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UM ESTUDO SOBRE O PROBLEMA DO CAIXEIRO VIAJANTE Aluna: Natalle Cristina Moretti Cammarosano Kopczynski Orientadora:Profa. Lílian Kátia de Oliveira 2010.

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1 UM ESTUDO SOBRE O PROBLEMA DO CAIXEIRO VIAJANTE Aluna: Natalle Cristina Moretti Cammarosano Kopczynski Orientadora:Profa. Lílian Kátia de Oliveira 2010

2 INTRODUÇÃO Ultimamente, problemas de roteamento, que são comuns em sistemas logísticos, vêm sendo amplamente estudados nas empresas para aumentar a eficiência da prestação de seus serviços. Para tal, são aplicados alguns métodos, dos quais pode-se obter soluções factíveis. O problema de roteamento estudado foi o Problema do Caixeiro Viajante.

3 OBJETIVOS Estudo dos principais conceitos de Teoria de Grafos; Estudo dos modelos matemáticos utilizados na resolução do Problema do Caixeiro Viajante; Pesquisa sobre os principais métodos de solução da literatura; Implementação dos métodos exatos, heurísticos e probabilísticos para sua resolução (linguagem de modelagem GAMS); Comparação das soluções obtidas a partir dos métodos executados.

4 JUSTIFICATIVAS O Problema do Caixeiro Viajante, devido à sua potencialidade de aplicações, bem como pela dificuldade de resolução, tem sido bastante estudado na literatura em diferentes campos do saber, como a otimização, matemática, engenharia, inteligência artificial. Algumas aplicações são: programação de operações de máquinas em manufatura; programação de transporte entre células de manufatura; otimização do movimento de ferramentas de corte; maioria dos problemas de roteamento de veículos; solução de problemas de sequenciamento de DNA; solução de problemas de programação e distribuição de tarefas em plantas; trabalhos administrativos, entre outros. Portanto, procedimentos de solução para o Problema do Caixeiro Viajante que determinam boas soluções em um tempo computacional razoável são importantes.

5 PROBLEMA DO CAIXEIRO VIAJANTE O bjetivo: cobrir todos os nós de uma rede, a fim de alcançar um objetivo pré determinado (menor distância ou menor custo), passando somente 1 vez em cada nó. Decorre de uma situação hipotética de um caixeiro, que deve sair de uma cidade, passar por várias outras e voltar ao seu ponto de origem. Considera-se que as distâncias e custos entre uma cidade e outra são conhecidos. Sua complexidade de solução aumenta de acordo com a extensão do problema. As aplicações práticas são: entrega de produtos em depósitos, reposição de materiais em postos de trabalho, roteiro de condução escolar, entre outros.

6 MODELOS Grafo Completo não Orientado Seja G(N, A) um grafo completo não orientado com n nós e δ (v) o conjunto dos arcos incidentes no nó v N. Seja cij o custo do arco (i,j) e considere: O Problema do Caixeiro Viajante não orientado pode ser modelado como: onde S é qualquer subconjunto de N, a partir de 3 elementos, que descreve os possíveis ciclos.

7 MODELOS Grafo Completo Orientado Seja G(N, A) um grafo completo orientado com n nós. Seja cij o custo do arco (i,j) e considere: O Problema do Caixeiro Viajante orientado pode ser modelado como:

8 MÉTODOS Algoritmo 1 – Problema da Mínima Árvore Geradora (MST): Consiste em encontrar uma árvore de comprimento mínimo, entre todas as possíveis árvores geradoras do grafo G(N,U). Passo 1: Escolha arbitrariamente o nó i. Encontre o nó mais próximo de i, digamos j, e conecte-o a i. Passo 2: Se todos os nós estiverem conectados, pare. Neste caso a MST foi encontrada. Caso contrário, vá para o passo 3. Passo 3: Encontre o nó, entre os nós ainda não conectados, que esteja mais próximo dos nós já conectados, e conecte-o aos nós já conectados. Volte para o passo 2.

9 MÉTODOS Algoritmo 2 – TSP1 Considere um grafo com n nós, completo e satisfazendo a desigualdade triangular. Passo 1: Encontre a mínima árvore geradora ligando os n nós. Chame- a de T. Passo 2: Seja m o número de nós de T de grau ímpar (m sempre é par). Encontre o minimum length pairwise matching desses m nós e identifique os m/2 caminhos mínimos do casamento ótimo. Chame-o de M. Passo 3: Crie o grafo H com a união de T e M. Note que H não contém nós de grau ímpar. Encontre um circuito de Euler em H. Este circuito é uma solução aproximada para o TSP1. Passo 4: Caso haja nós visitados mais de uma vez no circuito de Euler, melhore o roteiro levando em conta a desigualdade triangular, de maneira a obter um ciclo Hamiltoniano para o grafo H. Este ciclo também é uma solução aproximada para o TSP1.

10 MÉTODOS TSP Probabilístico Considere n pontos que são aleatoriamente e independentemente distribuídos sobre uma área A, com a localização de cada ponto uniformemente distribuído em A. Pode ser mostrado que: Observação: Na prática, a expressão fornece boas aproximações se os n pontos estiverem razoavelmente bem espalhados sobre a região A (mesmo nos casos onde os n pontos não são tão independentemente localizados, ou quando a distribuição de probabilidade não é exatamente uniforme).

11 PRÓXIMOS PASSOS Implementação de Algoritmos Básicos: para tal, será usada a linguagem de modelagem GAMS; Resultados; Relatório final.

12 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS CUNHA, C. B.; BONASSER, U. O.; ABRAHÃO, F. T. M. Experimentos computacionais com heurísticas de melhorias para o problema do caixeiro viajante. In: XVI Congresso da ANPET – Associação Nacional de Pesquisa e Ensino em Transportes. Natal, FERNANDES, F.; MORABITO, R. Linguagens de modelagem GAMS e LINGO: Aplicação a um problema de balanceamento de linha de montagem. Cadernos de Engenharia de Produção n.20, UFSCar. São Carlos, GOLDBARG, M. C.; LUNA, H. P. L. Otimização combinatória e programação linear: modelos e algoritmos. 2ª edição revisada. Rio de Janeiro: Elsevier, PRESTES, A. N. Uma Análise Experimental de Abordagens Heurísticas Aplicadas ao Problema do Caixeiro Viajante Dissertação (Mestrado em Sistemas e Computação) - Pós- Graduação em Sistemas e Computação, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, 2006.


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