Planejamento de lavra a céu aberto

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1 Planejamento de lavra a céu aberto
Definição dos limites da cava

2 Modelo econômico de blocos
O uso de computadores permite a atualização de dados rapidamente e o uso de vários parâmetros para análises Técnicas: cone flutuante e Lerchs-Grossmann Ambas necessitam avaliação econômica inicial dos blocos

3 continuação Dados minerais, metalúrgicos e econômicos são combinados para estabelecer um valor para cada bloco Exemplo: Minério com Cu, Mo, Au e Ag 50 x 50 x 40 ft e fator tonelagem 13,5 ft3/st Todos os custos de mineração e processamento incluem custos operacionais, de manutenção e depreciação

4 Dados para o modelo de blocos

5 Dados para o modelo de blocos

6 Dados para o modelo de blocos

7 Net value para os blocos
Usando os dados das tabelas anteriores pode-se calcular o net value para o bloco. O material pode ser considerado como indo para alimentação da planta ou estéril. O NVst(stripping) = ton do bloco x custo de descobertura ($/st) O NVmf(mill feed) = R (receita) - C´

8 Net value para os blocos

9 O NVmf é comparado com o NVst para cada bloco, e o valor mais positivo é considerado.
O NV torna-se, então, a única peça de um bloco a ser utilizado diretamente nos simuladores.

10 Técnica do cone flutuante
No processo manual: uma curva NV x teor era desenvolvida e depois uma SR x teor e a partir disso examinava-se a possibilidade de expansão do pit. Quando utiliza-se computadores fica mais conveniente o emprego do NV dos blocos diretamente. Para um caso onde os taludes tem 45o a base 100’, a figura a ser “flutuada”:

11 Técnica do cone flutuante

12 Técnica do cone flutuante
O exemplo a seguir será examinado usando- se a técnica manual baseada nos teores e SR e, também, quando NV são assinalados para cada bloco 3 limites potenciais serão considerados, o pit final é marcado pelo caso 3

13 Técnica do cone flutuante

14 Técnica do cone flutuante
Usando o gráfico NV x teor - SR, o modelo da figura anterior pode ser convertido num modelo econômico de blocos

15 Técnica do cone flutuante

16 Modelo econômico de blocos

17 Examinando-se os NV dos blocos envolvidos em uma seqüência em particular, os limites finais do pit podem ser determinados. A lavra vai parar quando o NV for negativo.

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19 Fatia 3 NV = 0 define o limite final do pit nessa seção
Como pode ser visto o método manual e o dos blocos conduzem a resultados similares O mais fácil de programar é o do NV, quando considera-se um arranjo tridimensional de blocos

20 Exemplo considerando um arranjo 2D de blocos
Blocos eqüidimensionais, taludes 45 Barnes, 1982 Figura: modelo de bloco e o cone utilizado para definição da cava

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22 Princípios para determinação da configuração da cava
Passo 1 - O cone é flutuado da esquerda para direita ao longo da linha superior. Se tiver um bloco positivo ele é removido. Passo 2 - Passa-se para a segunda linha. Flutuando-se da esquerda para direita até encontrar-se o primeiro valor positivo. Se a soma de todos os blocos que caem dentro do cone é positiva ou zero, esses blocos são removidos

23 Princípios para determinação do pit outline

24 Princípios para determinação da configuração da cava
Se a soma é negativa os blocos são deixados e o cone flutua para o próximo bloco positivo nessa fila. Passo 3 - o processo continua até que não se possa mais remover blocos Passo 4 - a lucratividade é calculada somando-se os valores dos blocos removidos

25 Princípios para determinação da configuração da cava
Passo 5 - SR geral pode ser determinada a partir dos blocos positivos e negativos Na figura do exemplo observa-se que existem 4 valores positivos, portanto 4 cones correspondentes para serem avaliados

26 Princípios para determinação do pit outline

27 Princípios para determinação da configuração da cava

28 Princípios para determinação da configuração da cava
O valor total da cava anterior será: = + 3 A SR geral = 7/3 Essa solução simples é considerada a cava ótima. Cava ótima? Lucro máximo?Máximo NPV? Máxima extração?

29 Problemas para definição da configuração da cava
Não combinação de blocos rentáveis Ocorre quando blocos positivos são investigados individualmente. A extração de um bloco simples pode não ser econômica enquanto uma combinação de blocos pode permitir essa remoção

30 Problemas para definição do pit ótimo

31 Problemas para definição da configuração da cava
Estendendo o limite além do limite ótimo da cava Ocorre quando algoritmos de cones flutuantes podem e seguidamente incluem blocos não lucrativos no projeto da cava. A inclusão desses blocos reduzirá o NV da cava.

