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TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 1 8. Transformada Discreta de Fourier - DFT 8.1 Representação de seqüências periódicas: Série Discreta.

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1 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 1 8. Transformada Discreta de Fourier - DFT 8.1 Representação de seqüências periódicas: Série Discreta de Fourier - DFS Vamos relembrar o desenvolvimento da TDFT – Transformada de Fourier p/ Sinais Discretos

2 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR A Transformada de Fourier para Sinais Discretos Seja o sinal x[n] não-periódico e x[n] seu sinal periódico associado com período N ~ -N 1 N1N1 N-N

3 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 3 Podemos representar x[n] através da Série de Fourier: ~ Como: Podemos escrever: ou então:

4 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 4 Encontrando a envoltória de N.a k : Discreto Contínuo Obtemos: Transformada de Fourier do Sinal Discreto x[n] Logo: Os coeficientes da Série de Fourier do sinal x[n] podem ser vistos como amostragem da Transformada de Fourier em k. 0 do sinal x[n]. ~

5 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 5 Voltando à nossa análise: Chamando os termos: Definimos a Equação de Análise da DFS de N pontos como: e a Equação de Síntese da DFS de N pontos:

6 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 6 Denotando a quantidade complexa: Podemos reescrever as equações de análise e Síntese como:

7 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Propriedades da DFS Linearidade: Deslocamento: Dualidade:

8 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Convolução Periódica * *

9 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Resumo das propriedades da DFS

10 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR A Transformada Discreta de Fourier - DFT ou Pela propriedade da Dualidade da DFS Considere sequência finita e a periódica associada Se comprimento

11 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 11 Temos que: ou Podemos definir a DFT de N pontos: Eq. de análise: Eq. de síntese:

12 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 12 Interpretações: -, DFS de x[n], é uma amostragem do espectro X( ) -X[k] uma amostragem de 1 período de X( ) espectro do sinal não periódico. -X[k] é um período do espectro do sinal periódico associado

13 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 13 DFT de um sinal contínuo não limitado no tempo:

14 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 14 Exemplo: N=5 N=6 N=8 aliasing

15 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 15 N=10 N=25 N=50

16 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR DFT de sinais sinusoidais

17 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Porém:

18 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 18 DFT Sinal limitado em freq. com truncamento igual ao período.

19 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 19 DFT Sinal limitado em freq. com truncamento não igual ao período.

20 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Propriedades da DFT Linearidade: Deslocamento Circular: Dualidade:

21 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Convolução Circular: * Nada mais é do que a convolução periódica considerando sinais de duração finitos x 1 [n] e x 2 [n] Linear: Sinais ilimitados Periódica: Sinais periódicos N Circular: Sinais limitados N

22 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Resumo das Propriedades da DFT

23 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Convolução Linear usando DFT -Existem algoritmos muito eficientes p/ cálculo da DFT algoritmos de FFT (Fast Fourier Transform) Logo é eficiente implementar a convolução de 2 sinais através dos seguintes passos: a)Calcular as DFTs de x 1 [n] e x 2 [n], X 1 [k] e X 2 [k] b)Calcular X 3 [k]=X 1 [k].X 2 [k] c)Calcular IDFT de X 3 [k], x 3 [n], obtendo: N Porém muitas vezes desejamos:

24 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 24 Sendo: O resultado da convolução circular de N amostras será igual à convolução linear se: Porém: se um dos sinais tiver comprimento indeterminado (processamento em tempo real). Dois métodos implementam uma forma eficiente de cálculo da convolução linear através da DFT. Overlap-add e Overlap-save Implementação de Sistemas LTI

25 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Transformada Discreta do Cosseno (DCT) DFT é o exemplo mais comum da classe de Transformadas Discretas de tamanho finito Onde as sequências base São ortogonais:

26 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 26 No caso da DFT: A[k] nesse caso é geralmente uma sequência complexa. São exemplos de Transformadas que fazem : -Haar -Hadamard -Hartley (DHT) -DCT -DST -...

27 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 27 A DCT considera o sinal x[n] periódico e com simetria par: Logo: temos 4 tipos de DCT: DCT-1, DCT-2, DCT-3 e DCT-4 E existem outras 4 formas de se criar um sinal periódico e com simetria par. 2N-2 2N 4N Período:

28 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 28 A DST (Discrete Sine Transform) considera sinal periódico E com simetria ímpar. 8 formas de se fazer. Sendo as funções de base baseadas no seno. Logo temos uma família de 16 transformadas ortogonais A DCT-2 é a mais utilizada em aplicações de compressão de sinais (JPEG e MPEG-1,2,4): Onde:

29 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 29 Exemplo: Compactação de Energia na DCT-2

30 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 30

31 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 31 Transformada ótima para compactação de energia : Karhunen-Loève (Hotelling, PCA) Base formada pelos auto-vetores da matriz de covariância do sinal a ser compactado A DCT é assintoticamente ótima.

