EXPERIMENTO FATORIAL 2k COMPLETO

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1 EXPERIMENTO FATORIAL 2k COMPLETO

2 Exemplo 1 Uma panificadora fornece pão italiano para vários supermercados de uma cidade. Um estudo experimental foi desenvolvido para avaliar os efeitos do fator A, altura da prateleira, cujos níveis são em baixo e no meio, e do fator B, largura da prateleira, com níveis regular e larga, nas vendas (em número de unidades) deste pão durante certo período. Oito supermercados similares em termos de volume de vendas e clientela, foram utilizados no estudo. Cada um dos 4 tratamentos foi atribuído, ao acaso, a duas lojas de acordo com um planejamento completamente casualizado e a localização do pão em cada loja seguiu as especificações do tratamento para aquela loja. Os resultados estão apresentados a seguir

3 Largura da parteleira (B) Altura da prateleira (A)
Exemplo 1 Tabela: Vendas (em número de unidades) de pão italiano Largura da parteleira (B) Altura da prateleira (A) Em baixo No meio Regular 47 43 62 68 Larga 46 40 67 71

4 EXPERIMENTOS FATORIAIS
São experimentos envolvendo 2 ou mais fatores, com o objetivo de examinar o efeitos dos fatores simultaneamente e possíveis interações entre eles, sobre a resposta de interesse. São muito utilizados na indústria e agronomia. Experimento Fatorial Completo São experimentos envolvendo dois ou mais fatores, em que todas as possíveis combinações de níveis de fatores são testadas. Experimento Fatorial Fracionado São experimentos envolvendo dois ou mais fatores, nos quais apenas uma fração do fatorial completo é testada. Envolvem uma quantidade menor de provas do que o correspondente completo, mas abrem mão de certa quantidade de informação.

5 EXPERIMENTOS FATORIAIS EM DOIS NÍVEIS
Desvantagem dos experimentos fatoriais Número de combinações entre tratamentos cresce rapidamente quando o número de fatores e/ou o numero de níveis dos fatores aumentam. Soluções Considerar apenas um subconjunto de todos os possíveis tratamentos (experimentos fatoriais fracionários); Considerar um número razoável de fatores e restringir o número de níveis de cada fator a 2. Os dois níveis podem ser escolhidos de modo a cobrir, de algum forma, a amplitude (em termos práticos) dos níveis. Para alguns fatores, estes dois níveis são os únicos existentes.

6 EXPERIMENTOS FATORIAIS 2k
São experimentos envolvendo k fatores, cada qual com 2 níveis. Em experimentos fatoriais em dois níveis, a quantidade total de experiências (repetições) realizadas é sempre múltiplo de 2k. Exemplos: Quantas experiências serão feitas se existirem dois fatores, em dois níveis, com duas repetições? E se forem três fatores, em dois níveis, com cinco repetições? Resp.: 22 x 2 = 4 x 2 = 8 observações. Resp.: 23 x 5 = 8 x 5 = 40 observações.

7 EXPERIMENTOS FATORIAIS 2k
EXPERIMENTO 22 (k = 2 fatores) Retomando o Exemplo 1 (panificadora), consideremos os dois fatores com dois níveis: Fatores: A - Altura da prateleira: baixo e no meio B - Largura da prateleira: regular e larga Unidade experimental: loja (supermercado) Resposta: número de unidades vendidas de pão italiano A tabela para coleta dos resultados é da forma: Altura da prateleira (A) Largura da prateleira (B) Regular (B0) Larga (B1) Em baixo (A0) (1) (3) No meio (A1) (2) (4) índice”0”: nível baixo índice”1”: nível alto 

8 EXPERIMENTOS FATORIAIS 2k
EXPERIMENTO 22 (k = 2 fatores) Atribuímos: “-1” ao nível “0” e “+1” ao nível “1” B0 (-1) B1 (1) A0 (-1) (1) (3) A1 (1) (2) (4)  ou, alternativamente, escrevemos a tabela de contrastes, das quatro experiências possíveis, da seguinte forma: Experiência Tratamento A B AB Resposta Y 1 A0B0 -1 +1 2 A1B0 3 A0B1 4 A1B1 ou, ainda, graficamente: 3 1 4 2 B A +1 -1

