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Projeto Multigrid - IAE/CTA –maio/2008 Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica -PG-Mec - UFPR Doutorando: Cosmo D. Santiago – MSc. Orientador:

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1 Projeto Multigrid - IAE/CTA –maio/2008 Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica -PG-Mec - UFPR Doutorando: Cosmo D. Santiago – MSc. Orientador: Carlos H. Marchi – Dr.Eng. Otimização do método multigrid geométrico para sistemas de equações 2D em CFD

2 Objetivos dessa apresentação Apresentar um resumo de resultados já obtidos. Atividades em andamento Resultados esperados

3 Objetivos dessa etapa da pesquisa Obter parâmetros ótimos do método multigrid Obter parâmetros ótimos do método multigrid geométrico para 2 sistemas de equações. geométrico para 2 sistemas de equações. Os parâmetros estudados são: - Iterações internas (ITI); - Número de níveis (L); - Influência do número de variáveis (N). Verificar a influência do número de variáveis no multigrid Verificar a influência do número de variáveis no multigrid Verificar se os valores ótimos obtidos com os 2 sistemas são os mesmos obtidos para uma equação. Verificar se os valores ótimos obtidos com os 2 sistemas são os mesmos obtidos para uma equação.

4 Problemas testes Equação de Laplace Equação de Laplace Equações de Navier Equações de Navier Equações Burgers Equações Burgers Laplace Navier Burgers (não-linear) (linear) (FAS)(CS/FAS) Esquema de comparação

5 Modelos Matemáticos – 2D Equação de Laplace Equação de Laplace A solução analítica é dada por T(x,y) = xy. T(x,y) = xy. Com as seguintes condições de contorno:

6 Equações de Navier (Termoelasticidade) Equações de Navier (Termoelasticidade) onde: eé a razão de Poisson C λ = (1+ λ)/(1- λ) e λ é a razão de Poisson é o campo de temperaturas. α é o coeficiente de expansão térmica u e v são deslocamentos Modelos Matemáticos – 2D

7 Solução analítica proposta e Com as seguintes condições de contorno:. Inferior: Inferior: e Superior: e Direito: Direito: e Esquerdo: e Modelos Matemáticos – 2D

8 Equações de Burgers Equações de Burgers onde : p é a pressão dada por Shih et al. (1989) u e v representam as velocidades. u e v representam as velocidades. B é o termo fonte

9 Modelos Matemáticos – 2D Solução analítica para as velocidades (SHIH et al., 1989) e As condições de contorno são: Inferior: Inferior: Superior: e Direito: Direito: Esquerdo:

10 Modelo numérico - Discretização com o Método de Diferenças Finitas - Malha uniformes nas duas direções coordenadas - Aproximações: UDS/CDS para os termos advectivos e difusivos, respectivamente - Multigrid Geométrico com ciclo V - Razão de engrossamento padrão (2) - Restrição: Injeção - Prolongação: Interpolação bilinear - Solver padrão: MSI - Condições de contorno de Dirichlet Para os três problemas: Para os três problemas:

11 Implementação Linguagem: Fortran/95 Linguagem: Fortran/95 Multigrid Geométrico com Ciclo V Multigrid Geométrico com Ciclo V Algoritmos: Algoritmos: CS e FAS : Equação de Laplace e equações de Navier CS e FAS : Equação de Laplace e equações de Navier FAS : Equações de Burgers FAS : Equações de Burgers Tolerância Tolerância

12 Conclusão: ITI optimum = 2 (para os dois problemas) Fig. 1: Comparação do número de iterações internas com os esquemas CS e FAS Resultados Resultados Equação de Laplace x Equações de Navier (a) Iterações internas com CS(b) Iterações internas com FAS Conclusão: ITI optimum = 2 para Navier ITI optimum = 8 para Laplace Iterações internas (ITI) Iterações internas (ITI)

13 Número de malhas (L) Número de malhas (L) Para os dois problemas e os dois esquemas (CS/FAS) observa-se que: Fig. 2: Comparação do número de níveis com os esquemas CS e FAS (a) Número de níveis com CS (b) Número de níveis com FAS Resultados Resultados Equação de Laplace x Equações de Navier

14 Número de variáveis (N) Número de variáveis (N) Para os dois problemas e os dois esquemas (CS/FAS) observa-se que: Fig. 3: Comparação do esforço computacional com CS e FAS (a) Ajuste de curva com CS (b) Ajuste de curva para Navier com FAS MG: o tempo computacional cresce linearmente com o aumento do número de variáveis. SG : o tempo computacional cresce muito rapidamente com o aumento do número de variáveis. Resultados Resultados Equação de Laplace x Equações de Navier

