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Implementação de um Método de Volumes Finitos de Ordem Superior com Tratamento Multibloco Aplicado à Simulação de Escoamento de Fluidos Viscoelásticos.

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1 Implementação de um Método de Volumes Finitos de Ordem Superior com Tratamento Multibloco Aplicado à Simulação de Escoamento de Fluidos Viscoelásticos Aluno: Eduardo Moreira de Lemos Orientadores: Evaristo Chalbaud Biscaia Jr. (PEQ/COPPE/UFRJ) Argimiro Resende Secchi (PEQ/COPPE/UFRJ) Programa de Engenharia química COPPE / UFRJ Programa de Engenharia química COPPE / UFRJ 20 de Junho de 2011

2 A Fluidodinâmica Computacional Um fluido é uma substância que se deforma continuamente sob ação de uma tensão de cisalhamento (FOX et al., 2004). O movimento do fluido é causado pela ação de forças externas. A Fluidodinâmica Computacional (Computational Fluid Dynamics – CFD) é definida como o conjunto de metodologias que implementadas em um computador permitem simular o escoamento de fluidos (HIRSH, 2007). A partir da CFD é possível realizar um projeto complexo de engenharia com segurança e confiabilidade de resultados. 2

3 A Fluidodinâmica Computacional 3 Técnicas numéricas mais comumente aplicadas na CFD: Método de Diferenças Finitas (MDF) Método de Elementos Finitos (MEF) Método de Volumes Finitos (MVF) O MVF é o método mais aplicado na resolução de escoamentos de fluidos (CEBECI et al., 2005). Esta preferência está diretamente relacionada às características conservativas que este método apresenta (MALISKA, 2004).

4 4 Objetivos Desenvolvimento e implementação computacional de uma nova metodologia numérica para resolução das equações de Navier- Stokes, com aplicação especial à simulação de escoamentos de fluidos viscoelásticos. Procedimento fundamentado no método de volumes finitos utilizando malhas estruturadas e arranjos co-localizados das variáveis do problema. A grande potencialidade deste procedimento está no acoplamento dos esquemas de alta ordem utilizados nas aproximações dos termos advectivos, difusivos e não lineares e as técnicas de partição multibloco utilizada no refino da malha do problema.

5 5 O Método de Volumes Finitos Volume de controle:

6 O Método de Volumes Finitos 6 Integrando a equação no volume de controle adotado: Obtém-se a expressão:

7 7 Literatura: Proposta: Sistema discretizado: O Método de Volumes Finitos

8 8 Esquemas de Interpolação CDS:+ 2 UDS: v x > 0 v x < 0 QUICK: v x >

9 9 Funções de interpolação mais comumente aplicadas na literatura * : Aproximação dos termos advectivos – 1ª, 2ª ou 3ª Ordem Aproximação dos termos difusivos – 2ª Ordem Aproximação dos termos não lineares – 1ª ou 2ª Ordem Ordem global da aproximação – 1ª ou 2ª Ordem Metodologia de alta ordem proposta: Aproximação dos termos advectivos Aproximação dos termos difusivos Aproximação dos termos não lineares Ordem global da aproximação Esquemas de Interpolação * PATANKAR, 1980; MALISKA, 2004; VERSTEEG e MALALASEKERA, 1995; FERZIGER e PERIC, 2002; TANNEHILL et al., 1997; HIRSCH, ª Ordem

10 10 Esquemas de Alta Ordem Esquemas de alta ordem são assim chamados devido ao grau mais elevado de acurácia obtido por sua aplicação. Apresentam ordem de aproximação superior a dois. A utilização de tais esquemas permite a obtenção de uma solução com melhor acurácia utilizando-se malhas menos refinadas. Promove redução de recursos computacionais empregados na simulação.