32 Problemas para definição do pit ótimo

33 Problemas para definição da cava ótima
Combinação dos dois problemas anteriores A figura a seguir mostra que temos 3 blocos com valores positivos e portanto 3 possibilidades a serem analisadas pelo cone

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35 Problemas para definição do pit ótimo

36 Vantagens do método O método por ser uma “computadorização” de um método manual, pode-se entender o que se está fazendo O algoritmo computacional é simples A técnica de movimentação dos cones pode ser usada com taludes da cava generalizados Resultados acurados para planejamento

37 O ALGORITMO 2D DE LERCHS-GROSSMANN
1965 “Optimum design of open pit mines”: dois métodos numéricos - algoritmo simples de programação dinâmica (2D) e algoritmo grafos (3D).

38 Exemplo NVst = -$4000/bloco NVmf = $12000/bloco
Angulo do talude = 35,5 Altura bancada = 40 ft Fator tonelagem = 12,5 ft3/st

39 Os blocos nos limites podem conter tanto minério quanto estéril.
Necessidade de ponderação. A posição dos blocos serão anotadas segundo um sistema i(linhas),j(colunas).

40 Ponderação de valores

41 Passo inicial i = linhas e j = colunas
calcular os lucros cumulativos para cada coluna de blocos começando no topo e movendo-se para baixo. Cada coluna vertical é independente das outras. i Mij =  mkj k=1

42 Mij é o lucro realizado na extração de um simples bloco (i,j) na sua base
mkj é o NV do bloco(k,j) Aplicando a equação para j=6 e i=3: M36 = m16 + m26 + m36 = = 32

43 Ex: coluna 6

44 Os valores recalculados

45 Próximo passo Processar uma soma cumulativa movendo-se lateralmente da esquerda para direita. Começando com o extremo bloco à esquerda, examina-se os valores dos 3 blocos: um diretamente acima e a esquerda; um a esquerda e um diretamente abaixo e a esquerda bloco selecionado: B11

46 Próximo passo

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48 Próximo passo

49 Examinando a situação com os blocos iniciais (fig 5.59)
Começando no valor 32 o pit resultante é indicado na figura a seguir

50 Examinando a situação com os blocos iniciais (fig 5.59)
Superimpondo o mesmo pit ao modelo de blocos

51 Para o pit iniciado em 32 o valor cumulativo dos blocos será 32.
E para o pit iniciado em 60? Nesse ponto qual seria o pit ótimo?

52 O processo completo Superimpondo o mesmo pit ao modelo de blocos

53 Pit ótimo É aquele que tem o valor cumulativo máximo. Para determinar:
Move-se da direita para esquerda ao longo da linha 1 até encontrar o maior valor As setas são seguidas até completar a outline do pit ótimo na seção.

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55 Comparando com os valores dos blocos

56 Completando a análise NV = 108 x $1000 = $ 108,000
Total t = 36 blocos x 10000/bloco = T de minério = 20 x = T estéril = 16 x = SR = 16/20 = 0,8 Lucratividade média/t = 108/360 = $0.30/t

57 Utilizando-se a técnica do cone flutuante

58 Duas e três linhas

59 4 e 5 linhas

60 6 linhas

61 O algoritmo 3D de Lerchs - Grossmann
Para obter uma verdadeira cava ótima há a necessidade de se tratar o problema em 3D. Para um conjunto ortogonal de blocos existe duas geometrias básicas para aproximação de cavas (pit):

62 O algoritmo 3D de Lerchs - Grossmann
Padrão 1-5, onde 5 blocos são removidos para ganhar acesso a um bloco no nível inferior. Padrão 1-9, onde 9 blocos são removidos para ganhar acesso a um bloco no nível inferior.

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64 Os nós representam os blocos.
As setas apontam para aqueles blocos que precisam ser removidos antes que o bloco abaixo possa ser minerado. Cada bloco tem um peso atribuído a ele. Em geral, o peso é igual ao valor do parâmetro a ser maximizado (NV). Pode ser + ou -

65 Conceitos e termos importantes

66 Cada bloco é representado por um número (xi) que indica a localização do bloco no modelo.
No caso, x1,x2,x3,x4,x5 e x6 Poderíamos ter para coordenadas de x1: (2000,3500,6800). Se tivessemos blocos, então, xi iria de x1 a x O arquivo da locação do nó X = (xi) Para aplicação da teoria “grafos” cada bloco representado por um círculo será designado de nó.