32 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Computação da DFT Complexidade Computacional: Medida através do número de, +, é proporcional ao tempo gasto p/ executar um algoritmo. Porém: outros fatores: quantidade de memória requerida operações transcendentais, raiz, log, etc. Em VLSI: consumo, área de chip são fatores importantes P/ escolha de um algoritmo. Algoritmos de FFT: revolucionaram a área de processamento de sinais

33 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Computação eficiente da DFT Como as equações diferem apenas do fator de escala N e do sinal do expoente de W N, a teoria vista p/ cálculo da DFT aplica-se também à IDFT Cálculo direto: -como x[n] pode ser sinal complexo, Para computar N amostras do sinal X[k] requer N 2 multiplicações complexas e N(N-1) adições complexas ou 4N 2 multiplicações reais e N(4N-2) somas reais E mais memórias p/ armazenamento de N amostras complexas de x[n] e coeficientes W N Proporcional O(N 2 )

34 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 34 A maioria dos algoritmos de FFT exploram as seguintes características: 1) Simetria complexa conjugada: 2) Periodicidade em k e n : Exploram ainda a decomposição de uma DFT de N pontos em DFTs de comprimentos menores Algoritmos: -Goertzel(1958): O(N 2 ) -Cooley-Tukey(1965): Deu origem à decimação no tempo -Sande-Tukey(1966): Deu origem à decimação em frequência

35 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Algoritmos de Decimação no Tempo -decomposição sucessiva de x[n] em parcelas menores Diversos tipos: mais clássico: p/ N potência de 2 x[n] de N pontos é dividido em 2 sequências de N/2 pontos Compostas dos n ímpares e n pares

36 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 36 Mudando as variáveis: n=2r para n par n=2r+1 para n ímpar Como:

37 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 37 Podemos reescrever: Como:

38 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 38 Aplicando o mesmo princípio para o cálculo de G[k] e H[k] DFT(N/2)

39 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 39 Temos: E assim sucessivamente até chegar ao cálculo da DFT(2)

40 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 40 DFT de 2 pontos:

41 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 41 Diagrama completo p/ DFT 8-pontos decimação no tempo: Notar que a complexidade computacional é: N.log(N)

42 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 42 Reduzindo ainda mais a complexidade computacional: Célula básica de computação: butterfly Como:

43 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 43 Assim: Algoritmo completo Obs: -Complexidade computacional O(N.log(N)) -Computação In-Place, uso da mesma memória p/ entrada e saída -Ordem do sinal de entrada x[n]

44 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 44 Ordenação Bit-Reversa X[0] = x[0] X[1] = x[4] X[2] = x[2] X[3] = x[6] X[4] = x[1] X[5] = x[5] X[6] = x[3] X[7] = x[7] X[000] = x[000] X[001] = x[100] X[010] = x[010] X[011] = x[110] X[100] = x[001] X[101] = x[101] X[110] = x[011] X[111] = x[111]

45 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Algoritmos de Decimação na Frequência -decomposição sucessiva de X[k] em parcelas menores Diversos tipos: mais clássico: p/ N potência de 2 X[k] de N pontos é dividido em 2 seqüências de N/2 pontos Compostas dos k ímpares e k pares P/ X[pares] Que podemos escrever como:

46 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 46 P/ X[pares] Que podemos escrever como: Substituindo variáveis no 2° somatório Notando que: Logo:

47 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 47 Temos que: Lembrando que: Pode ser escrito como: De modo análogo p/ k ímpares podemos escrever: P/ X[ímpares] Que podemos escrever como:

48 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 48 P/ X[ímpares] Que podemos escrever como: Substituindo variáveis no 2° somatório Notando que: Logo:

49 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 49 Logo: P/ k pares: P/ k ímpares:

50 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 50 Aplicando o mesmo procedimento p/ cálculo da DFT N/2 pontos

51 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 51 E assim sucessivamente até a DFT de 2 pontos, Calculada por: Algoritmo completo p/ DFT(8) decimação em Frequência: Obs: -O(N.log(N)) -Computação In-Place -Saída bit-reverso

52 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 52 Algoritmos vistos são Radix-2 Outros algoritmos: -Radix-4, Radix-8, etc... -Split-Radix -Produto de inteiros -...

53 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 53 Convolução: Complexidade: O(2N 2 ) Método Direto: Por FFT: Complexidade: O(3.2N.log(2N)+2N)


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