11 11 Esquemas de Alta Ordem ANOAUTORTÍTULO 1992HYMAN et al. "High Order Finite Volume Approximation of Differential Operators on Nonuniform Grids" 1995LEONARD et al. "Order of Accuracy of QUICK and Related Convection- Diffusion Schemes" 1999HOBAYASHI "On a Class of Padé Finite Volume Method" 2001PEREIRA et al. "A Fourth-Order-Accuracy Finite Volume Compact Method for the Incompressible Navier-Stokes Solutions" 2004LACOR et al. "A Finite Volume Formulation of Compact Central Schemes on Arbitrary Structured Grids" ANOAUTORPERIÓDICO 1992HYMAN et al. Physica D: Nonlinear Phenomena 1995LEONARD et al. Applied Mathematical Modelling 1999HOBAYASHI Journal of Computational Physic 2001PEREIRA et al. Journal of Computational Physics 2004LACOR et al. Journal of Computational Physics

12 12 Técnica Multibloco A utilização do tratamento multibloco permite refinar regiões específicas do domínio do problema sem que este refinamento seja estendido a outras regiões desnecessariamente.

13 13 Técnica Multibloco Blocos coincidentesBlocos não coincidentesBlocos sobrepostos

14 14 Técnica Multibloco ANOAUTORTÍTULO 1987BERGER"On Conservation at Grid Interfaces" 1996LIU e SHYY "Assessment of Grid Interface Treatments for Multi-block Incompressible Viscous Flow Computation" 1997CHEN et al. "Local Mesh Refinement within a Multi-block Structured-grid Scheme for General Flows" 1999TANG e ZHOU"On Nonconservative Algorithms for Grid Interfaces" 2003 DJOMEHRI e BISWAS "Performance Enhancement Strategies for Multi-block Overset Grid CFD Applications" 2006CAI et al."A parallel Viscous Flow Solver on Multi-block Overset Grids" ANOAUTORPERIÓDICO 1987BERGERSIAM Journal on Numerical Analysis 1996LIU e SHYYComputers and Fluids 1997CHEN et al.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 1999TANG e ZHOUSIAM Journal on Numerical Analysis 2003 DJOMEHRI e BISWAS Parallel Computing 2006CAI et al.Computer and Fluids

15 Características Principais de Fluidos Viscoelásticos 15 Associação de características elásticas e viscosas (viscoelasticidade). Possuem viscosidade dependente da taxa de deformação aplicada sobre o material. Presença de tensões normais em escoamento por cisalhamento. Somadas as tensões originadas pelo cisalhamento, estes fluidos apresentam tensões extras ao longo das linhas de corrente. Este comportamento reológico deve-se basicamente à sua constituição química.

16 Equações Constitutivas para Fluidos Viscoelásticos 16 Não é possível representar as propriedades físicas através de uma constante material. O tensor tensão é descrito utilizando funções materiais. Não é possível, na maioria dos casos, a obtenção de uma relação explícita entre o tensor tensão e os componentes da velocidade. Equação do Movimento Taxa de Deformação: Fluido Newtoniano: Fluidos Viscoelásticos:

17 Equações Constitutivas para Fluidos Viscoelásticos 17 Existe um grande quantidade de equações constitutivas. Estas equações podem ser enquadradas em diferentes grupos, de acordo com sua forma, natureza matemática e capacidade de predição de funções materiais. Fluido Newtoniano Generalizado Fluido Viscoelástico Linear Fluido Viscoelástico Não Linear – Modelos Diferenciais Teoria Cinética Teoria de Redes Teoria de Molécula Individual Teoria da Reptação Fluido Viscoelástico Não Linear – Modelos Integrais

18 18 Equações Constitutivas (Teoria de Redes) Porção de uma rede polimérica formada por junções temporárias () (BIRD et al., 2004) Considera uma rede em mutação contínua no qual os pontos de junção são temporários, formados por segmentos adjacentes que se movem juntos por um determinado tempo e então gradualmente se afastam (BIRD et al. 2004). Modelo de Phan-Thien-Tanner (PTT) Simplified PTT (SPPT) Linear PTT (LPPT) Exponential PTT (EPTT) Fixed eta PTT (Feta-PTT)

19 19 Equações Constitutivas (Teoria de Molécula Individual) Modelo de moléculas individuais esfera-mola: (a) Solução polimérica diluída e (b) Solução concentrada ou correspondente a um polímero fundido (BIRD et al., 2004) A molécula é usualmente representada por meio de um modelo do tipo esfera-mola. Representação do modelo esfera-mola UCM Oldroyd-B White-Metzer

20 20 Modelo Matemático para o Escoamento de Fluidos Viscoelásticos Equação da continuidade: Equações da conservação da quantidade de movimento: Equações constitutivas: Modelo de Oldroyd-B: Modelo de SPTT:

