Elementos de Análise Numérica Sistemas de numeração -noção de número -representação de números (computadores) -conversão de números -erros Sistemas de.

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1 Elementos de Análise Numérica Sistemas de numeração -noção de número -representação de números (computadores) -conversão de números -erros Sistemas de numeração e representação de números numa “máquina” digital Objectivo é compreender: História: -o homem primitivo -2000 a.C. Mesopotâmia: 60 (sistema de tempo) -romano: regras complicadas (valor posicional) -maias, aztecas e celtas da Europa:20 -árabes:10 (dedos) -mundo digital: 2 1

2 Elementos de Análise Numérica Sistemas de numeração Representação de números inteiros 942=9*10 2 +4*10 1 +2*10 0 Base 10: Base 10 número geral:N=(d n d n-1 …d 1 d 0 ) 10 =d n *10 n +d n-1 *10 n-1 …+ + d 1 *10 1 + d 0 *10 0 Número geral: N=(d n d n-1 …d 1 d 0 ) b =d n *b n +d n-1 *b n-1 …+ + d 1 *b 1 + d 0 *b 0 2

3 Elementos de Análise Numérica Sistemas de numeração Representação de números reais 72,93=7*10 1 +2*10 0 + 9*10 -1 +3*10 -2 Base 10: Base 10 número geral:x=(d n d n-1 …d 0 d -1 d -2... d -k ) 10 = =d n *10 n +d n-1 *10 n-1...+ d 0 *10 0 + + d -1 *10 -1 + d -2 *10 -2 +…+ d -k *10 -k Número geral: x=(d n d n-1 …d 0 d -1 d -2... d -k ) b = =d n *b n +d n-1 *b n-1...+ d 0 *b 0 + + d -1 *b -1 + d -2 *b -2 +…+ d -k *b -k 3

4 Elementos de Análise Numérica Sistemas de numeração da base b para a base 10: exemplo: Mudança da base de números inteiros N=(d n d n-1 …d 1 d 0 ) b =(d n ) 10 *(b) n 10 +(d n-1 ) 10 *(b) n-1 10 …+ + (d 1 ) 10 *(b) 1 10 + (d 0 ) 10 *(b) 0 10 (324) 6 =3*6 2 +2*6 1 +4*6 0 =108+12+4=124 da base 10 para a base b: N=(d n d n-1 …d 1 d 0 ) b = =(d n *b n-1 +…+ d 2 *b 1 + d 1 *b 0 )*b + d 0 *b 0 divisão sucessivas por a base(b)= quociente+ o resto último dígito exemplo: 13 1 6 01 (13) 10 =(1101) 2 1 3 1 :2 da base b para a base c: base b base 10base c 4

5 Elementos de Análise Numérica Sistemas de numeração da base b para a base 10: exemplo: Mudança da base de números fraccionários x=(d -1 d -2 …d -k ) b =(d -1 ) 10 *(b) -1 10 +(d -2 ) 10 *(b) -2 10 +… + (d -k ) 10 *(b) -k 10 (.324) 6 =3*6 -1 +2*6 -2 +4*6 -3 =0.5+0.0555..+0.0185...=0.57407.. da base 10 para a base b: b*x=b*(d -1 d -2 …d -k ) b = =d -1 + d -2 *b -1 + …... + d -k *b -k+1 multipl. sucessivas por a base(b)= parte inteira + parte fraccionária (primeiro dígito) exemplo:(0.625) 10 =(0.101) 2 0.625*2=1.251 0.25*2=0.50 0.5*2=1 0*2…... 5

6 Elementos de Análise Numérica Sistemas de numeração Notação científica Número de Avogadro: 600000000000000000000000 6*10 23 ; 60*10 22 ; 0.6*10 24 Notação científica:mb t m- mantissa (normalizada quando b -1 < m <1) b- base t- expoente 6

7 Elementos de Análise Numérica Sistemas de numeração Representação de números em ponto flutuante Ponto flutuante: representação de números reais usando a notação científica com um número finito (p) para a mantissa e um número finito (q) para o expoente. FP(b,p,q): exemplo:FP(10.6.2) -”overflow”, “underflow” exemplo:Em FP(10.6.2), os números 0.1*10 100 e 0.1*10 -100 não podem ser representados 7

8 Elementos de Análise Numérica Sistemas de numeração Ponto flutuante no computador (norma IEEE 754) -base binária: possível algarismos são 0 e 1 gravados na memória chamada “bit” -formato simples: -formato duplo: S Expoente Mantissa 1823 S Expoente Mantissa 11152 s- 0 para positivos e 1 para negativos t real- (t - 127) formato simples mantissa- p=24, normalizada-----> primeiro algarismo sempre 1 exemplo: 1 10000010 1010…..0-----> expoente: (10000010) 2 =130----->t=130-127=3 fracção:(1.1010…0) 2 =1.625 x=-1.625*2 3 =-1.625*8=-13 8

9 Elementos de Análise Numérica Sistemas de numeração Bibliografia: Pina, H. 1995. "Métodos Numéricos". Capítulo 1.1-1.3, 1.5. Gomes, J.A.N.F. 1979. "Métodos Numéricos". 1.3-1.4. 9