de padrão e a aplicação dos testes estatísticos convencionais; Complexa Precificação Copyright Vitor Ozaki 2006

11 Problemas de correlação espacial  Decorre do fato de que propriedades (municípios) mais próximas apresentam maior dependência espacial em relação a propriedades (municípios) mais afastadas; Complexa Precificação Copyright Vitor Ozaki 2006

12  Existem versões alternativas do Teorema do Limite Central, para processos espaciais, que suportam a suposição de normalidade;  A suposição de normalidade é aceitável quando a dependência espacial se reduz rapidamente quando a distância aumenta (Guyon, 1995); Complexa Precificação Copyright Vitor Ozaki 2006

13 Correlação serial  Quando a produtividade em anos anteriores está correlacionada com a produtividade no ano atual; Presença de tendência  A produtividade observada em 1980, por exemplo, não pode ser comparada com a produtividade observada em 2004; Complexa Precificação Copyright Vitor Ozaki 2006

14 Heteroscedasticidade  Situação em que os dados apresentam variabilidade não constante. Todos estes fatores dificultam sobremaneira a análise dos dados; Ignorá-los podem levar a resultados completamente equivocados. Complexa Precificação Copyright Vitor Ozaki 2006

15 O problema é que o processo gerador dos dados de produtividade não é constante, mas varia com o tempo; O nível da produtividade agrícola muda com o passar do tempo; A próxima figura ilustra as peculiaridades supramencionadas; Tendência e Heteroscedasticidade Copyright Vitor Ozaki 2006

16 Tendência e Heteroscedasticidade Copyright Vitor Ozaki 2006

17 Se os desvios da tendência são proporcionais ao nível da produtividade agrícola então a suposição de coeficiente de variação constante é suportada; Nesse caso, erros proporcionais ε t serão calculados dividindo o termo de erro u t pelo seu respectivo valor predito; Tendência e Heteroscedasticidade Copyright Vitor Ozaki 2006

18 Os valores resultantes serão homoscedásticos (Goodwin e Ker, 1998). Para expressar a produtividade em termos da tecnologia de 2005 multiplicar (1 + erros proporcionais) pela produtividade observada em 2005 resultando em produtividades normalizadas y n. Tendência e Heteroscedasticidade Copyright Vitor Ozaki 2006

19 Por outro lado, se os erros forem não proporcionais ao nível da produtividade (coeficiente de variação não-constante); Então a produtividade normalizada será calculada somando o termo de erro à produtividade observada em 2005; Tendência e Heteroscedasticidade Copyright Vitor Ozaki 2006

20 A modelagem estatística de dados de produtividade agrícola tem sido um ponto bastante controverso; Diversas abordagens têm sido consideradas: Modelagem estatística dos dados de produtividade agrícola Copyright Vitor Ozaki 2006

21 Métodos Semiparamétricos (Ker and Coble, 2003); Modelos Não-paramétricos (Goodwin and Ker, 1998; Turvey and Zhao, 1999; Ozaki, 2005); and, Bayes Empírico não-paramétrico (Ker and Goodwin, 2000). Modelagem estatística dos dados de produtividade agrícola Copyright Vitor Ozaki 2006

22 Dentro da abordagem paramétrica, diversos autores concluem que a produtividade agrícola segue uma distribuição Normal (Just and Weninger, 1999); Entretanto, outros pesquisadores encontraram evidências contra a Normalidade (Day, 1965; Taylor, 1990; Ramirez, 1997; and, Ramirez et al., 2003); Modelagem estatística dos dados de produtividade agrícola Copyright Vitor Ozaki 2006

23 Outras abordagens incluem : A distribuição Beta (Nelson and Preckel, 1989); Transformações Seno Hiperbólico Inverso (Moss and Shonkwiler, 1993), and; Distribuições Gamma (Gallagher, 1987). Modelagem estatística dos dados de produtividade agrícola Copyright Vitor Ozaki 2006

24 Cálculo Atuarial Antes de abordar a metodologia atuarial é interessante explorar os componentes da taxa de prêmio; Sabe-se que: Prêmio = (taxa de prêmio) x (responsabilidade) Taxa de prêmio custo esperadoda perda custos adicionais = responsabilidade + Copyright Vitor Ozaki 2006

25 Cálculo Atuarial Ainda: custos adicionais = custo da perda indenização = responsabilidade reservas fundo de catástrofe custo admin. retornos + ++ Copyright Vitor Ozaki 2006