21 21 Números Adimensionais Característicos Deborah: Weissenberg: Reynolds: O número de Weissenberg é apropriado para descrever os escoamentos que apresentam um estiramento constante ao longo do tempo. O número de Deborah é apropriado para descrever os escoamentos que apresentam estiramentos variáveis ao longo do tempo. (DEALY 2010; BIRD et al., 1987)

22 22 Fluidos Viscoelásticos ANOAUTORTÍTULO 1992KEILLER"Numerical Instability of Time-dependent flows" 2004 ABOUBACAR et al. "High-Order Finite Volume Methods for Viscoelastic Flow Problems" 2004XUE et al."Numerical Modeling Transient Viscoelastic Flows 2004 FIÉTER e DEVILLE "Time-dependent Algorithms for the Simulation of Viscoelastic Flows with Spectral Element Methods: Applications and Stability" 2004 VAN OS e PHILLIPS "Spectral Element Methods for Transient Viscoelastic Flow Problems " 2008MUNIZ et al."High-Order Finite Volume Method for Solving Viscoelastic Fluid Flows" 2008DUARTE et al. "Numerical and Analytical Modeling of Unsteady Viscoelastic Flows: The Start-up and Pulsating Test Case Problems" 2010FAVERO et al. "Viscoelastic Flow Analysis Using the Software OpenFOAM and Differential Constitutive Equations" ANOAUTORPERIÓDICO 1992KEILLERJournal of Non-Newtonian Fluid Mechanics 2004 ABOUBACAR et al. Journal of Computational Physics 2004XUE et al.Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics 2004 FIÉTER e DEVILLE Journal of Computational Physics 2004 VAN OS e PHILLIPS Journal of Computational Physics 2008MUNIZ et al.Brazilian Journal of Chemical Engineering 2008DUARTE et al.Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics 2010FAVERO et al.Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics

23 23 Modelo Matemático para o Escoamento de Fluidos Viscoelásticos Termos com Derivada de 1ª Ordem Termos com Derivada de 2ª Ordem Termos Não Lineares na Parede do Volume de Controle Termos Não Lineares no Centro do Volume de Controle

24 24 Esquema de Interpolação de Lagrange Esquema de interpolação de Lagrange: em que:

25 25 Esquema de Interpolação de Lagrange Aproximação de Lagrange de 4ª ordem para o valor médios na interface: Aproximação de Lagrange de 4ª ordem para as regiões do contorno: Aproximação de Lagrange de 4ª ordem para as regiões próximas ao contorno:

26 26 Esquema de Interpolação de Lagrange Aproximação de Lagrange de 4ª ordem para o valor médio da derivada na interface: Aproximação de Lagrange de 4ª ordem para as regiões do contorno: Aproximação de Lagrange de 4ª ordem para as regiões próximas ao contorno:

27 27 Esquema de Interpolação de Lagrange Aproximação de Lagrange para os termos não lineares na parede do volume de controle: Aproximação de Lagrange para os termos não lineares no centro do volume de controle: Aproximação de Lagrange de 4ª ordem para os termos não lineares na parede do volume de controle: Aproximação de Lagrange de 4ª ordem para os termos não lineares no centro do volume de controle:

28 28 O Tratamento Multibloco Esquema de interpolação de Lagrange de 4 a ordem aplicado ao tratamento multibloco, utilizando grau de refinamento par. Esquema de interpolação de Lagrange de 4 a ordem aplicado ao tratamento multibloco, utilizando grau de refinamento impar. A ORDEM DE APROXIMAÇÃO NÃO É MANTIDA

29 29 O Tratamento Multibloco Esquema de interpolação de Lagrange de 4ª ordem aplicado ao tratamento multibloco, para interface onde o bloco apresenta índice de refinamento inferior. Esquema de interpolação de Lagrange de 4ª ordem aplicado ao tratamento multibloco, para interface onde o bloco apresenta índice de refinamento superior. Esquema de interpolação de Lagrange de 4ª ordem aplicado ao tratamento multibloco, para interface onde o bloco apresenta índice de refinamento superior para os volumes não coincidentes.