15 Fig. 4: Comparação do número de iterações internas com o FAS Fig. 5: Comparação do número de níveis Fig. 6: Ajuste de curva para os 3 solvers Observe-se que: Na Fig. 4, ITI optimum = 5. Na Fig. 6: MG: o tempo de CPU cresce linearmente com o aumento do nº de variáveis. SG : o tempo de CPU cresce muito rapidamente com o aumento do nº de variáveis. Na Fig. 5, Resultados Resultados Equação de Burgers (somente FAS)

16 Algumas conclusões Resumo Problema CSFAS ITILSG(p)MG(p)ITILSG(p)MG(p) Navier2 max ou max – Laplace ou 8 max ou max – Burgers5 max ou max –

17 Esquema CS ITI optimum = 2, em qualquer malha. O ITI afeta significativamente o tempo de CPU. ITI optimum = 2, em qualquer malha. O ITI afeta significativamente o tempo de CPU. O número ótimo de malhas é próximo do máximo, isto é, O número ótimo de malhas é próximo do máximo, isto é, L optimum L maximum. O número de malhas pode afetar significativamente o tempo de CPU L optimum L maximum. O número de malhas pode afetar significativamente o tempo de CPU O tempo de CPU cresce aproximadamente linear com o aumento do número de variáveis. O tempo de CPU cresce aproximadamente linear com o aumento do número de variáveis. O acoplamento de duas equações não degenera a perfomance do multigrid quando comparado com o caso de uma equação. O acoplamento de duas equações não degenera a perfomance do multigrid quando comparado com o caso de uma equação. Verificou–se que: Algumas conclusões Equação de Laplace x Equações de Navier

18 Esquema FAS ITI optimum = 8, (Equação de Laplace) ITI optimum = 8, (Equação de Laplace) ITI optimum = 2, (Equações de Navier) ITI optimum = 2, (Equações de Navier) O ITI afeta significativamente o tempo de CPU. O ITI afeta significativamente o tempo de CPU. Nº de níveis (Idem a conclusão com esquema CS). Nº de níveis (Idem a conclusão com esquema CS). Acoplamento (Idem a conclusão com esquema CS). Acoplamento (Idem a conclusão com esquema CS). O tempo de CPU (Idem a conclusão com esquema CS) O tempo de CPU (Idem a conclusão com esquema CS) Algumas conclusões

19 ITI optimum = 5, em todas as malhas. ITI optimum = 5, em todas as malhas. O ITI afeta significativamente o tempo de CPU. O ITI afeta significativamente o tempo de CPU. Nº de níveis (Idem aos casos anteriores). Nº de níveis (Idem aos casos anteriores). Acoplamento (Idem aos casos anteriores). Acoplamento (Idem aos casos anteriores). O tempo de CPU (Idem aos casos anteriores). O tempo de CPU (Idem aos casos anteriores). Algumas conclusões Equações de Burgers (apenas esquema FAS)

20 Próximas etapas Otimizar o método multigrid geométrico ciclo V para as equações de Navier-Stokes nas formulações: Função Corrente-Velocidade (mai/jun); Função Corrente-Velocidade (mai/jun); Função Corrente-Vorticidade (jul/ago/set); Função Corrente-Vorticidade (jul/ago/set); Vorticidade –Velocidade (out/nov/dez); Vorticidade –Velocidade (out/nov/dez); Modelo numérico: Mesmo usado com os problemas mostrado aqui.

21 Próximas etapas Resultados esperados: Otimizar o método multigrid geométrico ciclo V para problemas com duas equações; Otimizar o método multigrid geométrico ciclo V para problemas com duas equações; Mostrar que o acoplamento das equações não degenera a performance do método multigrid. Mostrar que o acoplamento das equações não degenera a performance do método multigrid. Obter parâmetros ótimos do multigrid para as equações de Navier-Stokes em formulações alternativas. Obter parâmetros ótimos do multigrid para as equações de Navier-Stokes em formulações alternativas.

22 Agradecimentos -A Agencia Espacial Brasileira – AEB pelo suporte financeiro -Laboratório de Experimentação Numérica (LENA) do Demec/UFPR; -Prof. Marchi -Meus amigos do LENA.


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