26 Custo esperado da perda Geralmente, para longas séries de dados, o custo histórico da perda é usado como estimativa para o custo esperado da perda; Exemplo: $30 milhões em indenizações para cada $100 milhões em responsabilidade → custo esperado da perda = 0.3; Cálculo Atuarial Copyright Vitor Ozaki 2006

27 Para riscos catast. (seca) a variância ao redor de 3% seria alta e, provavelmente, assimétrica para a direita; Caso a seca ocorra, o custo da perda é alto; Caso a seca não ocorra, o custo da perda é baixo; Cálculo Atuarial Copyright Vitor Ozaki 2006

28 Reservas As reservas financeiras são necessárias caso as indenizações superem os prêmios recolhidos em dado ano; Quanto maior a variância ao redor do custo esperado da perda, maior a necessidade de se constituir reservas; Consequentemente, para cobrir riscos considerados catast., essas reservas serão maiores do que riscos não-catastróficos; Cálculo Atuarial Copyright Vitor Ozaki 2006

29 Fundo de catástrofe Essa reserva deve ser adicionada à taxa quando os eventos são considerados correlacionados; Nesse contexto, o custo da perda pode não representar precisamente as perdas futuras; Eventos de baixa-frequência, alta-severidade podem ser subestimados ou superestimados; Cálculo Atuarial Copyright Vitor Ozaki 2006

30 Retorno ao investimento Quanto mais variável o retorno ao investimento, maior deverá ser a taxa média de retorno demandado pelo investidor (seguradora); Consequentemente, as seguradoras requerem uma taxa de retorno maior para os ramos de seguro de alta variabilidade, tais como, o seguro agrícola; Cálculo Atuarial Copyright Vitor Ozaki 2006

31 Correlações positivas entre unidades seguradas reduzem consideravelmente as propriedades de agregação vitais para o seguro; As seguradoras são forçadas a aumentar suas reservas e constituir um fundo catastrófico; Cálculo Atuarial Copyright Vitor Ozaki 2006

32 Os custos administrativos são relativamente maiores e há a exigência de elevado retorno do investimento; Todos esses fatores aumentam a taxa de prêmio no seguro agrícola; Cálculo Atuarial Copyright Vitor Ozaki 2006

33 A taxa de prêmio pura do seguro agrícola será dado por: Em que: E é o operador de esperança e F a distribuição cumulativa da produtividade. O prêmio do seguro é obtido multiplicando-se a taxa de prêmio pelo valor segurado. Cálculo Atuarial Copyright Vitor Ozaki 2006

34 Alguns parâmetros de interesse:  Produtividade esperada;  Variância (risco) da produtividade; e,  Distribuição de probabilidade da produtividade. E (perda) = Pr (perda) x E (perda|perda ocorreu) Taxa de prêmio = E (perda) / produtividade garantida Cálculo Atuarial Copyright Vitor Ozaki 2006

35 2.Análise paramétrica clássica Distribuição Gaussiana e Beta; 4.Modelos Bayesianos 3. Abordagem Não-paramétrica Kernel Estimator ; 1.Método empírico Metodologias Atuariais Copyright Vitor Ozaki 2006

36 Usualmente, utiliza-se o método empírico para precificar contratos de seguro; Esse método consiste em dividir a perda média sobre a responsabilidade, resultando em taxas empíricas; 1. Método Empírico Copyright Vitor Ozaki 2006

37 Desvantagens: –Para refletir precisamente o custo da perda é necessário séries históricas longas; –Mesmo se existissem tais séries, para o seguro agrícola seria difícil captar perdas catastróficas com grande precisão; –Este método não leva em consideração nenhuma análise estatística; 1. Método Empírico Copyright Vitor Ozaki 2006

38 Ajuste através das Distribuições: Gaussiana Beta Com parâmetros estimados pelo método da máxima verossimilhança. 2. Análise Paramétrica Clássica Copyright Vitor Ozaki 2006

39 produtividade 2. Análise Paramétrica Clássica Copyright Vitor Ozaki 2006

40 2. Análise Paramétrica Clássica produtividade Copyright Vitor Ozaki 2006

41 2. Análise Paramétrica Clássica Copyright Vitor Ozaki 2006

42 O estimador kernel da densidade f(y) pode ser representada como uma convolução da distribuição amostral, utilizando-se uma função kernel K, representada por: Em que K h (v) = 1/hK(v/h) and F n (v) é a função de distribuição amostral. 3. Abordagem Não-paramétrica Copyright Vitor Ozaki 2006