30 30 O Tratamento Multibloco Esquema de interpolação de Lagrange de 4ª ordem aplicado ao tratamento multibloco, para parede próxima à interface onde o bloco apresenta índice de refinamento inferior. Esquema de interpolação de Lagrange de 4ª ordem aplicado ao tratamento multibloco, para parede próxima à interface onde o bloco apresenta índice de refinamento superior.

31 31 Avaliação da Técnica de Partição Multibloco Escoamento entre placas planas e paralelas

32 32 Avaliação da Técnica de Partição Multibloco Maior refinamento aplicado próximo a entrada – Arranjo 1. Maior refinamento aplicado próximo a saída – Arranjo 2. Maior refinamento aplicado próximo a parede – Arranjo 3. Maior refinamento aplicado próximo a simetria – Arranjo 4. Estrutura de refinamento homogêneo – Solução de Referência. Corte em x=5,0 v x Corte em y=0,5 Pressão

33 33 Avaliação da Técnica de Partição Multibloco Perfil de velocidade v x na interface de conexão aplicando o arranjo 1. Perfil de velocidade v x na interface de conexão aplicando o arranjo 2. Perfil de pressão na interface de conexão aplicando o arranjo 3. Perfil de pressão na interface de conexão aplicando o arranjo 4.

34 34 Avaliação da Técnica de Partição Multibloco Comparação dos perfis de velocidade v x para diferentes cortes em x aplicando a técnica multibloco com arranjo 3 e a solução de referência. Comparação dos perfis de pressão para diferentes cortes em x aplicando a técnica multibloco com arranjo 3 e a solução de referência. Diferença entre as soluções de referência e aplicando o procedimento multibloco. TEMPO PARA OBTENÇÃO DAS SOLUÇÕES : LAG4 (Homogêneo – 3600 Volumes): 770 Segundos LAG4 (Multibloco – 2000 Volumes): 492 Segundos

35 35 Aplicação da Metodologia ao Escoamento de Fluidos Newtonianos Escoamento Slip-stick

36 36 Resultados (Re=10) Perfil de velocidade v x obtidos para posição y=0,90 pela aplicação do esquema LAG4. Perfil de velocidade v y obtidos para posição y=0,90 pela aplicação do esquema LAG4.

37 37 Resultados (Re=10) Diferença entre as soluções obtidas pelo esquema LAG4 e para o esquema CDS aplicando diferentes malhas. TEMPO PARA OBTENÇÃO DE SOLUÇÕES : CDS (120X80): 1135 Segundos LAG4 (60X40): 480 Segundos

38 38 Resultados (Re=10) Curva de nível para velocidade v x obtida pela aplicação do procedimento multibloco. Curva de nível para velocidade v y obtida pela aplicação do procedimento multibloco. Estrutura da malha aplicando refinamento homogêneo 120x60. Curva de nível para pressão obtida pela aplicação do procedimento multibloco. Estrutura da malha computacional aplicando o procedimento multibloco.

39 39 Resultados (Re=10) Comparação entre os perfis de velocidade v x obtidos para diferentes cortes em y utilizando a malha de refinamento homogêneo (linhas) e malha multibloco (pontos). Comparação entre os perfis de velocidade v y obtidos para diferentes cortes em y utilizando a malha de refinamento homogêneo (linhas) e malha multibloco (pontos).

40 40 Resultados (Re=10) TEMPO PARA OBTENÇÃO DAS SOLUÇÕES : LAG4 (Homogêneo – 7200 Volumes): 1770 Segundos LAG4 (Multibloco – 3600 Volumes): 851 Segundos Diferença entre as soluções obtidas pela aplicação da técnica multibloco e as soluções obtidas utilizando o grau de refinamento homogêneo.

