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Título do slide 1 EXPERIMENTO FATORIAL 2 k COMPLETO.

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1 Título do slide 1 EXPERIMENTO FATORIAL 2 k COMPLETO

2 Título do slide 2 Uma panificadora fornece pão italiano para vários supermercados de uma cidade. Um estudo experimental foi desenvolvido para avaliar os efeitos do fator A, altura da prateleira, cujos níveis são em baixo e no meio, e do fator B, largura da prateleira, com níveis regular e larga, nas vendas (em número de unidades) deste pão durante certo período. Oito supermercados similares em termos de volume de vendas e clientela, foram utilizados no estudo. Cada um dos 4 tratamentos foi atribuído, ao acaso, a duas lojas de acordo com um planejamento completamente casualizado e a localização do pão em cada loja seguiu as especificações do tratamento para aquela loja. Os resultados estão apresentados a seguir Exemplo 1

3 Título do slide 3 Tabela: Vendas (em número de unidades) de pão italiano Largura da parteleira ( B ) Altura da prateleira ( A ) Em baixoNo meio Regular Larga Exemplo 1

4 Título do slide 4 EXPERIMENTOS FATORIAIS Experimento Fatorial Completo São experimentos envolvendo dois ou mais fatores, em que todas as possíveis combinações de níveis de fatores são testadas. Experimento Fatorial Fracionado São experimentos envolvendo dois ou mais fatores, nos quais apenas uma fração do fatorial completo é testada. Envolvem uma quantidade menor de provas do que o correspondente completo, mas abrem mão de certa quantidade de informação. São experimentos envolvendo 2 ou mais fatores, com o objetivo de examinar o efeitos dos fatores simultaneamente e possíveis interações entre eles, sobre a resposta de interesse. São muito utilizados na indústria e agronomia.

5 Título do slide 5 EXPERIMENTOS FATORIAIS EM DOIS NÍVEIS Desvantagem dos experimentos fatoriais Número de combinações entre tratamentos cresce rapidamente quando o número de fatores e/ou o numero de níveis dos fatores aumentam. Soluções a) Considerar apenas um subconjunto de todos os possíveis tratamentos (experimentos fatoriais fracionários); b) Considerar um número razoável de fatores e restringir o número de níveis de cada fator a 2. Os dois níveis podem ser escolhidos de modo a cobrir, de algum forma, a amplitude (em termos práticos) dos níveis. Para alguns fatores, estes dois níveis são os únicos existentes.

6 Título do slide 6 EXPERIMENTOS FATORIAIS 2 k São experimentos envolvendo k fatores, cada qual com 2 níveis. Em experimentos fatoriais em dois níveis, a quantidade total de experiências (repetições) realizadas é sempre múltiplo de 2 k. a) Quantas experiências serão feitas se existirem dois fatores, em dois níveis, com duas repetições? b) E se forem três fatores, em dois níveis, com cinco repetições? Resp.: 2 2 x 2 = 4 x 2 = 8 observações. Resp.: 2 3 x 5 = 8 x 5 = 40 observações. Exemplos:

7 Título do slide 7 EXPERIMENTOS FATORIAIS 2 k Retomando o Exemplo 1 (panificadora), consideremos os dois fatores com dois níveis: Fatores: A - Altura da prateleira : baixo e no meio B - Largura da prateleira : regular e larga Unidade experimental: loja (supermercado) Resposta: número de unidades vendidas de pão italiano EXPERIMENTO 2 2 ( k = 2 fatores) Altura da prateleira ( A ) Largura da prateleira ( B ) Regular ( B 0 )Larga ( B 1 ) Em baixo ( A 0 )(1)(3) No meio ( A 1 )(2)(4) A tabela para coleta dos resultados é da forma:  índice”0”: nível baixo índice”1”: nível alto

8 Título do slide 8 EXPERIMENTOS FATORIAIS 2 k Atribuímos: “-1” ao nível “0” e “+1” ao nível “1” EXPERIMENTO 2 2 (k = 2 fatores) ou, alternativamente, escrevemos a tabela de contrastes, das quatro experiências possíveis, da seguinte forma: B 0 (-1) B 1 (1) A 0 (-1)(1)(3) A 1 (1)(2)(4) ExperiênciaTratamento ABAB Resposta Y 1 A0B0A0B A1B0A1B0 3 A0B1A0B A1B1A1B B A +1 ou, ainda, graficamente: 

9 Título do slide 9 EXPERIMENTOS FATORIAIS 2 k Para k = 3 fatores, (experimento 2 3 ) Tabela de contrastes (oito experiências possíveis): ExperiênciaTratamento ABC Respostas 1 A0B0C0A0B0C0 2 A1B0C0A1B0C A0B1C0A0B1C A1B1C0A1B1C A0B0C1A0B0C A1B0C1A1B0C A0B1C1A0B1C A1B1C1A1B1C1 Comentários: Fator A  alternância de níveis é de linha pra linha Fator B  alternância de níveis é a cada 2 linhas (=2 1 ) Fator C  alternância de níveis é a cada 4 linhas (=2 2 )

