Disciplina Análise de Algoritmos Bacharelado em CC

Apresentação em tema: "Disciplina Análise de Algoritmos Bacharelado em CC"— Transcrição da apresentação:

1 Disciplina Análise de Algoritmos Bacharelado em CC
Algoritmo de Kruskal Disciplina Análise de Algoritmos Bacharelado em CC

2 Algoritmo de Kruskal Utiliza o arcabouço geral do método guloso para MST, com os seguintes detalhes: O conjunto inicial X0 é um subgrafo com |V| vértices isolados e nenhuma aresta. A cada etapa k : O corte (S,V-S) só deve satisfazer a propriedade de “respeitar” o Xk-1, isto é, cada aresta de Xk-1 tem seus dois vértices do mesmo lado do corte. Nenhuma aresta de Xk-1 atravessa o corte. Não necessariamente um lado do corte contém TODAS as arestas de Xk-1, como no algoritmo PRIM.

3 Exemplo de Aplicação de Kruskal
Considere o seguinte grafo G Etapa 0 : X0 é o subgrafo X0 = (V,E) onde V = {a,b,c,d,e,f,g,h,i} e E =  Lembre que : No algoritmo de PRIM, na etapa 0, X0 = (V,E), onde V = , E = 

4 Etapa 1 Considera a aresta de menor custo {h,g} ligando duas componentes conexas h e g distintas ! X1 = {h-g}

5 Etapa 2 X1 = {h-g} Considera a 2a aresta de menor custo {i,c} – ligando duas componentes conexas distintas i e c X2 = {h-g,i-c}

6 Etapa 3 X2 = {h-g,i-c} Considera a 3a aresta de menor custo {g,f} – ligando duas componentes conexas distintas {h-g} e {f} X3 = {h-g,i-c,g-f}

7 Etapa 4 X3 = {h-g,i-c,g-f} Considera a 4a aresta de menor custo {a,b}, ligando as componentes conexas distintas {a} e {b} X4 = {h-g,i-c,g-f,a-b}

8 Etapa 5 X4 = {h-g,i-c,g-f,a-b} Considera a 5a aresta de menor custo {c,f}, ligando duas componentes conexas distintas X5 = {h-g,i-c,g-f,a-b,c-f}

9 Etapa 6 X5 = {h-g,i-c,g-f,a-b,c-f}
Considera a 6a aresta de menor custo {c,d} ligando duas componentes conexas distintas. Repare que a aresta i-g liga vértices da mesma componente conexa de X6, logo não pode ser considerada, embora seja de menor custo !

10 Resultado final Exercicio: continue as demais etapas a partir da sétima até chegar neste resultado final.

11 Justificando a corretude do Algoritmo de Kruskal
Considere o seguinte grafo G Etapa 0 : X0 é o subgrafo X0 = (V,E) onde V = {a,b,c,d,e,f,g,h,i} e E =  Corte S = { } , V – S = V Lembre que : No algoritmo de PRIM, na etapa 0, X0 = (V,E), onde V = , E = 

12 Etapa 1 Considera a aresta de menor custo {h,g}
Corte: S = {h}, V- S = {a,b,c,d,e,f,g,i} S contém os vértices das arestas de X0 (nenhum vértice !) X1 = {h-g}

13 Etapa 2 Considera a 2a aresta de menor custo {i,c}
X1 = {h-g} Considera a 2a aresta de menor custo {i,c} Corte: S = {h,g,i}, S contém os vértices das arestas de X1 X2 = {h-g,i-c}

14 Etapa 3 Considera a 3a aresta de menor custo {g,f}
X2 = {h-g,i-c} Considera a 3a aresta de menor custo {g,f} Corte: S = {h,g} V- S = {i,c,d,e,f,a,b}, cada aresta de X2 está contida em S ou em V-S. X3 = {h-g,i-c,g-f}

15 Etapa 4 Considera a 4a aresta de menor custo {a,b}
X3 = {h-g,i-c,g-f} Considera a 4a aresta de menor custo {a,b} Corte: S = {h,g,f,a} V- S = {i,c,d,e,b}, cada aresta de X3 está contida em S ou em V-S. X4 = {h-g,i-c,g-f,a-b}

16 Etapa 5 Considera a 5a aresta de menor custo {c,f}
X4 = {h-g,i-c,g-f,a-b} Considera a 5a aresta de menor custo {c,f} Corte: S = {h,g,f,a,b}, V- S = {i,c,d,e} X5 = {h-g,i-c,g-f,a-b,c-f}

17 Etapa 6 X5 = {h-g,i-c,g-f,a-b,c-f}
Considera a 6a aresta de menor custo {c,d} Corte: S = {h,g,i,c,a,b,f}, V-S = {d,e} X6 = {h-g,i-c,g-f,a-b,c-f,c-d} Repare que a aresta i-g liga vértices da mesma componente conexa de X6, logo não pode ser considerada, embora seja de menor custo !