67 Conceitos e termos importantes

68 Linhas retas (bordas) são adicionadas conectando os nós inferiores com os vizinhos mais próximos acima. Para o modelo 3D apresentado anteriormente temos 9 ou 5 bordas para cada bloco inferior Para o modelo 2D anterior temos 3 bordas para cada bloco inferior Cada borda dessas pode ser descrita por:eij = (xi,xj) O conjunto contendo todas as bordas E = (eij)

69 Grafo: G = (X,E) é definido como um conjunto de nós xi conectados por par de elementos denominados bordas eij = (xi,xj) A seguir, é necessário indicar qual dos blocos sobrejacentes precisam ser removidos prioritariamente antes da remoção de um bloco inferior. Fluxo. Do bloco mais inferior para o bloco mais superior. Setas são adicionadas.

70 Conceitos e termos importantes

71 Ao adicionar a seta, criamos um arco:
akl = (xk,xl), significa que o fluxo é do nó xk para o nó xl A = (akl), é o conjunto de todos os arcos O grafo consistido de nós e arcos é chamado de grafo direcionado

72 Sub-grafo: um sub-grafo direcionado G(Y) é um sub-conjunto de um grafo direcionado G(X,A). É constituído de um conjunto Y de nós e todos os arcos Ay que os conecta.

73 Temos: 1- a localização física dos blocos no espaço 2- a conexão entre os blocos 3- o fato de que os blocos superiores precisam ser removidos antes de lavrar os blocos inferiores.

74 Cada bloco precisa ter um valor
Cada bloco precisa ter um valor. Cada bloco xi tem um peso associado (mi). NV; teor, lucro

75 Sob o ponto de vista de mineração: o sub- grafo x1, x2, x3 e x5 poderia ser uma cava viável.
X1,x2,x3,x4,x5 e x6 X2,X3 e X6 é viável? O termo fechamento é utilizado para indicar um sub-grafo viável.

76 Fechamento: é um sub-grafo que compõem uma cava viável.
Terá um valor total associado. O desafio é encontrar entre as várias possibilidades aquele que contempla o máximo valor. Corresponde ao fechamento máximo.

77 Fechamento máximo: é aquele fechamento que contem a máxima soma dos pesos dos blocos, My = ∑mi é máximo . Circuito: é um caminho no qual o nó inicial é o mesmo nó terminal. Cadeia: é uma seqüência de bordas na qual cada borda tem um nó comum com a borda seguinte. Ciclo: é uma cadeia na qual o nó final e o inicial coincidem.

78 Caminho: é uma seqüência de arcos tais que o nó terminal de cada arco é o nó inicial do arco que o sucede. Árvore “tree”: é um grafo conectado e direcionado não contendo ciclos. Uma tree contém um ou mais nós do que o arco. Uma rooted tree é uma tree com um nó especial, a root.

79 Root: é um nó selecionado de uma tree.
Branch: se uma tree é cortada em duas partes pela eliminação de um arco akl, a parte que não contém a root é chamado de branch. Ele mesmo é uma tree. A root de um branch é o nó de um branch adjacente ao arco akl.

80 Twig: é um branch de um branch.
O algoritmo de Lerchs-Grossman é baseado num procedimento normalizado no qual um número de regras são seguidas.

81 Construção de uma árvore
I – Construir uma tree arbitrária tendo uma conexão com a root. Construir uma tree com cada um dos nós conectados diretamente a root.

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83 Aproximação I – árvore arbitrária com uma conexão com a raiz
1- Adicionar uma root ao grafo direcionado e construir uma tree, considerando as possíveis conexões

84 2- Cada um dos arcos será designado com respeito ao seu posicionamento em relação a root: plus ( se estiver se afastando) e minus (se estiver indo para a root).

85 3- Adicionar as palavras strong ou weak aos arcos:

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87 Arco I: direção plus e peso negativo ► weak.
Arco II: o mesmo. Arco: V Arco IV: direção minus, peso cumulativo positivo (10 – 4=6)► weak. Arco III: direção plus, peso cumulativo positivo (10-4-4=2) ► strong.

88 4- Verificar os strong arcs:
Ação 1- Strong-minus arc: o arco (xq,xr) é subtituído por um dummy arc (xo, xq). O nó xq é conectado a root. Ação 2- Strong-plus arc: o arco (xk,sl) é substituído por um dummy arc (xo,xl). O nó é conectado a root.