9 EXPERIMENTOS FATORIAIS 2k
Para k = 3 fatores, (experimento 23) Tabela de contrastes (oito experiências possíveis): Experiência Tratamento A B C Respostas 1 A0B0C0 -1 2 A1B0C0 +1 3 A0B1C0 4 A1B1C0 5 A0B0C1 6 A1B0C1 7 A0B1C1 8 A1B1C1 Comentários: Fator A  alternância de níveis é de linha pra linha Fator B  alternância de níveis é a cada 2 linhas (=21) Fator C  alternância de níveis é a cada 4 linhas (=22)

10 EXPERIMENTOS FATORIAIS 2k
Regra geral: Tabela de contrastes com qualquer número de fatores k Alternância: 20  21  22  23  Experiência 1ª. col (A) 2ª. col (B) 3ª. col (C) 4ª. col (D) ... 1 -1 2 3 4 5 +1 6 7 8 9 10

11 EXPERIMENTOS FATORIAIS 2k
EXERCÍCIO: O experimento 24 é aquele em que há quatro fatores, cada um com 2 níveis. Complete a tabela de contrastes para este experimento, similar aos casos anteriores. Quantos tratamentos/experiências diferentes há num 24? Experiência Tratamento A B C D 1 A0B0C0D0 -1 __ 2 A1B0C0D0 3 A0B1C0D0 4 A1B1C0D0 5 A0B0C1D0 6 A1B0C1D0 7 A0B1C1D0 8 A1B1C1D0 9 A0B0C0D1 10 A1B0C0D1 11 A0B1C0D1 12 A1B1C0D1 13 A0B0C1D1 14 A1B0C1D1 15 A0B1C1D1 16 A1B1C1D1

12 EXPERIMENTOS FATORIAIS 2k
EXPERIMENTO 22 (k = 2 fatores) Como determinar a significância estatística de um fator nos planejamentos fatoriais 2k? Emprega-se a técnica de Análise de Variância (ANOVA) Considere, por exemplo, dois fatores, com repetição (3 réplicas): B0 (-1) B1 (1) A0 (-1) y111 y112 y113 y121 y122 y123 A1 (1) y211 y212 y213 y221 y222 y223 Qual é o modelo estatístico para representar estes dados?

13 EXPERIMENTOS FATORIAIS 22
Modelo estatístico (22): sendo i : o índice para os níveis do fator A (i = 1, 2). j : o índice para os níveis do fator B (j = 1, 2). k : o índice para as réplicas (repetições), por tratamento (k = 1, 2, ..., r) e yijk: resposta da k-ésima réplica, no nível i de A e nível j de B. i : efeito do i-ésimo nível de A. j : efeito do j-ésimo nível de B. ()ij : efeito da interação entre i-ésimo nível de A e j-ésimo nível de B. ijk : efeito aleatório da k-ésima observação do i-ésimo nível de A e j-ésimo nível de B.

14 EXPERIMENTOS FATORIAIS 22
A TABELA DE ANOVA para experimentos com 2 fatores fixos, com dois níveis cada e r réplicas é dada por: ANOVA - 22 Fonte de Variação g.l. SQ QM Teste F Fator A 1 SQA = r(efeito A)2 QMA= SQA =SA2 FA=QMA/QMEr Fator B SQB= r(efeito B)2 QMB= SQB =SB2 FB=QMB/QMEr Interação AxB SQAB= r(efeito AB)2 QMAB= SQAB =SAB2 FAB=QMAB/QMEr Erro 4(r – 1) SQEr QMEr = SQEr/4(r – 1)= SE2 Total 4r - 1 SQT  Como encontrar (estimar) o efeito de A, efeito de B e efeito de AB?

15 EXPERIMENTOS FATORIAIS 22
Exemplo 2: Uma certa pequena empresa, dispõe de dois tipos de máquinas (A0 e A1) para executar determinada tarefa, que pode ser realizada por dois operadores (B0 e B1). Deseja-se verificar se existem diferenças quanto às maquinas ou operadores, com relação ao tempo de execução da tarefa (em segundos). operadores máquinas B0 B1 A0 (1) 20 22 (3) 40 37 A1 (2) 50 46 (4) 12 15 