18 Algoritmo de Kruskal 1. X = grafo (V,) 2. Para cada vértice v ∈ V
Makeset(v) ; % transforma cada vértice isolado é uma componente conexa de X 4. Ordena as arestas de G em ordem crescente de custo 5. Para cada aresta (u,v) de G, considerando a ordem crescente de custo Se Find(u)  Find(v) % no máximo |V| - 1 vezes X = X  {(u,v)} Union(Find(u), Find(v) 9. Retorna X Esquema Geral: |V|.makeset + O(|E|.log(|E|) + |E|.(Find) + (|V| - 1) (Union)

19 Análise da Complexidade
Esquema Geral: |V|.makeset + O(|E|.log(|E|) + |E|.(Find) + (|V| - 1) (Union) A complexidade depende da implementação das operações de conjunto: Makeset, Find, Union Implementação de Find e Union utilizando representação de conjuntos por árvores e ranks em cada nó da árvore : log(|V|) Complexidade = |V|.O(1)+ O(|E|.log(|E|) + O(|E|+|V|).(log(|V|)) Pior caso |E| = |V|2 : O( log(|E|) = O( log(|V) ) Complexidade = O( |V|2 log(|V| ) Ver prova nos slides seguintes

20 Representação de conjuntos como àrvores
Como representar um conjunto {A1,..., An} por uma árvore ? Exemplo: {A,B,C,D,E,F,G} Passo 0: Constrói, para cada elemento X, uma árvore de um único elemento (raiz) X0 de rank 0. A0 B0 C0 D0 E0 F0 G0 Passos 1, 2 e 3: union(A,B), union(C,D), union(E,F), resultando em 4 árvores: B1 D1 F1 G0 A0 C0 E0 union(A,B) union(C,D) union(E,F)

21 Passos 4 e 5: union(B,D), union(F,G) : resultado 2 árvores
C0 A0 union(B,D) union(F,G) Passo 6 : union(D,F) D2 B1 F1 C0 A0 E0 G0 Representação de {A,B,C,D,E,F,G} em árvore

22 Representantes de Conjuntos
O representante oficial de uma árvore é a sua raiz. Assim, a árvore D2 B1 C0 A0 tem como representante oficial a raiz D. Também pode-se se referir a esta árvore através de qualquer de seus nós. Por exemplo, a árvore da figura pode ser referida por “A”. Mas seu representante oficial é D. Operação Find(A): retorna o representante oficial da árvore contendo o nó A = D Se rank D é k então Find(A) executa no máximo k passos para chegar até a raiz D.

23 Operações Find e Makeset
Makeset(x) pai(x) = x rank(x) = 0 Complexidade de Makeset = O(1) Find(x) While x  pai(x) x = pai(x) Retorna x Complexidade de Find(x) = O(k), onde k = profundidade da árvore contendo x = rank da raiz desta árvore Observação: a raiz de uma árvore é o único nó que é seu próprio pai.

24 Operação Union Union(x,y) Rx = Find(x) Ry = Find(y)
Se Rx = Ry: retorna x Se rank(Rx) > rank(Ry) pai(Ry) = Rx Else Pai(Rx) = Ry Se rank(Rx) = rank(Ry) rank(Ry) = Rank(Ry) + 1

25 Complexidade das operações Find e Union
Qual a relação entre o número n de elementos de uma árvore e a sua profundidade k ? Vamos mostrar k ≤ log2(n) Propriedade 1: Para todo x (diferente da raiz), rank(x) < rank(pai(x)) Propriedade 2: Qualquer nó de rank k tem no mínimo 2k descendentes. Prova: por indução sobre k Base da indução: k = 0. Neste caso o único descendente é o próprio nó. Portanto número de descendentes = 1 = 20 Passo da indução: Suponha o resultado verdadeiro para rank = k-1 e seja x um nó de rank k > 0. Neste caso, a árvore de x foi obtida juntando-se duas árvores de raiz u e raiz v de mesmo rank k-1. Logo o número de descendentes de x = número de descendentes de u + número de descendentes de v ≤ 2k-1 + 2k-1 = 2. 2k-1 = 2k

26 Complexidade das operações Find e Union
Qual a relação entre o número n de elementos de uma árvore e a sua profundidade k ? Considere uma árvore de n elementos com raiz x de rank k Então k = profundidade da árvore Pela propriedade 2, temos que n ≥ 2k Logo: log2(n) ≥ k Portanto : k ≤ log2(n) Portanto a complexidade de Find e Union é O(log(n)), uma vez que todas as árvores têm profundidade máxima log2(n)