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Grafos 1- Definições Preliminares 2- Formas de Representação 3- Métodos de Passeio (Pesquisa) 4- Aplicações.

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1 Grafos 1- Definições Preliminares 2- Formas de Representação 3- Métodos de Passeio (Pesquisa) 4- Aplicações

2 Definições preliminares Grafos são estruturas de dados largamente utilizadas na Ciência da Computação, sendo fundamental seu estudo e dos algoritmos para sua manipulação. Exemplos de aplicações: – Modelagem de circuitos digitais; – Representação de processos em um sistema paralelo ou distribuído; – Representação de lista encadeada; – Árvores de decisão; – Diagramas E-R; – Diagrama UML; – Máquinas de estado finito; – Derivação de palavras em linguagens formais;

3 Running I/O Ready Os três estados que um processo pode assumir num sistema operacional Definições preliminares

4 nome endereçocidadeestado pessoa possui animal Tipo_animalraça nome_animal 1 n Um diagrama E-R Definições preliminares

5 if (a > b) v[i] = f(i); else if (b > c) v[i] = g(i); Assuma que os valores das expressões booleanas (a > b) e (b > c) são independentes e que, na média, (a > b) é executado 25% do tempo e (b > c) 25% do tempo. Se o trecho de programa acima é executado vezes, quantas vezes se espera que as funções f e g sejam executadas? a > b v [ i ] = f [ i ] b > c v [ i ] = g [ i ] x 0,25= 2500 vezes vezes x 0,25 = 1875 vezes Um exemplo de árvore de decisão: Definições preliminares

6 Um exemplo de máquina de estado finito S0S0 S1S1 S2S2 1 0, Definições preliminares

7 Um exemplo de rede neural artificial

8 Definições preliminares Um exemplo de diagrama de classes

9 Um grafo dirigido G é um par (N, A), onde N é um conjunto finito e A é uma relação binária entre os componentes de N. Assim: – G = (N, A) – N = conjunto de nós (ou vértices) de G – A = conjunto de arcos (ou arestas) de G Em um grafo não-dirigido G = (N, A), o conjunto de arcos A consiste de um conjunto desordenado de pares de nós N. Definições preliminares

10 1 - Grafo dirigido G1(N, A): N = {1,2,3,4,5,6} G1 A = {(1,2),(2,2),(2,4),(2,5),(4,1), (4,5),(5,4),(6,3)} 2 - Grafo não-dirigido G2(N,A): G2 N = {1,2,3,4,5,6} A = {(1,2),(1,5),(2,5),(3,6)} Definições preliminares

11 Relação de Incidência: É definida entre nós e arcos. 1 - Grafo dirigido G1(N,A): - Os arcos (2,2); (2,4) e (2,5) são G1 incidentes do nó 2 (saem de 2). - Os arcos (1,2) e (2,2) são inciden- tes para o nó 2 (chegam em 2). 2 - Grafo não-dirigido G2(N,A): G2 - Os arcos incidentes no nó 2 são (1,2) e (2,5). - O arco (3,6) é incidente nos nós 3 e Definições preliminares

12 Relação de Adjacência: Dois nós são adjacentes se existe um arco interligando-os. 1 - Grafo dirigido G1(N,A): - O nó 2 é adjacente ao nó 1. G1 - O nó 1 não é adjacente ao 2, pois o arco (2,1) ao grafo G1. - O nó 5 é adjacente ao nó Grafo não-dirigido G2(N,A): G2 - Relação de adjacência é simétrica. - O nó 2 é adjacente ao nó 1. - O nó 1 é adjacente ao nó Definições preliminares

13 Grau de um nó: É medido pelo número de arcos incidentes. 1 - Grafo dirigido G1(N,A): - Grau = Grau Saída + Grau Entrada G1 - O nó 1 possui grau 2 (1 + 1). - O nó 2 possui grau 5 (3 + 2). 2 - Grafo não-dirigido G2(N,A): G2 - O nó 2 possui grau 4. - O nó 6 possui grau 1. - O nó 4 possui grau Definições preliminares