16 EXPERIMENTOS FATORIAIS 22
CÁLCULO DAS ESTIMATIVAS DOS EFEITOS A análise fica facilitada utilizando-se a Tabela de Contrastes. Experiência Trat. A B AB Resp (media) 1 A0B0 -1 +1 21,0 2 A1B0 48,0 3 A0B1 38,5 4 A1B1 13,5 ”-“/2 29,75 34,50 43,25 ”+“/2 30,75 26,99 17,25 Efeito estim. +1,00 -8,50 -26,00

17 EXPERIMENTOS FATORIAIS 22
CÁLCULO DAS ESTIMATIVAS DOS EFEITOS Interpretação: Quando o fator A vai do nível -1 (0) para o nível +1 (1), o tempo de operação aumenta, em média, de 1 s  este é o efeito estimado do Fator A. Regra geral: o efeito principal de A representa a mudança média na variável resposta quando A0 é mudado para A1. Quando o fator B vai do nível -1 para o nível +1, o tempo de operação diminui, em média, de 8,50 s  este é o efeito estimado do Fator B. Analogamente, o efeito estimado da interação é de -26 s.

18 EXPERIMENTOS FATORIAIS 22
No Exemplo 2, a tabela de ANOVA resulta em: Fonte de Variação g.l. SQ QM Teste F Fator A 1 2 2,0 FA = 0,42 Fator B 144,5 FB = 30,23 Interação AxB 1352,0 FAB = 282,85 Erro 4 19,1 4,78 Total 7 1517,6 O valor crítico da estatística F é F(1, 4; 5%) = 7,71. Conclusão: verifica-se que há interação significativa e, portanto, esta precisa ser considerada na análise do delineamento.

19 EXPERIMENTOS FATORIAIS 22
MODELO DE PREVISÃO Detectada a significância estatística do efeito de interação (no caso AB), é possível escrever o modelo de previsão que, para cada nível de A e de B, permite estimar a resposta média que se espera obter: em que, yA e yB assumem valores -1 ou +1, é a média geral de todas as observações. Para os dados do experimento do Exemplo 2 temos:

20 EXPERIMENTOS FATORIAIS 22
Comentários: a) Os valores dos coeficientes são iguais a (efeito/2), pois os níveis variam de –1 a +1, ou seja, num total de 2 unidades; b) Quando há interação, além do próprio efeito desta, devem entrar também os efeitos principais dos fatores principais que compõem a interação.

21 EXPERIMENTOS FATORIAIS 22
ANÁLISE DE RESÍDUOS Obtido o modelo de previsão, os resíduos são obtidos pela diferença entre o valor observado, yij , e o valor fornecido pelo modelo de previsão, , ou seja, Para o Exemplo 2, temos: Experiência A B yij eij 1 -1 20; 22 21,0 -1,0; +1,0 2 +1 50; 46 48,0 +2,0; -2,0 3 40; 37 38,5 +1,5; -1,5 4 12; 15 13,5 -1,5; +1,5 Resíduos grandes indicam presença de dados suspeitos, enquanto que dados não aleatórios podem indicar a influência de um outro fator não considerado no experimento. 

22 EXPERIMENTOS FATORIAIS 22
ANÁLISE DE RESÍDUOS Em geral, é feita uma análise gráfica dos residuos: Para que o modelo seja considerado adequado, os resíduos devem apresentar-se distribuídos aleatoriamente em torno do valor “0”

23 EXPERIMENTOS FATORIAIS 23
Experimento 23 é aquele em que há três fatores, cada um com 2 níveis. A0 (-1) A1 (+1) B0 (-1) B1 (+1) C0 (-1) (1) (3) (2) (4) C1 (+1) (5) (7) (6) (8) Tabela de contrastes: Experiência Tratamento A B C AB AC BC ABC Respostas 1 A0B0C0 -1 +1 2 A1B0C0 3 A0B1C0 4 A1B1C0 5 A0B0C1 6 A1B0C1 7 A0B1C1 8 A1B1C1

24 EXPERIMENTOS FATORIAIS 23
ou, ainda, graficamente:

25 EXPERIMENTOS FATORIAIS 23
Tabela de ANOVA – Delineamento Fatorial 23 Fonte de Variação g.l. SQ QM Teste F Fator A 1 SQA = 2r(efeito A)2 QMA= SQA =SA2 FA=SA2/SE2 . . . Fator C SQB= 2r(efeito C)2 QMB= SQC=SC2 FB=SC2/SE2 Interação AxB SQAB= 2r(efeito AB)2 QMAB= SQAB =SAB2 FAB=SAB2/SE2 Interação AxBxC SQABC= 2r(efeito ABC)2 QMABC= SQABC =SABC2 FABC=SABC2/SE2 Erro 8(r – 1) SQE= SQT-SQA-…-SQABC SE2 = SQEr/8(r – 1) Total 8r - 1 SQT= (8r – 1)ST2 Obs.: Em experimentos 2k cada soma de quadrados é calculada pelo quadrado do correspondente efeito multiplicado por 2k-2.

