1 O Problema da Intersecção de Segmentos António Leslie Bajuelos Departamento de Matemática Universidade de Aveiro.

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1 1 O Problema da Intersecção de Segmentos António Leslie Bajuelos Departamento de Matemática Universidade de Aveiro

2 2 Problemas Clássicos da GC Problemas de Intersecção (intersection problems)  Um dos problemas mais básicos em geometria computacional é o de computar intersecção.  Dois enunciados: Problema Nº1: Dados n segmentos de recta no plano; decidir se existem dois segmentos que se intersectam. Problema Nº2: Dados n segmentos de rectas no plano; determinar todos os pontos de intersecção entre pares de segmentos.

3 3 Problemas Clássicos da GC Problemas de Intersecção (intersection problems)  Aplicações: em robótica e planeamento de movimentos é importante sabermos quando dois objectos se intersectam para evitarmos colisões; em computação gráfica: ray shooting é um método importante para a renderização de cenas. A parte que é computacionalmente mais cara do ray shooting é justamente determinar a intersecção entre o raio com outros objectos.  Resolução (Problema Nº 2): Força bruta: O(n 2 ) Linha de Varrimento: O(n log n +I log n) Applet

4 4 Intersecção de Segmentos Método da Linha de Varrimento  Em algoritmos por linha-de-varrimento (plane-sweep algorithms) uma linha (ou recta) imaginária, digamos vertical, move-se da esquerda para a direita.  A medida que a linha prossegue o problema restrito aos objectos que ficaram a esquerda da linha é resolvido.  Uma estrutura da linha de varrimento (sweepline structure ou sweepline status) mantém o “estado” do algoritmo para cada posição da linha de varrimento.  Esta estrutura guarda toda a informação sobre os dados do problema que estão a esquerda da linha de varrimento e que serão necessários para estender para o lado direito da linha a solução parcial do problema.

5 5 Intersecção de Segmentos Método da Linha de Varrimento (cont…)  Algumas observações gerais: A linha de varrimento avança em incrementos, parando em posições chaves chamadas de pontos eventos (event points). Esses pontos, quando alcançados pela linha, fazem com que o estado do algoritmo mude. Pontos eventos são mantidos em uma fila de eventos (event queue ou event-point schedule), que e uma lista ordenada dos pontos eventos de acordo a ordem que estes devem ser processados: as x-coordenadas dos pontos e usada para obtermos o próximo ponto evento que será alcançado pela linha e que dever ser tratado pelo algoritmo. Em algumas aplicações a fila de eventos é estática, ou seja, está completamente definida no início do algoritmo, em outras aplicações ela é dinâmica, isto é, novos pontos eventos podem ser inseridos na fila durante a execução do algoritmo

6 6 Intersecção de Segmentos Método da Linha de Varrimento (cont…)  Algumas observações gerais: Um algoritmo por linha-de-varrimento passa por transições em cada ponto evento. As transições consistem tipicamente de três tipos de acções:  Actualizar a fila de eventos –  Remover o ponto evento corrente, junto com qualquer outro que se tornou obsoleto e, eventualmente, inserir novos pontos eventos na fila de eventos.  Actualizar a estrutura de linha de varrimento –  Actualizar as estruturas de dados que mantém a estrutura da linha de varrimento para que esta represente a situação actual  Resolver problema –  Resolver mais do problema, estendendo a solução corrente.

7 7 Intersecção de Segmentos Método da Linha de Varrimento (cont…)  Algumas observações gerais: O método da linha de varrimento reduz um problema estático bidimensional para um problema dinâmico unidimensional (o problema de manter a estrutura da linha). O problema unidimensional resultante é geralmente mais simples que o problema bidimensional original (pelo menos é o que se deseja... ). Nesta disciplina veremos varias aplicações deste método, em particular, para determinarmos todas as intersecções entre um conjunto de segmentos e para particionar um polígono em polígonos monótonos.

8 8 Intersecção de Segmentos Algoritmo do tipo linha de varrimento  Ideias gerais: O algoritmo que estudaremos nesta secção foi apresentado por Bentley e Ottmann* em 1979. Alguns anos antes Shamos e Hoey** propuseram um algoritmo de complexidade de tempo O(n log n) que decide se existe intersecção entre algum dos pares de segmentos dados, onde n é o numero de segmentos. Seja S := {s 1 ; …; s n } o conjunto de segmentos para os quais queremos computar todas as intersecções. Uma ideia natural para desenvolvermos um algoritmo eficiente e evitarmos testar a intersecção entre pares de segmentos que estão “longe” um do outro. * J.L. Bentley e T.A. Ottmann, Algorithms for reporting and counting geometric intersections, IEEE Trans. Comput. C-28 (1979), 643-647. **M.I. Shamos e D. Hoey, Geometric intersection problems, Proceedings of the 17th Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science, 1976, pp. 208-215.