43 O estimador kernel é a soma de “saltos” (bumps) localizados em cada observação. A função kernel determina a forma destes saltos e a janela sua largura; Quanto maior o valor da janela, maior o alisamento da série (os detalhes tendem a desaparecer); O inverso também é válido, quanto menor o valor da janela, os saltos terão uma forma de pico, tornando mais pronunciado os detalhes na densidade; 3. Abordagem Não-paramétrica Copyright Vitor Ozaki 2006

44 Seja A, B e C vizinhos ao municípios D. O seguinte esquema aumenta o número de observações em cada série: D,A,D,B,D,C,D Em outras palavras, D terá peso 4/7, e o resto (A,B,C) 1/7. 3. Abordagem Não-paramétrica Copyright Vitor Ozaki 2006

45 De modo geral, os pesos serão iguais a:  Município central = (N +1) / (2N + 1)  Municípios vizinhos = 1 / (2N + 1) Em que N é o número de municípios vizinhos. 3. Abordagem Não-paramétrica Copyright Vitor Ozaki 2006

46 3. Abordagem Não-paramétrica Copyright Vitor Ozaki 2006

47 4. Modelos Bayesianos A abordagem Bayesiana assume inicialmente que as observações são condicionalmente independentes dado os parâmetros do modelo; e, Em em segundo estágio, a dependência é incorporada através da atribuição de distribuições à priori aos parâmetros. Copyright Vitor Ozaki 2006

48 A estrutura hierárquica do modelo permite incorporar de maneira relativamente simples e intuitiva o efeito espacial, o efeito temporal e permite a interação destes dois efeitos, resultando em modelos espaço-temporais; Pode-se por aninhar o efeito espacial dentro do efeito temporal (permitindo assim, examinar os padrões do efeito espacial no tempo); 4. Modelos Bayesianos Copyright Vitor Ozaki 2006

49 4. Modelos Bayesianos Considerando a média como sendo idêntica a E(y it ), onde i representa o indexador da variável espacial e t a variável temporal, tal que i = 1, 2,...,S, t = 1, 2,..., T e y it será a produtividade no município i no tempo t; Copyright Vitor Ozaki 2006

50 4. Modelos Bayesianos O objetivo então será modelar o parâmetro de média, tal que capte as covariáveis,o efeito temporal, a variação espacial da produtividade agrícola e o efeito espaço-temporal; Diversos modelos podem ser explorados; Trataremos apenas de alguns: Copyright Vitor Ozaki 2006

51 A média μ it foi suposta ser proveniente de duas subpopulações ou grupos: um grupo catastrófico e outro não-catastrófico; Entende-se por catastrófico o evento climático que venha a ocorrer em determinado ano, tal como seca, excesso de chuva, granizo, etc. 4.1 Mistura de distribuições Copyright Vitor Ozaki 2006

52 Desta forma, caso venha a ocorrer um evento climático adverso, a produtividade agrícola será considerada proveniente do grupo catastrófico; Caso contrário, considera-se a produtividade como do grupo não-catastrófico; 4.1 Mistura de distribuições Copyright Vitor Ozaki 2006

53 Caso ocorra um evento climático adverso, a produtividade será proveniente do grupo catastrófico; Caso contrário, a produtividade será designada ao grupo não-catastrófico; Assim, pode-se pensar na produtidade como proveniente de uma mistura finita de duas distribuições; 4.1 Mistura de distribuições Copyright Vitor Ozaki 2006

54 Isso porque eventos catastróficos podem ser considerados muito menos frequentes e a produtividade observada, nestes anos ser muito inferior a de anos regulares (normais); Sendo assim, espera-se que o primeiro grupo tenha massa menor comparado ao segundo grupo e tal concentração se situe na calda inferior da primeira. 4.1 Mistura de distribuições Copyright Vitor Ozaki 2006

55 O modelo misto geral pode ser descrito como: Em que θ j é o vetor de parâmetros, j é o número de componentes, tal que j = 1, 2,..., J. e γ j o parâmetro representando a proporção da população atribuída ao componente j. 4.1 Mistura de distribuições Copyright Vitor Ozaki 2006

56 No caso em que f (y | · ) representa uma distribuição gaussiana, a eq. (1) pode ser escrita como: 4.1 Mistura de distribuições Copyright Vitor Ozaki 2006

57 Alternativamente pode ser introduzido uma variável indicadora não observada que identifica qual componente cada observação é designada; Esta variável indicadora I recebe valores iguais a i quando y é sorteada do j-ésimo componente; 4.1 Mistura de distribuições Copyright Vitor Ozaki 2006

58 Deste modo, equivalentemente, o modelo misto em pode ser representado como: 4.1 Mistura de distribuições Copyright Vitor Ozaki 2006