14 Um caminho c de um nó u para um nó u em um grafo G = (N, A) é a seqüência de nós, onde u = n 0 e u = n k, e (n i-1, n i ) A para i = 1, 2,..., k. O tamanho de c é o número de arcos existentes em c. Um caminho c é composto pelos nós n 0,n 1,n 2,... n k e pelos arcos (n 0, n 1 ), (n 1, n 2 ),..., (n k-1, n k ). - Quais os caminhos de 1 para 4 ? c1 = e c2 = G1 - Quais os tamanhos de c1 e c2 ? c1 = 3 e c2 = 2 - Quais são os arcos de c1 ? Definições preliminares

15 Um grafo G = (N, A) possui um ciclo se existir um caminho c =, onde n 0 = n k. Se não existir, o grafo é dito acíclico. O caminho é simples se são diferentes. 1 - Grafo dirigido G1(N,A): - Ciclos de G1: G1 ; ; ; (não simples) e (laço). 2 - Grafo não-dirigido G2(N,A): G2 - Ciclos de G2: ; ; Definições preliminares

16 Grafos conectados: Um grafo não-dirigido G = (N, A) é conectado se cada par de nós é conectado por um caminho. 1 - Grafo não-dirigido G2(N,A) G2 - Possui três componentes conectados: {1, 2, 5}, {3, 6} e {4} Um grafo não-dirigido é conectado se possuir exatamente um componente conectado, ou seja, se cada nó é alcançável a partir de cada um dos outros nós. Logo, o grafo G2 não é conectado. Definições preliminares

17 Grafos fortemente conectados: um grafo dirigido G = (N, A) é fortemente conectado se cada dois nós são alcançáveis (um a partir do outro). 1 - Grafo dirigido G1(N,A) G1 - Possui três componentes fortemente conectados: {1, 2, 4, 5}, {3} e {6} Todos os pares em {1, 2, 4, 5} são mutuamente alcançáveis. Os nós {3, 6} não formam um componente fortemente conectado, pois não é possível chegar em 6 a partir de 3. Um grafo dirigido é fortemente conectado se possuir exatamente um componente fortemente conectado. Logo, o grafo G1 não é fortemente conectado Definições preliminares

18 Um grafo é planar quando este pode ser desenhado (em uma folha de papel, isto é, em um plano) de forma que suas arestas se interceptem apenas em vértices. No século dezoito Leonhard Euler-Matemático suíço (pronuncia-se óiler) observou que um grafo simples, conexo e planar (sem interseção de arestas) divide o plano em um número de regiões totalmente fechadas e uma região infinita exterior. Daí observou uma relação entre o número de n de vértices, o número a de arestas e o número r de regiões. É a fórmula de Euler: n - a + r = = 2 Definições preliminares

19 Grafos com valores: Quando os nós e/ou os arcos possuem valores. Ex.: Distâncias entre localidades. RioVit Spa Sal Rec Nat Definições preliminares

20 Existem basicamente duas formas para representar um grafo G = (N, A): – Por intermédio de uma Lista de Adjacências É a mais utilizada, pois fornece uma representação mais compacta de grafos esparsos ( |A| << |N| 2 ). – Por intermédio de uma Matriz de Adjacências Utilizada quando o grafo é denso ( |A| |N| 2 ), ou quando é necessário descobrir rapidamente se existe um arco conectando dois nós pré-definidos. Formas de representação

21 Lista de adjacências para um grafo G = (N, A) – Consiste em um vetor de |N| listas encadeadas, uma para cada elemento de N. – Para cada u V, a lista de adjacências Adj[u] contém todos os nós v para os quais existe um arco (u, v) A. Primeiro caso: Grafo Não-Direcionado / / / / / Formas de representação