9 9 Intersecção de Segmentos Algoritmo do tipo linha de varrimento  Ideias gerais: Mas como fazemos isto? Vamos primeiro eliminar os casos triviais. Defina o x-intervalo de um segmento como sendo a sua projecção no eixo das abscissas. Quando os x-intervalos de dois segmentos NÃO se sobrepõem então eles NÃO tem a menor chance de se intersectarem e, portanto, NÃO precisamos testar intersecção entre eles. Assim, só precisamos realizar o teste de intersecção entre pares de segmentos cujos x-intervalos se sobrepõem, isto e, segmentos para os quais existe um linha vertical que intersecta ambos os segmentos.

10 10 Intersecção de Segmentos Algoritmo do tipo linha de varrimento  Ideias gerais: Mas como fazemos isto? (cont…) Para determinarmos estes pares de segmentos usaremos o método da linha de varrimento isto é: imaginaremos uma linha vertical varrendo (percorrendo) o plano da esquerda para a direita. Enquanto a linha varre o plano nós manteremos todos os segmentos intersectados por ela; os candidatos a realizarmos o teste de intersecção. A estrutura ou status da linha e o conjunto de segmentos que ela intersecta. A estrutura de l só muda em alguns pontos específicos, isto é: a estrutura só se altera em momentos discretos. Os pontos nos quais a estrutura de l muda são os pontos eventos que (pelo menos até agora) consistem dos extremos dos segmentos de l.

11 11 Intersecção de Segmentos Algoritmo do tipo linha de varrimento  Ideias gerais:  Existe um numero grande de casos especiais que podem por em risco o bom funcionamento do algoritmo.  Assim, faremos uma série de hipóteses sobre a entrada, que podem ser removidas a custa de algum cuidado extra no tratamento desses casos. Suporemos por enquanto que: nenhum segmento é vertical; se dois segmentos se intersectam então eles se intersectam em um único ponto (ou seja, os segmentos são não-colineares); três segmentos não se intersectam em um mesmo ponto.

12 12 Intersecção de Segmentos Algoritmo do tipo linha de varrimento  Ideias gerais: Diremos que dois segmentos s e s’ são comparáveis na abcissa u se a recta vertical l u passando por (u,0) intersecta ambos, s e s’. Suponha quep = (p x, p y ) = s  l e p’ = (p’ x, p’ y ) = s’  l, então escreveremos s > u s’ se p y > p’ y

13 13 Intersecção de Segmentos Algoritmo do tipo linha de varrimento Ideias gerais:  Na Figura a seguir vemos que s 1 > r s 3, s 1 > t s 2, s 2 > t s 3, s 1 > t s 3, s 2 > u s 3 e s 4 é incomparável com os demais segmentos  o x-intervalo de s 4 é disjunto dos x-intervalos dos demais segmentos

14 14 Intersecção de Segmentos Algoritmo do tipo linha de varrimento Ideias gerais:  Para evitar testes de intersecção desnecessários a estratégia será testar a intersecção somente entre pares de segmentos que fiquem consecutivos na linha de varrimento l em algum momento.  Será isto suficiente? Em particular, se dois segmentos se intersectam, existe algum momento em que esses segmentos são consecutivos na ordem induzida pela linha de varrimento?

15 15 Intersecção de Segmentos Algoritmo do tipo linha de varrimento Ideias gerais:  Lema 1. Sejam s e s’ dois segmentos que se intersectam em um único ponto p no interior relativo de ambos os segmentos. Suponha que nenhum outro segmento contem o ponto p. Então existe uma posição da linha de varrimento l a esquerda de p (i.e. antes da linha alcançar p) tal que s e s’ são adjacentes na linha (e portanto serão testados pelo algoritmo).

16 16 Intersecção de Segmentos Algoritmo do tipo linha de varrimento Ideias gerais:  Lema 1. (prova) Seja l uma linha vertical imediatamente à esquerda de p. Se l está suficientemente próxima de p então s i e s j devem ser adjacentes ao longo de l. Mais precisamente, devemos escolher l de modo a que ao longo desta linha não existam pontos de evento e também não existam pontos de evento entre as linha l e a linha de varrimento que contém p. Assim, por outras palavras podemos dizer que existe uma posição na linha de varrimento onde s i e s j são adjacentes. Por outro lado se no início do algoritmo s i e s j não são adjacentes, isto deve-se ao facto da linha de varrimento l estar à esquerda de todos os segmentos e da estrutura de sweep se encontrar vazia. Consequentemente, terá que existir um ponto de evento q onde s i e s j se tornam adjacentes e desta maneira serão alvo do teste para verificar a intersecção 

17 17 Intersecção de Segmentos Algoritmo do tipo linha de varrimento Ideias gerais:  O que acontece quando a linha de varrimento passa por um ponto de intersecção p entre dois segmentos s e s’?  Pela figura a seguir podemos perceber que a ordem relativa entre s e s’ se inverte.