10 Título do slide 10 EXPERIMENTOS FATORIAIS 2 k Regra geral: Tabela de contrastes com qualquer número de fatores k Experiência1ª. col ( A )2ª. col ( B )3ª. col ( C )4ª. col ( D ) Alternância:2121 2020 2222 2323

11 Título do slide 11 EXPERIMENTOS FATORIAIS 2 k EXERCÍCIO: O experimento 2 4 é aquele em que há quatro fatores, cada um com 2 níveis. Complete a tabela de contrastes para este experimento, similar aos casos anteriores. Quantos tratamentos/experiências diferentes há num 2 4 ? ExperiênciaTratamento ABCD 1 A0B0C0D0A0B0C0D0 __ 2 A1B0C0D0A1B0C0D0 1 __ 3 A0B1C0D0A0B1C0D0 1 __ 4 A1B1C0D0A1B1C0D0 11__ 5 A0B0C1D0A0B0C1D0 1__ 6 A1B0C1D0A1B0C1D0 11__ 7 A0B1C1D0A0B1C1D0 11__ 8 A1B1C1D0A1B1C1D A0B0C0D1A0B0C0D1 __ 10 A1B0C0D1A1B0C0D1 1__ 11 A0B1C0D1A0B1C0D1 1__ 12 A1B1C0D1A1B1C0D1 11__ 13 A0B0C1D1A0B0C1D1 __ 14 A1B0C1D1A1B0C1D1 1__ 15 A0B1C1D1A0B1C1D1 __ 16 A1B1C1D1A1B1C1D1 1__

12 Título do slide 12 EXPERIMENTOS FATORIAIS 2 k EXPERIMENTO 2 2 (k = 2 fatores) Considere, por exemplo, dois fatores, com repetição (3 réplicas): Como determinar a significância estatística de um fator nos planejamentos fatoriais 2 k ? Emprega-se a técnica de Análise de Variância (ANOVA) B 0 (-1) B 1 (1) A 0 (-1) y 111 y 112 y 113 y 121 y 122 y 123 A 1 (1) y 211 y 212 y 213 y 221 y 222 y 223 Qual é o modelo estatístico para representar estes dados?

13 Título do slide 13 Modelo estatístico (2 2 ): sendo i : o índice para os níveis do fator A ( i = 1, 2). j : o índice para os níveis do fator B ( j = 1, 2). k : o índice para as réplicas (repetições), por tratamento ( k = 1, 2,..., r ) e y ijk : resposta da k -ésima réplica, no nível i de A e nível j de B.  i : efeito do i -ésimo nível de A.  j : efeito do j -ésimo nível de B. (  ) ij : efeito da interação entre i -ésimo nível de A e j -ésimo nível de B.  ijk : efeito aleatório da k -ésima observação do i -ésimo nível de A e j - ésimo nível de B. EXPERIMENTOS FATORIAIS 2 2

14 Título do slide 14 Fonte de Variação g.l. SQQM Teste F Fator A 1 SQ A = r (efeito A ) 2 QM A = SQ A = S A 2 F A = QM A / QM Er Fator B 1 SQ B = r (efeito B ) 2 QM B = SQ B = S B 2 F B = QM B / QM Er Interação A x B 1 SQ AB = r (efeito AB ) 2 QM AB = SQ AB = S AB 2 F AB = QM AB / QM Er Erro 4( r – 1) SQ Er QM Er = SQ Er /4( r – 1)= S E 2 Total4 r - 1 SQ T A TABELA DE ANOVA para experimentos com 2 fatores fixos, com dois níveis cada e r réplicas é dada por: ANOVA  Como encontrar (estimar) o efeito de A, efeito de B e efeito de AB ? EXPERIMENTOS FATORIAIS 2 2

15 Título do slide 15 Exemplo 2: Uma certa pequena empresa, dispõe de dois tipos de máquinas ( A 0 e A 1 ) para executar determinada tarefa, que pode ser realizada por dois operadores ( B 0 e B 1 ). Deseja-se verificar se existem diferenças quanto às maquinas ou operadores, com relação ao tempo de execução da tarefa (em segundos). EXPERIMENTOS FATORIAIS 2 2 operadores máquinas B0B0 B1B1 A0A0 (1) (3) A1A1 (2) (4) 

16 Título do slide 16 CÁLCULO DAS ESTIMATIVAS DOS EFEITOS EXPERIMENTOS FATORIAIS 2 2 A análise fica facilitada utilizando-se a Tabela de Contrastes. ExperiênciaTrat. ABAB Resp (media) 1 A0B0A0B0 +121,0 2 A1B0A1B ,0 3 A0B1A0B1 +138,5 4 A1B1A1B ,5  ”-“/2 29,7534,5043,25  ”+“/2 30,7526,9917,25 Efeito estim.+1,00-8,50-26,00

