Universidade Federal de Ouro Preto Instituto de Ciências Exatas e Biológicas Disciplina: Disciplina: Inteligência Computacional Professor: Professor: Marcone.

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1 Universidade Federal de Ouro Preto Instituto de Ciências Exatas e Biológicas Disciplina: Disciplina: Inteligência Computacional Professor: Professor: Marcone Jamilson Freitas Souza Aluno: Aluno: Francisco César Rodrigues de Araújo

2 2 ESTUDO DO ARTIGO: Um Método Híbrido, baseado em Simulated Annealing e o Método da Descida, para resolver o Problema de Seleção de Projetos Mineiros Concorrentes. Autores:Francisco César Rodrigues de AraújoPPGEM/UFOP Marcone Jamilson Freitas SouzaPPGEM/UFOP

3 3 OBJETIVO: Encontrar quais opções de investimento num sistema de várias minas, são as mais atrativas, respeitando-se algumas restrições.

4 4 INTRODUÇÃO: -Conjunto de projetos mineiros, cada qual com um certo número de opções produtivas e incertezas associadas a cada opção. -Soluções para este problema: -Manual; -Modelo de Programação Matemática – otimizador LINGO; -Técnicas Heurísticas: - Simulated Annealing (SA); - Descida; - Técnica Híbrida (SA + Descida).

5 5 DESCRIÇÃO DO PROBLEMA: -Descrito em Toledo (2003); -Envolve uma série de projetos concorrentes com várias opções por projeto; -Na aplicação, são 7 projetos mineiros, cada qual com suas opções produtivas e as incertezas associadas a cada opção; -VPL (Valor Presente Líquido).

6 6 MODELAGEM: -Representação: 1- VPL = (VPL ij ) mxn m = nº de projetos concorrentes n = nº de opções para cada projeto Em cada célula VPL ij é inserido o VPL ($x10 6 ) do projeto i referente à opção j. 2- PRODUCAO = (PRODUCAO ij ) mxn m = nº de projetos concorrentes n = nº de opções para cada projeto Em cada célula PRODUCAO ij é colocada a produção (x10 6 ) do projeto i referente à opção j.

7 7 3- Solução: S = (S i ) m m = nº de projetos concorrentes Em cada célula S i é colocada a opção selecionada após a aplicação dos métodos heurísticos. MODELAGEM

8 8 - Estrutura de Vizinhança: -Movimento: Substitui a opção existente em S i pela seguinte (posterior). -Função Objetiva: - Otimizar (máximo) o VPL onde: m = número de projetos p = número de opções existentes para cada projeto x ij é uma variável binária com valor 1 se a mina i estiver operando com a opção j e 0, caso contrário; VPL ij = Valor Presente Líquido referente à opção j da mina i; MODELAGEM

9 9 GERAÇÃO DE UMA SOLUÇÃO INICIAL: A Solução inicial para o Problema de Seleção de Projetos Mineiros Concorrentes em Planejamento de Lavra é gerada aleatoriamente, ou seja, para cada projeto é gerado randomicamente uma opção.

10 10 SIMULATED ANNEALING: -Técnica de busca probabilística que aceita movimentos de piora para escapar de ótimos locais (DOWSLAND, 1993); -Começa sua busca a partir de uma solução inicial qualquer; -Gera, aleatoriamente, em cada iteração, um único vizinho s da solução corrente s; -Se o vizinho for melhor que o original, é aceito e substitui a solução corrente; -Caso contrário, ele pode ser aceito, com uma probabilidade.

11 11 procedimento SA {pseudo-código} 1. Seja s 0 uma solução inicial, T 0 a temperatura inicial, a taxa de resfriamento e SAmax o número máximo de iterações para se atingir o equilíbrio térmico; 2. s s 0 ; {Solução corrente} 3. s' s; {Melhor solução obtida até então} 4. T T 0 ;{Temperatura corrente} 5. IterT 0;{Número de iterações na temperatura T} 6. enquanto (T > 0) faça 7. enquanto (IterT < SAmax) faça 8. IterT IterT + 1; 9. Gere um vizinho qualquer s N (s); 10. = f(s) – f(s); 11. se ( > 0) 12. então 13. s s; 14. se f(s) > f(s * ) então s * s; 15. senão 16. Tome x [0,1]; 17. se x < e /T então s s; 18. fim-se; 19. fim-enquanto; 20. T T; 21. IterT 0; 22. fim-enquanto; 23. Retorne s* ; fim SA;

12 12 TEMPERATURA INICIAL: -Parâmetro do método que regula a probabilidade de se aceitar soluções de piora; -Pode assumir um valor inicialmente elevado (To) ou ser determinada através de um algoritmo.

13 13 procedimento TemperaturaInicial(,,Samax,To,s) {pseudo-código} 1. T To; {Temperatura Corrente} 2.Continua TRUE 3. enquanto (Continua) faça 4. Aceitos 0; {Vizinhos aceitos na temp. T} 5. para IterT = 1 até SAmax faça 6. Gere um vizinho qualquer s N (s); 7. = f(s) – f(s); 8. se ( > 0) 9. então 10. Aceitos Aceitos + 1; 11. senão 12. Tome x [0,1]; 13. se x < e /T então Aceitos ++; 14. fim-se; 15. fim-para; 16. se (Aceitos >= SAmax) 17. então Continua FALSE; 18. senão T T; 19. fim-se; 20 fim-enquanto; 21.Retorne T; fim TemperaturaInicial;

14 14 DESCIDA: -Heurística de refinamento que parte de uma solução inicial qualquer ou outra gerada por algum método; -Na aplicação, a idéia é refinar a solução gerada pelo SA, analisando todos os vizinhos de cada opção escolhida.

