Capitulo 10: Teoria das Filas

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1 Capitulo 10: Teoria das Filas
Exercícios Exceto quando citado diferente, a fonte dos exercícios é o livro: Teoria das filas e da simulação, Darci Prado (2006) 10.1 Uma empresa deseja contratar um reparador para efetuar manutenção em suas máquinas que estragam a um ritmo de 3 falhas por hora. Para tal possui duas opções, um reparador lento, que é capaz de concertar a um ritmo de 4 falhas por hora ou um reparador rápido que é capaz de concertar a um ritmo de 6 falhas por hora. O salário hora do reparador lento é de $ 3,00 e do reparador rápido é de $ 5,00. Qual a contratação deve ser efetuada para que o custo total (reparador mais maquinas paradas) seja o mínimo? Sabe-se que uma maquina parada implica em um custo horário de $ 5,00 10.2 Pessoas chegam a uma bilheteria de um teatro a um ritmo de 25 por hora. O tempo médio de atendimento da bilheteria é de 2 minutos. Calcule: a) Tamanho da fila b) Tempo médio de espera c) Fração de tempo que a bilheteria não trabalha 10.3 Em um sistema de filas seqüenciais no qual as peças fluem para a linha de produção, temos: λ1= 10; λ2= 5; μ1= 15; μ2= 30; μ3= 20 Calcule a) NF, TF, NS e TS para cada servidor b) NS e TS para o sistema como um todo

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λ 1 μ 1 μ 3 λ 3 λ 2 μ 2 10.4 (Fonte: Andrade, L – 2009) Um sistema de uma fila e um canal está com sobrecarga de trabalho. Após analise estatística, o analista de Pesquisa Operacional descobriu que a média de chegada de clientes ao sistema é de 30 por hora. O atendente tem capacidade de atender somente 20 clientes por hora.Desta forma, ele está planejando criar mais uma seção de atendimento igual a primeira e passar a operar com dois canais e uma fila somente. Para essa nova situação, calcule: a) O tempo médio que o cliente fica na fila; b) O número médio de clientes na fila

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Exercícios – Solução Exercício 10.1 NS=? Reparador lento NS= λ / (μ – λ) = 3 / (4-3)= 3 máquinas Custo Total: 3*5 + 3 = $18,00 Reparador rápido NS= λ / (μ – λ) = 3 / (6-3)= 1 máquinas Custo Total: 1*5 + 5 = $10,00 Melhor contratar o reparador rápido Exercício 10.2 λ = 25 clientes por hora μ = 1/TA = 1/ (2/60) => μ = 30 a) Tamanho da fila NF= λ² / (μ*(μ - λ)) = 25² / (30*(30-25))= 4,16 b) Tempo médio de espera TF= λ / (μ*(μ - λ))= 25 / (30*(30-25))= 0,167

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Exercícios – Solução c) Fração de tempo que a bilheteria não trabalha P(n)= (λ / μ)n * ((μ - λ) / μ)= P(0)=(25/30)0 *((30-25)/30)= 17% Exercício 10.3 a) λ3 = ? λ3 = λ1 + λ2 = 10+5 = 15 NF1= λ² / (μ*(μ - λ))= 10² / (15*(15-10)= 1,33 NF2= 5² / (30*(30-5)=0,033 NF3= 15² / (20*(20-15)) = 2,25 NS1= λ / (μ - λ)= 10/(15-10)=2 NS2= 5/(30-5)=0,2 NS3= 15/(20-15) = 3 TF1= NF1/ λ = 1,33/10 = 0,133 TF2= NF2/ λ = 0,033/5 = 0,007 TF3= NF3/ λ = 2,25/15 = 0,15 TS1= NS1/ λ = 2/10 = 0,2 TS2= NS2/ λ = 0,2/5 = 0,04 TS3= NS3/ λ = 3/15 = 0,2

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Exercícios – Solução b) Para o sistema como um todo, temos NS total = NS1 + NS2 + NS3 = 2+ 0,2+ 3 NS total = 5,2 TS = ? Para servidor 1: TS total = TS1+TS3 = 0,2 + 0,2 TS total = 0,4 Para servidor 2: TS total = TS2+TS3 = 0,04 + 0,2 TS total = 0,24

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Solução Exercício 10.4 λ = 30 clientes por hora μ = 20 clientes por hora ρ = λ / μ = 30/20 = 1,5 S= 2 a) Tempo médio do cliente na fila TF= NF * 1/ λ Onde: NF= Pocup.total * ρ / (S-ρ) Onde: Pocup.total = P0 * ρS / ((S-1)!*(S-ρ)) Onde: P0=1/(∑S-1j=0 ρj / j! + (ρS / ((S-1)!*(S-ρ)))) Para P0=1/(∑S-1j=0 ρj / j! + (ρS / ((S-1)!*(S-ρ)))) Temos ∑2-1j=0 ρj / j! = (1,50 / 0!) + (1,51 / 1!) = 1+1,5 = 2,5 ρS / ((S-1)!*(S-ρ))= 1,5 2 / ((2-1)!*(2-1,5)) = 2,25/(1*0,5) = 4,5 Logo P0 = 1/(2,5+4,5) = 0,142857

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Para Pocup.total = P0 * ρS / ((S-1)!*(S-ρ)) Temos Pocup.total = 0,142857*1,52 / ((2-1)!*(2-1,5)) Pocup.total = 0,643 Para NF= Pocup.total * ρ / (S-ρ) Temos NF= 0,643 * 1,5 / (2-1,5) = 1,929 Para TF= NF * 1/ λ Temos TF= 1,929* 1/30= 0,0643 Logo: TF= 0,0643 b) Numero médio de clientes na fila Logo: NF= 1,929 cliente