26 EXPERIMENTOS FATORIAIS 23
Exemplo 3: Pilhas alcalinas podem ser montadas em dois diferentes tipos de linha (automática ou semi-automática), utilizando-se hidróxido de potássio ou hidróxido de índio como eletrólito e, eletrodos planos ou cilíndricos. Todos estes fatores podem ter impacto na impedância da pilha elétrica, comprometendo a sua vida útil. SIGNIFICADO A A0 Linha de montagem semi-automática A1 Linha de montagem automática B B0 Hidróxido de potássio B1 Hidróxido de índio C C0 Eletrodo plano C1 Eletrodo cilíndrico Cada combinação de níveis dos fatores foi repetida quatro vezes (4 réplicas) e os resultados estão na tabela a seguir.

27 EXPERIMENTOS FATORIAIS 23
B0 B1 C0 C1 -0,1 1,1 0,6 0,7 1,9 1,8 2,1 1,0 0,5 0,8 2,3 0,1 1,7 2,2 1,5 1,2 2,0 A0 A1 B0 B1 C0 (1) -0,1 1,0 0,6 (3) 0,8 1,5 (2) 0,7 2,0 (4) 1,8 2,1 2,2 1,9 C1 (5) 1,1 0,5 0,1 (7) 1,7 1,2 (6) 2,3 (8) ou, equivalentemente, pela tabela:

28 EXPERIMENTOS FATORIAIS 23
Tabela de contrastes (Exemplo 3): Experiência A B C AB AC BC ABC Resp. media 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 +1 0,350 1,025 0,975 2,000 0,600 1,700 0,875 2,125 S “-“/4 0,70 0,92 1,09 1,15 1,13 1,32 1,23 S “+”/4 1,72 1,50 1,33 1,27 1,29 1,10 1,19 Efeito estim 1,02 0,58 0,24 0,12 0,16 -0,22 -0,04

29 EXPERIMENTOS FATORIAIS 23
Exemplo 2: Tabela de ANOVA (slide 28) Fonte g.l. SQ QM Teste F A 1 8,32 32,00 B 2,69 10,35 C 0,46 1,77 AxB 0,12 AxC 0,20 0,77 BxC 0,39 1,50 AxBxC 0,01 0,04 Erro 24 6,32 0,26 Total 31 18,60 0,60 O valor crítico da estatística F é F(1, 24; 5%) = 4,26. Conclusão: O resultado da ANOVA revela que: Os fatores A (linha de montagem) e B (hidróxido) são significativos. O fator C e todas as interações não são significativos.

30 EXPERIMENTOS FATORIAIS 23
ANÁLISE DE RESÍDUOS Nesse experimento como somente os fatores A e B resultaram estatisticamente significantes, o modelo de previsão é: em que, yA e yB assumem valores -1 ou +1, é a média geral de todas as observações.

31 EXPERIMENTOS FATORIAIS 23
Residuos Exemplo 2:

32 EXPERIMENTOS FATORIAIS 3k
EXPERIMENTOS 3k O desenvolvimento dos experimentos com dois níveis pode ser estendido para qualquer quantidade de fatores. No entanto, o maior problema que se enfrenta é a quantidade total de experiências a ser feita e, consequentemente, o seu custo. Além dos experimentos 2k existem situações em que se faz necessário o emprego de experimentos do tipo 3k, ou seja, experimentos em que os k fatores envolvidos apresentam três níveis diferentes.

33 EXPERIMENTOS FATORIAIS 3k
EXPERIMENTOS 3k Para k = 2 fatores, (experimento 32) Tabela de contrastes (nove experiências possíveis): Experiência Tratamento A B Respostas 1 A0B0 2 A1B0 3 A2B0 4 A0B1 5 A1B1 6 A2B1 7 A0B2 8 A1B2 9 A2B2