41 41 Aplicação da Metodologia ao Escoamento de Fluidos Viscoelásticos Escoamento Slip-stick

42 42 Resultados (Re=0,1, We=0,1 e η E =0,9) Perfil de velocidade v x obtidos para posição y=0,90 pela aplicação do esquema LAG4. Perfil de velocidade v y obtidos para posição y=0,90 pela aplicação do esquema LAG4. Perfil de tensão τ xx obtidos para posição y=0,90 pela aplicação do esquema LAG4. Perfil de tensão τ yy obtidos para posição y=0,90 pela aplicação do esquema LAG4. TEMPO PARA OBTENÇÃO DE SOLUÇÕES: CDS (120X80): 3557 Segundos LAG4 (60X40): 1242 Segundos

43 43 Resultados (Re=0,1, We=0,1 e η E =0,5) Estrutura da malha aplicando refinamento homogêneo 60x60. Estrutura da malha aplicando o procedimento multibloco. Comparação entre os perfis de velocidade v x obtidos para diferentes cortes em y utilizando a malha de refinamento homogêneo (linhas) e malha multibloco (pontos). Comparação entre os perfis de tensão τ xx obtidos para diferentes cortes em y utilizando a malha de refinamento homogêneo (linhas) e malha multibloco (pontos). Comparação entre os perfis de tensão τ yy obtidos para diferentes cortes em y utilizando a malha de refinamento homogêneo (linhas) e malha multibloco (pontos).

44 Diferença entre as soluções obtidas pela aplicação da técnica multibloco e as soluções obtidas utilizando o grau de refinamento homogêneo. 44 Resultados (Re=0,1, We=0,1 e η E =0,5) TEMPO PARA OBTENÇÃO DAS SOLUÇÕES : LAG4 (Homogêneo – 3600 Volumes): 1753 Segundos LAG4 (Multibloco – 2000 Volumes): 941 Segundos

45 45 Resultados (Re=0,1 e We=0,1) Perfil de tensão τ xx obtidos pela aplicação do esquema LAG4 para diferentes valores de η E, usando o modelo de Oldroyd-B. Perfil de tensão τ xy obtidos pela aplicação do esquema LAG4 para diferentes valores de η E, usando o modelo de Oldroyd-B.

46 46 Resultados (Re=0,1, We=0,1 e η E =0,5) Perfil de tensão τ xx obtidos pela aplicação do esquema LAG4 para diferentes valores de ε, usando o modelo de SPTT. Perfil de tensão τ yy obtidos pela aplicação do esquema LAG4 para diferentes valores de ε, usando o modelo de SPTT.

47 47 Resultados (Re=0,1 e η E =0,5) Perfis de tensão τ xx obtidos para posição y=0,9 pela aplicação do esquema LAG4 usando malha 60x10 e 60x20 utilizando o modelo de Oldroyd-B. Perfis de tensão τ yy obtidos para posição y=0,9 pela aplicação do esquema LAG4 usando malha 60x10 e 60x20 utilizando o modelo de Oldroyd-B.

48 48 Resultados (Re=0,1 e η E =0,5) Perfil de velocidade v y obtidos para posição y=0,90 pela aplicação do esquema LAG4. Perfil de tensão τ xx obtidos para posição y=0,9 pela aplicação do esquema LAG4 com malha 60x10 utilizando o modelo de Oldroyd-B. Perfil de tensão τ xx obtidos para posição y=0,9 pela aplicação do esquema LAG4 com malha 30x40 utilizando o modelo de Oldroyd-B.

49 49 Escoamento de Fluidos Viscoelásticos Escoamento em Cavidade

50 50 Resultados (We=0,1, Re=100 e η E =0,7) Valores das velocidades mínimas e máximas em x=0,5 e y=0,5 para o escoamento em cavidade viscoelástico.

51 51 Resultados (We=0,1, Re=100 e η E =0,7) Comparação entre os perfil de velocidade v x na linha vertical central (x=0,5) obtidos pela aplicação do esquema LAG4 e os resultados obtidos por YAPICI et al. (2009). Comparação entre os perfil de velocidade v y na linha horizontal central (y=0,5) obtidos pela aplicação do esquema LAG4 e os resultados obtidos por YAPICI et al. (2009).

52 52Conclusões Uma nova metodologia numérica para resolução das equações de Navier-Stokes, com aplicação especial à simulação de escoamentos de fluidos viscoelásticos foi desenvolvida. A metodologia numérica desenvolvida é baseada no método de volumes finitos, utilizando uma malha estruturada e um arranjo co- localizado das variáveis do problema. Os valores médios lineares e não lineares das variáveis nas interfaces dos volumes de controle são aproximados através de esquemas de Lagrange de 4ª ordem. A utilização de esquemas de alta ordem permitiu a obtenção de uma solução com melhor acurácia utilizando malhas menos refinadas.