59 4.1 Mistura de distribuições Copyright Vitor Ozaki 2006 Uma distribuição à priori categórica foi atribuída à I;

60 4.1 Mistura de distribuições Copyright Vitor Ozaki 2006 A priori conjugada será a distribuição Dirichlet, com hiper-parâmetro α;

61 4.2 Os Modelos Temporais Copyright Vitor Ozaki 2006 Modelos de tendência determinística Modelos de tendência estocástica Modelos determinísticos e estocásticos

62 4.3 Os Modelos Espaciais A variável espacial Φ i pode ser designada como Φ i = ξ i + v i, em que: v i é denominada variável latente não-estruturada espacialmente (heterogeneidade) e, ξ i a variável latente estruturada ou correlacionada espacialmente (clustering). Copyright Vitor Ozaki 2006

63 4.3 Os Modelos Espaciais A variável não-estruturada segue uma distribuição Normal, de modo que e a variável estrutura espacialmente ξ i condicional a ξ j, onde j ≠ i, é modelada de modo que onde é a média dos ξ i ’s e i pertence as áreas adjancentes. Copyright Vitor Ozaki 2006

64 4.3 Os Modelos Espaciais

65 4.4 Os Modelos Espaço-Temporais Copyright Vitor Ozaki 2006

66 4.4 Os Modelos Espaço-Temporais

67 No modelo a variável espacial está aninhada ao efeito temporal (permitindo checar a variação espacial no tempo); Geralmente, utiliza-se o algoritmo MCMC para estimar os parâmetros do modelo; Após a estimação deve-se checar a convergência e mistura de todos os parâmetros; 4.4 Os Modelos Espaço-Temporais Copyright Vitor Ozaki 2006

68 Trabalhando no espaço de preditivas, a penalidade surge sem a necessidade de definições assintóticas; Intuitivamente, pode-se dizer que bons modelos devem realizar predições próximas ao que foi observado em experimentos idênticos. 5 Seleção de Modelos

69 O objetivo é minimizar a perda preditiva a posteriori, denominada erro predito quadrático; A distribuição preditiva à posteriori, é mostrado abaixo: 5 Seleção de Modelos

70 Em que M representa o conjunto de todos os parâmetros em certo modelo e y new é a réplica do vetor de dados observados y obs. O objetivo é escolher aquele que minimiza a esperança da função de discrepância, condicional a y obs e M i, onde o subscrito i representa todos os parâmetros em determinado modelo i. 5 Seleção de Modelos

71 Para modelos gaussianos, a função de discrepância e D m, respectivamente, é dada por: 5 Seleção de Modelos

72 Copyright Vitor Ozaki Seleção de Modelos

73 Modelo Bayesiano: Copyright Vitor Ozaki 2006

74 Derivação da Taxa de Prêmio Copyright Vitor Ozaki 2006

75 Modelo Gráfico Copyright Vitor Ozaki 2006

76 Resultados dos modelos Copyright Vitor Ozaki 2006

77 Taxas de prêmio – soja Copyright Vitor Ozaki 2006

78 Taxas de prêmio – soja Copyright Vitor Ozaki 2006

79 Taxas de prêmio – milho Copyright Vitor Ozaki 2006

80 Taxas de prêmio – milho Copyright Vitor Ozaki 2006

81 Taxas de prêmio – trigo Copyright Vitor Ozaki 2006

82 Taxas de prêmio – trigo Copyright Vitor Ozaki 2006

83 Taxas de prêmio – milho Copyright Vitor Ozaki 2006

84 Taxas de prêmio – Método NP Copyright Vitor Ozaki 2006

85 Taxas de prêmio – Método Bayesiano Copyright Vitor Ozaki 2006

86 Under the Bayesian approach spatial and temporal dependence can be modeled as part of the model; Premium rates can be determined directly through the MCMC simulation; Thus, uncertainty is taking into account when calculating rates; Insurance companies must consider all the special features of the agriculture when pricing a crop insurance contract; 6 Abordagem Bayesiana

87 Implicações para as seguradoras Copyright Vitor Ozaki 2006

88 Implicações na prática: –90% da produtividade esperada assegurada; –Responsabilidade média segurada em uma carteira composta por 1 mil produtores: R$ 1 mi; –Taxa de prêmio (método empírico): 1,30% –O prêmio médio será igual a: R$ –Taxa de prêmio (método paramétrico):3,11% –O prêmio médio será igual a: R$ –Perda média no prêmio: R$ PERDAS TOTAIS: R$ 18,1 milhões Implicações para as seguradoras Copyright Vitor Ozaki 2006

89 Obrigado!


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