18 18 Intersecção de Segmentos Algoritmo do tipo linha de varrimento Esboço e principais componentes: Sweepline Structure –  A estrutura da linha de varrimento l deve manter os segmentos que ela intersecta ordenados de acordo com a ordem induzida por l  Um segmento deverá: ser inserido na estrutura da linha de varrimento quando a sua extremidade esquerda for alcançada pela linha e deverá ser removido quando a sua extremidade direita for alcançada.  Sempre que dois segmentos ficam consecutivos na ordem da linha de varrimento devemos fazer o teste de intersecção entre eles.

19 19 Intersecção de Segmentos Algoritmo do tipo linha de varrimento Esboço e principais componentes (cont…): Event Queue –  A fila de pontos eventos do algoritmo será dinâmica.  Inicialmente esta fila vai conter todos os pontos extremos dos segmentos ordenados de acordo com as suas x- coordenadas, em caso de empate o ponto com menor y- coordenada devera vir primeiro na fila  A medida que os pontos vão sendo processados os pontos de intersecção obtidos entre pares de segmentos deverão ser inseridos na fila de pontos eventos.  Teremos assim três tipos de pontos eventos: ponto extremidade esquerda de segmento (segment left endpoint); ponto extremidade direita de segmento (segment right endpoint); ponto intersecção de segmentos (intersection point).

20 20 Intersecção de Segmentos Algoritmo do tipo linha de varrimento Esboço e principais componentes (cont…): Event Updates –  Quando um evento e encontrado devemos actualizar a estrutura de dados associada a ele. A maneira que esta actualização e feita depende do tipo do ponto evento: extremidade esquerda de segmento:  o segmento s deve ser inserido na estrutura da linha de varredura l, baseado na ordem induzida por l (ou seja, de acordo com a y-coordenada do ponto evento que esta sendo tratado).  devemos testar a intersecção entre o segmento inserido e os segmentos sucessor e predecessor de s na ordem induzida por l; (dois testes de intersecção são feitos). extremidade direita de segmento:  o segmento s deve ser removido da estrutura da linha de varredura l e o seu sucessor e predecessor na ordem induzida por l devem ser testados para determinarmos se eles se intersectam. (um teste de intersecção é feito.) intersecção de segmentos:  A ordem relativa entre os segmentos que determinam o ponto de intersecção deve ser invertida na estrutura da linha de varredura l.  Devemos fazer o teste de intersecção entre o novo segmento “mais alto” e o seu sucessor na ordem induzida por l.  Devemos fazer o teste de intersecção entre o novo segmento “mais baixo”' e o seu predecessor na ordem induzida por l. (dois testes de intersecção são feitos)

21 21 Intersecção de Segmentos Algoritmo do tipo linha de varrimento Observações gerais:  Qualquer ponto de intersecção determinado durante o processamento de um dos eventos acima deve ser inserido na fila de eventos, a não ser que ele já esteja na fila.  Ao longo da execução do algoritmo teremos três tipos de segmentos: segmentos mortos que são os segmentos que estão totalmente a esquerda da linha l, segmentos activos que têm intersecção com a linha l; segmentos adormecidos que estão totalmente a direita da linha l.

22 22 Intersecção de Segmentos Algoritmo do tipo linha de varrimento Simulação do algoritmo:

23 23 Intersecção de Segmentos Algoritmo do tipo linha de varrimento “Correctude” do algoritmo: Teorema 2: O algoritmo anteriormente estudado devolve todos os pontos de intersecção, e para cada ponto, a lista dos segmentos que o contém. Prova: Procurar na literatura geral desta disciplina, por exemplo no Berg, H., et al., “Computacional Geometry Algorithms and Applications”, Springer, 1997

24 24 Intersecção de Segmentos Algoritmo do tipo linha de varrimento Análise do do algoritmo: Teorema 3: A complexidade temporal do algoritmo para um conjunto de n segmentos no plano é de O(n log n+ I logn) onde I é o número de pontos de intersecção entre os n segmentos. Prova: (esboço) O tempo gasto pela execução do algoritmo, é essencialmente aquando da actualização das estruturas de dados. A estrutura J da linha de varrimento, em qualquer instante de execução, tem no máximo n segmentos, o que nos permite garantir que qualquer operação que se tenha executado sobre J (inserções, eliminações e procura de vizinhos) gasta no máximo um tempo na ordem de O(log n) (em consequência de J ser representado na forma de uma árvore de procura binária equilibrada). É de notar que cada fila de eventos, num determinado instante, não pode ter mais do que 2n+I elementos, pois por convenção não podem existir duplicados de eventos na fila de eventos. Deste modo cada operação gasta no máximo um tempo O(log(2n+I)). Como cada evento é alvo de um número constante de acessos para permitir a actualização das estruturas, temos que o tempo gasto para o processamento de todos os eventos é: O((2n+I) log n) = O((n+I)logn = O(nlog n+Ilog n) 