53 53Conclusões A técnica de conexão multibloco desenvolvida foi capaz de conectar adequadamente os blocos de diferentes refinamentos de forma simples e eficiente. O aspecto mais importante deste procedimento é a utilização direta das fórmulas de interpolação, garantindo assim que a ordem global da aproximação seja mantida. Permitindo também que o procedimento possa ser facilmente estendido a outros esquemas. A utilização em conjunto destas duas técnicas permitiu o desenvolvimento de um código computacional associando a melhor acurácia dos esquemas de alta ordem à flexibilidade do tratamento multibloco.

54 54Sugestões Implementação de técnicas de tratamento de oscilações numéricas. Implementação de metodologias para resolver escoamento com elevados valores do número de Weissenberg. Estudar a relação entre o número Weissenberg e o grau de refinamento da malha. Testar novas ferramentas numéricas na resolução do sistema discretizado.

55 55Agradecimentos Meus pais Noberto e Diomarina Meus orientadores Evaristo e Argimiro A minha namorada Cristiane Aos grande amigos do LMSCP: João, André, Kese, Fabrício, Pedro e Cauê Aos Amigos de longa data: Leonardo, Renata, Paulo, Thiago, Henrique, Luciana, e Bruno Aos amigos Rogério, Fabiano, José, Márcio, Eduardo, Heloisa, Marcelo e Diego Ao Jovani e a Thais do LTFD Aos professores e funcionários do PEQ A meus professores da PUC-Rio Aos membros da banca Ao CNPq pelo suporte financeiro

56 56 Acoplamento Pressão-Velocidade (Pseudo-Compressibilidade) Pseudo-Compressibilidade Escoamento bidimensional, incompressível, isotérmico e transiente, com viscosidade constante

57 57 Solução numérica utilizando LAG4 e a pseudo-compressibilidade com N x =N y =40. Solução Numérica utilizando o pacote CFX com malha formada por elementos. Escoamento entre placas paralelas (Água na temperatura de 296K e Re=250) Acoplamento Pressão-Velocidade (Pseudo-Compressibilidade)

58 58 Acoplamento Pressão-Velocidade (Compressibilidade Artificial) Compressibilidade Artificial Escoamento bidimensional, incompressível, isotérmico e transiente, com viscosidade constante

59 59 Solução numérica utilizando LAG4 e a compressibilidade artificial com γ=1, τ x =10 -2 e p 0 /(a 2 ρ)=1 N x =N y =40. Solução numérica utilizando LAG4 e a compressibilidade artificial com γ=1, τ t =10 -2 e p 0 /(a 2 ρ)=1 N x =N y =40. Escoamento entre placas paralelas (Água na temperatura de 296K e Re=250) Acoplamento Pressão-Velocidade (Compressibilidade Artificial)

60 60 Escoamento de Fluidos Viscoelásticos Escoamento em Contração 2:1

61 61 Resultados (Re=0,1, We=0,1 e η E =0,5) Estrutura da malha computacional aplicando o procedimento LAG4 multibloco, utilizando 3400 volumes de controle. Estrutura da malha computacional aplicando o procedimento CDS, utilizando 6000 volumes de controle.

62 62 Resultados (Re=0,1, We=0,1 e η E =0,5) Comparação entre os perfis de velocidade v y utilizando o esquema CDS (6000 volumes – linhas) e o esquema multibloco (3400 volumes – pontos). Comparação entre os perfis de velocidade v x utilizando o esquema CDS (6000 volumes – linhas) e o esquema multibloco (3400 volumes – pontos). Comparação entre os perfis de tensão τ xx utilizando o esquema CDS (6000 volumes – linhas) e o esquema multibloco (3400 volumes – pontos). Comparação entre os perfis de tensão τ yy utilizando o esquema CDS (6000 volumes – linhas) e o esquema multibloco (3400 volumes – pontos). TEMPO PARA OBTENÇÃO DAS SOLUÇÕES: CDS (9000 Volumes): 2394 Segundos LAG4 (3400 Volumes): 1556 Segundos GRAU DE REFINO NA REGIÃO PRÓXIMA A CONTRAÇÃO: CDS (9000 Volumes): Δx=0,1667 e Δy=0,0125 LAG4 (3400 Volumes): Δx=0,1667 e Δy=0,0083


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