17 Título do slide 17 EXPERIMENTOS FATORIAIS 2 2 Interpretação: Quando o fator A vai do nível -1 (0) para o nível +1 (1), o tempo de operação aumenta, em média, de 1 s  este é o efeito estimado do Fator A. Regra geral: o efeito principal de A representa a mudança média na variável resposta quando A 0 é mudado para A 1. Quando o fator B vai do nível -1 para o nível +1, o tempo de operação diminui, em média, de 8,50 s  este é o efeito estimado do Fator B. Analogamente, o efeito estimado da interação é de -26 s. CÁLCULO DAS ESTIMATIVAS DOS EFEITOS

18 Título do slide 18 EXPERIMENTOS FATORIAIS 2 2 O valor crítico da estatística F é F (1, 4; 5%) = 7,71. Conclusão: verifica-se que há interação significativa e, portanto, esta precisa ser considerada na análise do delineamento. No Exemplo 2, a tabela de ANOVA resulta em: Fonte de Variação g.l. SQQM Teste F Fator A 1 22,0 F A = 0,42 Fator B 1144,5 F B = 30,23 Interação A x B 11352,0 F AB = 282,85 Erro419,14,78 Total71517,6

19 Título do slide 19 MODELO DE PREVISÃO EXPERIMENTOS FATORIAIS 2 2 Detectada a significância estatística do efeito de interação (no caso AB ), é possível escrever o modelo de previsão que, para cada nível de A e de B, permite estimar a resposta média que se espera obter: em que, y A e y B assumem valores -1 ou +1, é a média geral de todas as observações. Para os dados do experimento do Exemplo 2 temos:

20 Título do slide 20 Comentários: EXPERIMENTOS FATORIAIS 2 2 a) Os valores dos coeficientes são iguais a (efeito/2), pois os níveis variam de –1 a +1, ou seja, num total de 2 unidades; b) Quando há interação, além do próprio efeito desta, devem entrar também os efeitos principais dos fatores principais que compõem a interação.

21 Título do slide 21 ANÁLISE DE RESÍDUOS EXPERIMENTOS FATORIAIS 2 2 Obtido o modelo de previsão, os resíduos são obtidos pela diferença entre o valor observado, y ij, e o valor fornecido pelo modelo de previsão,, ou seja, Para o Exemplo 2, temos: Experiência AB y ij e ij 1 20; 2221,0-1,0; +1, ; 4648,0+2,0; -2, ; 3738,5+1,5; -1, ; 1513,5-1,5; +1,5 Resíduos grandes indicam presença de dados suspeitos, enquanto que dados não aleatórios podem indicar a influência de um outro fator não considerado no experimento. 

22 Título do slide 22 ANÁLISE DE RESÍDUOS EXPERIMENTOS FATORIAIS 2 2 Em geral, é feita uma análise gráfica dos residuos: Para que o modelo seja considerado adequado, os resíduos devem apresentar-se distribuídos aleatoriamente em torno do valor “0”

23 Título do slide 23 EXPERIMENTOS FATORIAIS 2 3 Experimento 2 3 é aquele em que há três fatores, cada um com 2 níveis. A 0 (-1) A 1 (+1) B 0 (-1) B 1 (+1) B 0 (-1) B 1 (+1) C 0 (-1)(1)(3)(2) (4) C 1 (+1)(5)(7)(6) (8) Tabela de contrastes: ExperiênciaTratamento ABCABACBCABC Respostas 1 A0B0C0A0B0C A1B0C0A1B0C A0B1C0A0B1C A1B1C0A1B1C A0B0C1A0B0C A1B0C1A1B0C A0B1C1A0B1C A1B1C1A1B1C1 +1

24 Título do slide 24 EXPERIMENTOS FATORIAIS 2 3 ou, ainda, graficamente:

25 Título do slide 25 EXPERIMENTOS FATORIAIS 2 3 Fonte de Variação g.l. SQQM Teste F Fator A 1 SQ A = 2 r (efeito A ) 2 QM A = SQ A = S A 2 FA=SA2/SE2FA=SA2/SE2... Fator C 1 SQ B = 2 r (efeito C ) 2 QM B = SQ C = S C 2 FB=SC2/SE2FB=SC2/SE2 Interação A x B 1 SQ AB = 2 r (efeito AB ) 2 QM AB = SQ AB = S AB 2 F AB = S AB 2 / S E 2... Interação A x B x C 1 SQ ABC = 2 r (efeito ABC ) 2 QM ABC = SQ ABC = S ABC 2 F ABC = S ABC 2 / S E 2 Erro 8( r – 1) SQ E = SQ T - SQ A -…- SQ ABC S E 2 = SQ Er /8( r – 1) Total 8 r - 1 SQ T = (8 r – 1) S T 2 Tabela de ANOVA – Delineamento Fatorial 2 3 Obs.: Em experimentos 2 k cada soma de quadrados é calculada pelo quadrado do correspondente efeito multiplicado por 2 k-2.