15 15 Procedimento Descida(f(.),N(.),s); 1 V = {s` N(s) | f(s`) > f(s)}; 2 enquanto (|V|>0) faça 3 Selecione s` V, onde s` = arg max{f(s`) | s` V}; 4 s s`; 5 V = {s` N(s) | f(s`) > f(s)}; 6 fim-enquanto; 7 Retorne s; Fim Descida;

16 16 ALGORITMO HÍBRIDO: -Método de 3 fases: - Constrói-se uma solução inicial; - SA; - Descida. procedimento SA+Descida 1.s 0 ConstruaSolucaoInicial(); 2.s 1 SA(s 0 ); 3.s * Descida(s 1 ); fim SA+Descida;

17 17 RESULTADOS COMPUTACIONAIS: - Dados (Toledo(2003)) 12345678910111213141516 1 884.42929.56922.04885.11857.75874.161000.0857.07804.41967.17909.04843.39972.64935.71930.93897.42 2 177.28149.92199.85156.76197.11119.83144.45188.22191.64205.32213.53227.89206.00234.04262.77247.04 3 145.82139.67154.71142.40134.88162.23199.85177.28178.65132.83175.23164.97175.23139.67170.44162.23 4 206.00195.74216.95194.38188.22197.80222.42197.80190.27176.60180.70207.37199.16214.21209.42222.42 5 145.82139.67154.71142.40134.88162.23199.85177.28178.65132.83175.23164.97175.23139.67170.44162.23 6 206.00195.74216.95194.38188.22197.80222.42197.80190.27176.60180.70207.37199.16214.21209.42222.42 7 111.63106.84103.42100.00117.10113.68110.26108.89125.30120.52117.10111.63138.98134.19130.78126.67 Tabela : Dados de VPL (Mina x opção)

18 18 12345678910111213141516 1 40.0043.00 40.00 42.00 48.00 45.00 2 10.00 11.009.009.5010.5012.50 3 6.00 7.009.00 8.006.008.00 6.008.00 4 10.00 9.0011.0010.00 14.0013.0015.00 5 13.0014.0012.0015.00 18.0020.0022.0024.00 6 6.00 8.00 9.00 8.007.005.00 6.00 7 2.00 3.00 4.00 Tabela : Dados de PRODUÇÃO (Mina x opção) RESULTADOS COMPUTACIONAIS

19 19 RESULTADOS COMPUTACIONAIS Calibragem de parâmetros do SA: SAmax = 500 (número de iterações) = 0,99 (taxa de resfriamento) = 1.1 (taxa de aquecimento) = 0.95 (taxa de redução de SAmax ) Penalidade por excesso de capacidade adotada: Pexc=$15,00 por tonelada de capacidade acima da meta (M = 90 Mt) Penalidade por falta de capacidade: Pfalta=$3,00 por tonelada

20 20 RESULTADOS COMPUTACIONAIS Testes Realizados: - SA resultados mais eficientes que os gerados pelo método Algoritmo Genético (AG), apresentado em Toledo (2003), cujo VPL ($x10 ) = 2.015,48. Semente VPL($ 10 6 ) Tempo de Execução 11067464872164.9301762.71 11067466752165.6599122.97 11067467312160.8200683.06 11067467772167.6701663.16 11067467742166.8304113.08

21 21 RESULTADOS COMPUTACIONAIS -Descida refinar os resultados obtidos pelo método SA (Algoritmo Híbrido SA + Descida); -Para cada Mina, analisou-se qual a opção apresentava um melhor resultado do VPL, levando-se em consideração as restrições de penalidades. SementeSolução InicialTemperatura inicialTempo de Execução VPL($ 10 6 ) 11067495191667.659989.5430532.812180.660156 11067497171895.0000281.0245063.122180.660156 11067497851666.0600497.8520513.282180.660156 11067498551708.1799191.94353.022180.660156 11067499221740.450074.00252.752180.660156

22 22 RESULTADOS COMPUTACIONAIS Resumo da soluções finais obtidas pelos métodos AG, SA, SA + Descida, e o otimizador LINGO aplicado a um modelo de programação matemática relativo ao problema considerado. Método Melhor VPL ($ x 10 6 ) VPL médio ($ x 10 6 ) Tempo médio de execução AG2015-2.3 SA216721652.99 SA+Descida2180 2.99 LINGO2148 0.00

23 23 CONCLUSÕES: -O procedimento híbrido conseguiu produzir melhores soluções que o SA utilizado isoladamente; -Eficaz ao gerar soluções ótimas em todas as simulações realizadas; -Em relação ao resultado apresentado por TOLEDO(2003) pela utilização do algoritmo genético conclui-se que a solução final pode ser otimizada utilizando-se tanto o método SA quanto o procedimento híbrido (SA + Descida); -Comparando o procedimento híbrido com os resultados obtidos utilizando-se métodos não lineares, através do software LINGO, comprova-se a eficiência do primeiro.