89 No exemplo, temos um strong-plus arc, arco III, fazer a ação 2.

90 Essa configuração é uma tree: T1.
5- Fazer a mesma designação aos arcos: plus, minus, strong, weak

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92 6- Qualquer strong branch da nova tree não diretamente conectada a root é identificada e os procedimentos discutidos no passo 4 são seguidos. Se não houver strong branches não conectados a root, a tree é dita normalizada e o processo termina.

93 7- O fechamento máximo consiste nos nós conectados por strong arcs a root.
Nesse caso o fechamento é: = 4

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95 Aproximação II – todas as raízes conectadas
1- Começa por adicionar um nó de root e conectando os arcos entre a root e cada outro nó.

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97 2- O conjunto de arcos direcionados é dividido em dois grupos
2- O conjunto de arcos direcionados é dividido em dois grupos. Aqueles conectados a root por strong-plus arcs são incluídos no grupo Yo . Os outros estarão no grupo X-Yo. Nesse caso, nós x5 e x6 estão no grupo Yo. A soma é 20.

98 3- Observar as possíveis conexões entre os dois grupos.
Para x5? Para x6? Selecionar uma: x5,x1. O arco direcionado xo,x5 é removido e o arco direcionado x5,x1 é desenhado.

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100 4- Prosseguir com o processo de normalização
4- Prosseguir com o processo de normalização. Cada arco será designado de plus ou minus e strong ou weak.

101 Yo = 16

102 5- Retornar ao passo 3 para procurar conexões adicionais entre Y e X-Y
5- Retornar ao passo 3 para procurar conexões adicionais entre Y e X-Y. Temos 5 arcos viáveis: X5,x2; x5,x3; x6,x2; x6,x3 e x6,x4 O arco x5,x2 será adicionado a tree e o arco xo,x2 removido.

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104 6- A nova tree é agora normalizada
6- A nova tree é agora normalizada. Os nós incluídos em Y são: x1,x2,x5 e x6. O fechamento é 12.

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106 7- retoma-se o passo 5, temos agora 3 possíveis conexões restantes: x5,x3; x6,x3 e x6,x4.
Escolhe-se adicionar o arco x6,x3 e remover o arco xo,x3. A tree normalizada é mostrada a seguir. Os nós incluídos em Y são x1,x2,x3,x5 e x6 e o fechamento será 8.

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108 8- Retornando ao passo 5, ainda tem uma possível conexão a ser verificada:x6,x4. Arco xo,x4 é removido e o arco x6,x4 é adicionado. Normalização da tree. Todos os nós estão agora relacionados diretamente com a root por cadeias tendo um bordo strong. Não tem mais conexões a serem tentadas.

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110 9- O máximo fechamento será = 4
Na verdade faltou, tentar a conexão x5,x3: Passo 7- Arco x5,x3 é adicionado e o arco xo,x3 removido. Normalizar. Agora o arco xo,x1 se tornou weak-plus. O único membro do grupo Y ficou x6. O fechamento é 10.

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112 Passo 8- considera-se a possível conexão entre X-Y e Y:
X6,x4 e x6,x3 Pegando x6,x4 obtém-se a tree normalizada a seguir representada. Os membro do grupo Y são x6 e x4 e o fechamento é 6.

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114 Passo 9- Existe uma conexão possível entre os dois grupos, aquela representada pelo arco x6,x3. Na tree anterior arc xo,x1 foi removido e o arco x6,x3 adicionado. Todos os nós estão conectados a root por uma cadeia contendo uma borda strong. Não há outras possibilidades. O fechamento é a soma dos nós que é 4.

115 O processo tree cutting
A tree pode ser cortada durante a normalização. Partindo de uma tree inicial Escolhas iniciais: x5,x1; x5,x2 X6,x3;x6,x4

116 Há uma conexão ainda a ser feita:x6,x2
Na figura anterior, arco(xo,x3) é retirado e o arco(x6,x2) é adicionado. A tree está normalizada. O arco (x5,x2) é strong-plus e não conectado diretamente a root. Precisa ser cortado para normalizar a tree.

117 Como discutido anteriormente, o arco (xk,xl) é substituído pelo dummy arc (xo,xl). Nesse caso, xk=x5 e xl=x2. O novo arco (xo,x2). Todas as conexões foram tentadas e o fechamento final é =6.

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