26 Título do slide 26 Exemplo 3: Pilhas alcalinas podem ser montadas em dois diferentes tipos de linha (automática ou semi-automática), utilizando-se hidróxido de potássio ou hidróxido de índio como eletrólito e, eletrodos planos ou cilíndricos. Todos estes fatores podem ter impacto na impedância da pilha elétrica, comprometendo a sua vida útil. EXPERIMENTOS FATORIAIS 2 3 Cada combinação de níveis dos fatores foi repetida quatro vezes (4 réplicas) e os resultados estão na tabela a seguir. SIGNIFICADO A A0A0 Linha de montagem semi-automática A1A1 Linha de montagem automática B B0B0 Hidróxido de potássio B1B1 Hidróxido de índio C C0C0 Eletrodo plano C1C1 Eletrodo cilíndrico

27 Título do slide 27 EXPERIMENTOS FATORIAIS 2 3 ou, equivalentemente, pela tabela: A0A0 A1A1 B0B0 B1B1 B0B0 B1B1 C0C0 C1C1 C0C0 C1C1 C0C0 C1C1 C0C0 C1C1 -0,11,10,60,70,61,91,82,1 1,00,51,0-0,10,80,72,12,3 0,60,10,81,70,72,32,21,9 -0,10,71,51,22,01,9 2,2 A0A0 A1A1 B0B0 B1B1 B0B0 B1B1 C0C0 (1) -0,1 1,0 0,6 -0,1 (3) 0,6 1,0 0,8 1,5 (2) 0,6 0,8 0,7 2,0 (4) 1,8 2,1 2,2 1,9 C1C1 (5) 1,1 0,5 0,1 0,7 (7) 0,7 -0,1 1,7 1,2 (6) 1,9 0,7 2,3 1,9 (8) 2,1 2,3 1,9 2,2

28 Título do slide 28 EXPERIMENTOS FATORIAIS 2 3 Tabela de contrastes (Exemplo 3): Experiência ABCABACBCABC Resp. media ,350 1,025 0,975 2,000 0,600 1,700 0,875 2,125  “-“/4 0,700,921,091,151,131,321,23  “+”/4 1,721,501,331,271,291,101,19 Efeito estim1,020,580,240,120,16-0,22-0,04

29 Título do slide 29 EXPERIMENTOS FATORIAIS 2 3 Exemplo 2: Tabela de ANOVA (slide 28) Fonte g.l. SQQM Teste F A 1 8,32 32,00 B 1 2,69 10,35 C 1 0,46 1,77 AxBAxB 1 0,12 0,46 AxCAxC 1 0,20 0,77 BxCBxC 1 0,39 1,50 AxBxCAxBxC 1 0,01 0,04 Erro 24 6,320,26 Total 31 18,600,60 O valor crítico da estatística F é F (1, 24; 5%) = 4,26. Conclusão: O resultado da ANOVA revela que: Os fatores A (linha de montagem) e B (hidróxido) são significativos. O fator C e todas as interações não são significativos.

30 Título do slide 30 EXPERIMENTOS FATORIAIS 2 3 Nesse experimento como somente os fatores A e B resultaram estatisticamente significantes, o modelo de previsão é: em que, y A e y B assumem valores -1 ou +1, é a média geral de todas as observações. ANÁLISE DE RESÍDUOS

31 Título do slide 31 EXPERIMENTOS FATORIAIS 2 3 Residuos Exemplo 2:

32 Título do slide 32 EXPERIMENTOS FATORIAIS 3 k EXPERIMENTOS 3 k O desenvolvimento dos experimentos com dois níveis pode ser estendido para qualquer quantidade de fatores. No entanto, o maior problema que se enfrenta é a quantidade total de experiências a ser feita e, consequentemente, o seu custo. Além dos experimentos 2 k existem situações em que se faz necessário o emprego de experimentos do tipo 3 k, ou seja, experimentos em que os k fatores envolvidos apresentam três níveis diferentes.

33 Título do slide 33 EXPERIMENTOS FATORIAIS 3 k EXPERIMENTOS 3 k ExperiênciaTratamento AB Respostas 1 A0B0A0B A1B0A1B A2B0A2B A0B1A0B A1B1A1B A2B1A2B A0B2A0B A1B2A1B A2B2A2B2 2 2 Para k = 2 fatores, (experimento 3 2 ) Tabela de contrastes (nove experiências possíveis):


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