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IC - UFF Parte 1: Organização de Computadores 4. Representação dos números e aritmética em computadores Texto base: capítulo 8 Computer Organization and.

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1 IC - UFF Parte 1: Organização de Computadores 4. Representação dos números e aritmética em computadores Texto base: capítulo 8 Computer Organization and Architecture W. Stallings

2 IC - UFF Unidade Lógica e Aritmética l Parte do processador que realiza as operações lógicas e aritméticas l Função das outras unidades é trazer dados para serem processados pela ULA e obter resultados em retorno l Operações aritméticas: números inteiros e reais (ponto fixo e ponto flutuante)

3 IC - UFF ULA: entradas e saídas ULA flags registros unidade de controle

4 IC - UFF Sistemas numéricos l Sistema decimal l Sistema binário l Conversão entre bases l Notação hexadecimal l Notação octal

5 IC - UFF Representação dos inteiros l Se fossem só os números positivos, a representação seria imediata n exemplo: com 8 bits l 51 10 = 00110011 2 l 237 10 = 11101101 2 n A = a n-1... a 1 a 0 =

6 IC - UFF Sinal e magnitude (1) l Bit mais à esquerda: n se 0, número positivo n se 1, número negativo l Exemplo: (com 8 bits) n + 27 = 00011011 n - 27 = 10011011

7 IC - UFF Sinal e magnitude (2) l Problemas: n consideração sobre sinal e magnitude nas operações de adição e subtração n duas representações para o 0: l +0 10 = 00000000 2 l -0 10 = 10000000 2

8 IC - UFF Complemento a 2 (1) l Resolve os dois problemas anteriores n uma única representação para o 0 n fácil de implementar a aritmética l Regra simples n +3 10 = 011 2 n complemento booleano: 100 2 n soma 1 ao BmS (LSB): 101 2 = -3 10

9 IC - UFF Complemento a 2 (2) l Exemplo: l +3 = 011 l +2 = 010 l +1 = 001 l +0 = 000 l -1 = 111 l -2 = 110 l -3 = 101 l -4 = 100

10 IC - UFF Faixa dos números inteiros -4-30+2+3... -2 n-1 02 n-1 -1... Para 3 bits Para n bits

11 IC - UFF Soma e subtração com C2 l S = a - b = a + (-b) basta somador! OF = bit de overflow SW = chave multiplexadora

12 IC - UFF l Soma de dois bits n realização? E o somador? aiai bibi c i+1 cici sisi

13 IC - UFF l Soma de dois bits n realização E o somador?

14 IC - UFF l Soma de dois bits l Construção modular: somador de 3 bits E o somador? a1a1 b1b1 c3c3 c0c0 a2a2 b2b2 a0a0 b0b0 s0s0 s1s1 s2s2 c0c0

15 IC - UFF l Soma de dois bits l Construção modular l Carry lookahead n evita propagação do sinal através de todos os estágios E o somador?

16 IC - UFF e l Multiplicação é mais complexa que soma e subtração: n se um dos números é negativo, multiplicação direta não resolve! l Divisão é ainda mais complexa: n números negativos dão trabalho! l Mesmo h/w pode ser usado

17 IC - UFF Representando números reais l Números fracionários n exemplo: 27,75 10 = 11011,11 2 n notação em ponto fixo n problema: números muito grandes e muito pequenos l Notação científica: n 2.743.000.000.000 = 2,743 10 12 n 0,000000000002743 = 2,743 10 -12

18 IC - UFF Notação ponto flutuante l Uso do mesmo método em binário n M 2 E, com l sinal: ou l mantissa M l expoente E l Formato típico: comparação rápida sinal expoente mantissa 018931

19 IC - UFF Expoente e mantissa l Expoente: uso da notação polarizada (biased): C2 não é adequada n 00000000 2 representa número mais negativo n 11111111 2 representa número mais positivo n polarização +127 (IEEE 754) l -1 -1 10 + 127 10 = 126 10 = 01111110 2 l +1 +1 10 + 127 10 = 128 10 = 10000000 2 l Mantissa normalizada: 0,1bbb...b bit mais à esquerda é sempre 1 (implícito)

20 IC - UFF Exemplo de ponto flutuante l N = -0,75 10 = -0,11 2 = -1,1 2 2 -1 l Representação geral n (-1) S (1 + Mantissa) 2 (Expoente - 127) n (-1) 1 (1 + 0,10...0 2 ) 2 (126 - 127) n formato em precisão simples

21 IC - UFF OVF negativoNúmeros reais negativosUDF negativoUDF positivoNúmeros reais positivosOVF positivo -(1-2 -24 ) 2 128 -0,5 2 -127 0 0,5 2 -127 (1-2 -24 ) 2 128 Inteiros representáveis -2 31 02 Faixa dos números reais Reais representáveis

22 IC - UFF PF: alguns detalhes (1) l Número de valores representados neste formato é (praticamente) 2 32 l Números mais espaçados na reta dos reais (mas não igualmente espaçados!) l Precisão simples e dupla n E: 8 bits 11 bits n M: 23 bits 52 bits

23 IC - UFF PF: alguns detalhes (2) l Padrão IEEE 754 l Associatividade: n x + (y + z) = (x + y) + z ? l -1,5E38 + (1,5E38 + 1,0) = 0,0 l (-1,5E38 + 1,5E38) + 1,0 = 1,0

24 IC - UFF Aritmética em ponto flutuante l Para a soma e a subtração é necessário que ambos os operandos tenham o mesmo expoente l A multiplicação e a divisão são mais diretas l Vejamos:

25 IC - UFF Precisão l Arredondamento adequado exige bits extras no hardware l Padrão IEEE 754 adiciona bits para os cálculos intermediários (e.g., guard e round) l Exemplo: 2,56 10 0 + 2,34 10 2

26 IC - UFF Leitura suplementar Capítulo 4 Arithmetic for Computers Computer Organization & Design D.A. Paterson e J.L. Hennessy Ed. Morgan Kaufmann

27 IC - UFF Trabalho l Padrão IEEE 754 l Estudar o pb de PF do Pentium


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