Rotacional de um campo vectorial

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1 Rotacional de um campo vectorial
AULA 2 Notação Rotacional de um campo vectorial Vector Versor Produto interno Produto externo Tensor Nabla Gradiente de um campo escalar Divergência de um campo vectorial PROE 2S0506 CFI Aula

2 Leis do electromagnetismo regidas pelas equações de Maxwell.
Eqs. Maxwell baseadas em trabalhos de Faraday, Gauss, Ampére, etc. (sec. XIX). Força de Lorentz: Campos vectoriais (campo eléctrico) e (indução magnética) grandezas fundamentais de campo electromagnético. Podem ser determinadas por experimentação. Campos vectoriais auxiliares: deslocamento eléctrico , campo magnetico Em espaço livre: Permeabilidade magnética , permitividade PROE 2S0506 CFI Aula

3 Lei de Faraday A circulação de ao longo do contorno fechado Гf = - variação temporal do fluxo da indução magnetica através de A. A PROE 2S0506 CFI Aula

4 Teorema de Stokes (cálculo vectorial)
Circulação (integral de linha) de um campo vectorial ao longo de uma linha fechada Гf = fluxo do rotacional de através de A.  Teorema de Helmholtz (cálculo vectorial) Um campo vectorial fica completamente definido quando forem conhecidos e em todos os pontos do espaço. PROE 2S0506 CFI Aula

5 Teorema da divergência (cálculo vectorial)
Lei de Gauss O fluxo total de que sai dum volume V limitado por Sf é igual à carga eléctrica total contida nesse volume. Teorema da divergência (cálculo vectorial)  PROE 2S0506 CFI Aula

6 Lei de Ampere Campo magnético
A fonte que cria a circulação (ou rotacional) do campo magnético é Lei de Ampere Grande contribuição de Maxwell: adicionar o termo Eqs. compatíveis com o principio da conservação da carga e permitiu prever a propagação de ondas electromagnéticas (~20 anos antes de Hertz ter verificado as previsões teóricas). PROE 2S0506 CFI Aula

7 Teorema de Stokes do cálculo vectorial
Termo Teorema de Stokes do cálculo vectorial Divergência de Não foram encontrados até agora cargas magnéticas Teorema da divergência PROE 2S0506 CFI Aula

8 traduz um fluxo de cargas eléctricas livres. Como a carga se conserva
Termo traduz um fluxo de cargas eléctricas livres. Como a carga se conserva  Eq. da continuidade Teorema da divergência  PROE 2S0506 CFI Aula

9 PROE 2S0506 CFI Aula

10 Sabendo  e tem-se 12 incógnitas e 8 eqs.
Eqs. de Maxwell Sabendo  e tem-se 12 incógnitas e 8 eqs. Eqs. adicionais resultam das relações entre campos impostas pelas características do meio, relações Constitutivas. PROE 2S0506 CFI Aula

11 Temporalmente dispersivos Espacialmente dispersivos
Relações constitutivas A resposta do meio a um estímulo electromagnético depende das suas características. Propriedades dos meios Homogéneos Lineares Isótropos Anisotropos Temporalmente dispersivos Espacialmente dispersivos Meios simples: com comportamento linear, isótropos e sem dispersão espacial. PROE 2S0506 CFI Aula

12 Comportamento dieléctrico e magnético Regimes estacionários
Resposta do meio a um campo electromagnético estático e uniforme é descrita em termos de momentos dipolares induzidos eléctricos e magnéticos. Comportamento dieléctrico Campo eléctrico cria momento dipolar eléctrico. - vector polarização eléctrica Efeitos da polarização equivalentes aos produzidos por Comportamento magnético O comportamento magnético dos materiais é complexo. PROE 2S0506 CFI Aula

13 com comportamento magnético ordinário.
Materiais não ferromagnéticos: Quando se aplica são induzidas pequenas correntes microscópicas que se opõem nos seus efeitos magnéticos às variações do campo aplicado. Comportamento diamagnético, momentos magnéticos em oposição ao campo magnético. Comportamento paramagnético, há a possibilidade de alinhar os momentos magnéticos atómicos individuais e o campo magnético intensifica-se. Materiais ferromagnéticos: os momentos magnéticos induzidos são muito mais intensos do que nos materiais com comportamento magnético ordinário. Magnetização Correntes microscópicas induzidas (Amperianas). magnetização momento dipolar magnético por unidade de volume. A densidade de corrente associada às correntes microscópicas é dada por e tem-se PROE 2S0506 CFI Aula

14 Descrição dos comportamentos dieléctrico e magnético
Em termos de momentos dipolares induzidos só é rigorosamente válida no caso dos campos estáticos uniformes (separação completa de efeitos eléctricos e magnéticos). Regimes variáveis no tempo Meios isotrópicos simples sem dispersão espacial  relações entre e e entre e descritas cada uma por uma convolução temporal. No domínio da frequência significa um relacionamento multiplicativo entre as transformadas de Fourier de e e de e PROE 2S0506 CFI Aula

15 Equações de Maxwell em Meios Materiais
Num meio dieléctrico simples, para além da carga livre  existe também carga de polarização p, que tem origem nos dipolos eléctricos induzidos provocados pelo campo eléctrico aplicado (separação de cargas negativas e positivas). Recorrendo ao vector de polarização constituído pela densidade volúmica do momento dos dipolos eléctricos induzidos no meio. A introdução de tem a vantagem de invocar apenas a densidade de carga livre. PROE 2S0506 CFI Aula

16 Corrente de polarização
Corrente livre Corrente Amperiana Corrente de polarização Corrente deslocamento de vácuo O rotacional da indução magnética (circulação ao longo de qualquer caminho fechado) é determinado pela densidade de corrente total. PROE 2S0506 CFI Aula

17 A introdução dos campos e facilita a escrita das equações de Maxwell mas torna-se necessário arranjar um modelo para descrever os meios. PROE 2S0506 CFI Aula

18 Sistema de Unidades Sistema MKSA [Metro Kilograma Segundo Ampere]
Metro, referenciado ao segundo e à velocidade da luz no vácuo Quilograma, massa de uma barra padrão feita de uma liga de Platina/Irídio (Sévres, Paris) Segundo, períodos da radiação electromagnética emitida numa transição de um átomo de Césio Ampére, corrente constante que, percorrendo dois condutores (comprimento infinito afastados de 1m no vácuo), produziria entre os condutores uma força de 2 x 10 Newton por cada metro de condutor. Sistema MKSA racionalizado PROE 2S0506 CFI Aula