Capitulo 10: Teoria das Filas

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1 Capitulo 10: Teoria das Filas
10.4 Sistema de uma fila com população infinita e vários canais No sistema em que existe mais de um “atendente” (canal), as equações se diferenciam também dos sistemas anteriores. Vamos considerar as seguintes premissas nesse sistema: “S” é o número de canais de serviços no sistema A população é infinita O ritmo de serviço é S*μ λ < S*μ Na página seguinte, veremos as principais equações do sistema

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Nome Descrição Fórmula ρ Taxa de utilização ρ = λ / μ P0 Probabilidade de haver 0 cliente no sistema P0=1/(∑S-1j=0 ρj / j! + (ρS / ((S-1)!*(S-ρ)))) Pn Probabilidade de haver n clientes no sistema (Para n<S) Pn= ρn * P0/n! Probabilidade de haver n clientes no sistema (Para n≥S) Pn= ρn * 1/(S!*Sn-S)* P0 Pocup.total Probabilidade de que todos os canais estejam ocupados(n≥S) Pocup.total = P0 * ρS / ((S-1)!*(S-ρ)) NF Número médio de clientes na fila NF= Pocup.total * ρ / (S-ρ) NS Número médio de clientes no sistema NS= NF + ρ TF Tempo médio de espera na fila TF= NF * 1/ λ TS Tempo médio gasto no sistema TS= NS * 1/ λ

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Exercício Fonte: Andrade, E (2009) Uma empresa dispõe de grandes linhas de produção, composta de equipamentos eletrônicos, que se danificam a uma média de 8 por semana, segundo a distribuição de Poisson. Cada equipamento danificado corresponde a uma máquina parada. Cada máquina parada custa $2.200 por dia. A semana tem 5 dias úteis e o ano possui 52 semana. A empresa possui duas opções de investimentos para montar uma seção de reparos Opção A: Adquirir uma bancada de teste cujo investimento (anualizado) corresponde a $ e cujas despesas anuais somam $ (salários e demais gastos de operação). Com essa bancada, a seção conseguirá reparar em média 10 circuitos eletrônicos por semana. Opção B: Aquisição de duas bancadas iguais à opção A Qual a melhor opção?

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Solução Exercício 10.4 λ = 8 μ = 10 ρ = 8/10 = 0,8 Opção A: O custo total é a soma dos custos de aquisição e operação da bancada mais o custo relativo ao numero médio de máquinas paradas (NS) NS = λ / (μ - λ ) = 8/(10-8)= 4 máquinas por semana Custo anual das máquinas paradas = 4máquinas * 5dias * 52semanas * $2.200 = $ Custo anual total = = $ Opção B: O custo total é a soma dos mesmos três custos da opção anterior, porem seus valores agora são diferentes: Custo anualizado da aquisição: 2 * = $ Custo anual de operação: 2* = $ Custo anual das máquinas paradas, para dois canais: S=2 NS= NF + ρ Onde: NF= Pocup.total * ρ / (S-ρ) Onde: Pocup.total = P0 * ρS / ((S-1)!*(S-ρ)) Onde: P0=1/(∑S-1j=0 ρj / j! + (ρS / ((S-1)!*(S-ρ))))

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Para P0=1/(∑S-1j=0 ρj / j! + (ρS / ((S-1)!*(S-ρ)))) Temos ∑2-1j=0 ρj / j! = (0,80 / 0!) + (0,81 / 1!) = 1+0,8 = 1,8 ρS / ((S-1)!*(S-ρ))= 0,8 2 / ((2-1)!*(2-0,8)) = 0,64/(1*1,2) = 0,5333 Logo P0 = 1/(1,8+0,533) = 0,42857 Para Pocup.total = P0 * ρS / ((S-1)!*(S-ρ)) Temos Pocup.total = 0,42857* 0,82 / ((2-1)!*(2-0,8)) Pocup.total = 0,228 Para NF= Pocup.total * ρ / (S-ρ) Temos NF= 0,228 * 0,8 / (2-0,8) = 0,152 Para NS= NF + ρ Temos NS= 0, ,8 = 0,952 Logo, o custo anual das máquinas paradas = 0,952máq.*5dias*52sem*$2.200 = $ Custo anual total = = $ Melhor opção: B