22 Segundo caso: Grafo Direcionado / / / / / 66/ Formas de representação

23 Variável externa G V0 V1 V2 V3 A(0,1) A(0,3) A(1,2) A(1,3) A(3,1) A(3,2) Formas de representação

24 Matriz de adjacências para um grafo G = (N, A) – Assume-se que os nós são numerados da seguinte forma: 1, 2, 3,..., |N|; – A matriz de adjacências Adj para um grafo G = (N, A) possui dimensões |N| x |N| e elementos a i,j, de forma que: 1 se (i, j) A a i,j = 0 caso contrário { Formas de representação

25 Primeiro caso: Grafo Não-Direcionado Para os grafos não-direcionados, os elementos da matriz são simétricos: Adj [ i ] [ j ] = Adj [ j ] [ i ]. Assim, com fins de economia de memória, pode-se armazenar apenas a matriz triangular superior ou inferior Tipos: Adj = vetor[5] [5] de inteiros Formas de representação

26 Segundo caso: Grafo Direcionado Na matriz de adjacências para grafos direcionados, as linhas representam os nós origem e as colunas, os nós destino Tipos Adj = vetor[6] [6] de inteiros Formas de representação

27 A matriz de adjacência é freqüentemente inadequada porque requer o conhecimento prévio do número de nós Mesmo que a matriz de adjacência seja esparsa, deve-se reservar espaço para todo possível arco entre dois nós. Se existir n nós, precisará de n 2 alocações Lista ligada é interessante porque só aloca o espaço necessário, porém, a implementação é mais complexa porque não se pode prever o número de nós adjacentes a determinado nó, ou seja, o número de ponteiros é bastante variável Na representação de matriz está implícito a possibilidade de percorrer uma linha ou coluna Percorrer em linha é identificar todos os arcos emanando de determinado nó. Neste caso, a implementação ligada é mais eficiente Em coluna é identificar todos os arcos que terminam em determinado nó: vantagem para a matriz, já que não existe um método simples correspondente na implementação ligada Formas de representação

28 O objetivo dos métodos de passeio é explorar um grafo, de forma sistemática, obtendo informações sobre sua estrutura. Uma questão interessante diz respeito ao ponto de início do passeio, pois não existe um referencial a ser considerado, como por exemplo, a raiz nas árvores. Outra questão é relacionada às repetições nas visitas. Como garantir que um nó já foi visitado? Solução: colocar marcas nos nós já visitados. A seqüência de nós visitados depende da escolha dos nós adjacentes. Para um determinado grafo podem existir diversas seqüências de passeio. Métodos de passeio

29 Existem dois algoritmos principais para passeio em um grafo G = (N, A): – Largura (Breadth-first search) Todos os nós localizados a uma distância k de um nó s, escolhido arbitrariamente, são percorridos antes dos nós localizados a uma distância k+1 de s. – Profundidade (Depth-first search) Para um nó s, escolhido arbitrariamente, um de seus nós adjacentes é visitado, e para cada nó visitado, um dos nós adjacente a ele é visitado, até que se encontre um nó sem adjacentes. Nesse instante ocorre um retorno com o objetivo de visitar os nós restantes adjacentes à s. Métodos de passeio

30 Largura (Breadth-first search) 1. Um nó, escolhido arbitrariamente, é visitado, marcado e colocado em uma fila Q; 2. Enquanto a fila Q não estiver vazia: 2.1. Retira-se um nó N da fila Q; 2.2. Para cada nó M (não marcado) adjacente à N: Visita-se o nó M; Coloca-se o nó M na fila Q; Marca-se o nó M. Métodos de passeio

31 Profundidade (Depth-first search) 1. Um nó, escolhido arbitrariamente, é visitado, marcado e colocado em uma pilha S; 2. Enquanto a pilha S não estiver vazia: 2.1. Retira-se um nó N da pilha S; 2.2. Para cada nó M (não marcado) adjacente à N: Visita-se o nó M; Coloca-se o nó M na pilha S; Marca-se o nó M. Métodos de passeio


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