CIÊNCIA E ENG MATERIAIS

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1 CIÊNCIA E ENG MATERIAIS
DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS Uma direção cristalográfica é definida como uma linha entre dois pontos ou um vetor. 1. Um vetor com comprimento conveniente é posicionado tal que ele passe através da origem do sistema de coordenadas. 2. Os comprimentos das projeções do vetor sobre cada um dos três eixos são determinados. 3.Esses três números são multiplicados ou divididos por um fator comum, para reduzi-los aos menores valores inteiros. 4. Os três índices, não separados por vírgulas, são colocados entre colchetes quadrados: [uvw]

2 CIÊNCIA E ENG MATERIAIS
DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS Para cada um dos três eixos, irão existir tanto coordenadas positivas como negativas. Assim, índices negativos são possíveis e são representados pela colocação de uma barra sobre o índice apropriado. Por exemplo [1 1 1] teria uma componente na direção – y. A mudança dos sinais de todos os índices produz uma direção antiparalela, isto é, a direção [ ] é diretamente oposta à direção [1 1 1]

3 CIÊNCIA E ENG MATERIAIS
DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS Na célula abaixo são mostradas as direções [100], [110] e [111]. Callister, J. W. D., Ciência e engenharia de materiais: uma introdução, LTC, 7ª Ed, 2008

4 CIÊNCIA E ENG MATERIAIS
DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS Determine os índices para a direção mostrada na figura abaixo: Callister, J. W. D., Ciência e engenharia de materiais: uma introdução, LTC, 7ª Ed, 2008

5 CIÊNCIA E ENG MATERIAIS
DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS 2) Esboce uma direção [1 1 0] no interior de uma célula unitária cúbica.

6 CIÊNCIA E ENG MATERIAIS
DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS 2) Esboce uma direção [1 1 0] no interior de uma célula unitária cúbica. Callister, J. W. D., Ciência e engenharia de materiais: uma introdução, LTC, 7ª Ed, 2008

7 CIÊNCIA E ENG MATERIAIS
DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS Para algumas estruturas cristalinas, várias direções não-paralelas com índices diferentes são, na realidade, equivalentes. Isto significa que o espaçamento entre os átomos ao longo de cada direção é o mesmo. Por exemplo, nos cristais cúbicos, todas as direções representadas pelos seguintes índices são equivalentes: [100], [ 1 00], [010], [0 1 0], [001] e [00 1 ].

8 CIÊNCIA E ENG MATERIAIS
DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS Por conveniência, as direções equivalentes são agrupadas como uma família, que é representada entre colchetes angulados: <100>. Adicionalmente, nos cristais cúbicos, as direções que possuem índices iguais, independentemente da ordem em que esses índices aparecem ou dos seus sinais, como, por exemplo, [123] e [ ], são equivalentes.

9 CIÊNCIA E ENG MATERIAIS
DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS Cristais hexagonais Quando consideramos cristais com simetria hexagonal, algumas direções cristalográficas equivalentes não terão o mesmo conjunto de índices. Isto é resolvido com a utilização de um sistema de coordenadas com 4 eixos, ou de Miller-Bravais.

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DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS Sistema de eixos coordenados para uma célula unitária hexagonal (Sistema de Miller-Bravais) Callister, J. W. D., Ciência e engenharia de materiais: uma introdução, LTC, 7ª Ed, 2008

11 CIÊNCIA E ENG MATERIAIS
DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS Os três eixos a1, a2 e a3 estão todos contidos em um único plano (chamado de plano basal) e forma ângulos de 120º entre si. O eixo z é perpendicular a esse plano basal. Callister, J. W. D., Ciência e engenharia de materiais: uma introdução, LTC, 7ª Ed, 2008

12 CIÊNCIA E ENG MATERIAIS
DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS Os índices de direção serão representados por quatro índices, no formato [uvtw]; por convenção, os três primeiros índices são relativos às projeções ao longo dos respectivos eixos a1, a2 e a3 no plano basal. A conversão do sistema com três índices para o sistema com quatro índices é dada por: [u´v´w´]  [uvtw]

13 CIÊNCIA E ENG MATERIAIS
DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS 𝑢= 1 3 (2𝑢´−𝑣´) 𝑣= 1 3 (2𝑣´−𝑢´) 𝑡=−(𝑢+𝑣) 𝑤=𝑤´ Os índices com “linha” estão associados ao sistema com três índices e os índices “sem linha” estão associados ao novo sistema de Miller-Bravais.

14 CIÊNCIA E ENG MATERIAIS
DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS Por exemplo, a direção [010] se torna [ ]. Callister, J. W. D., Ciência e engenharia de materiais: uma introdução, LTC, 7ª Ed, 2008

15 CIÊNCIA E ENG MATERIAIS
DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS 3) Determine os índices para a direção mostrada na célula unitária hexagonal da figura abaixo: Callister, J. W. D., Ciência e engenharia de materiais: uma introdução, LTC, 7ª Ed, 2008

16 CIÊNCIA E ENG MATERIAIS
DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS A projeção do vetor da direção sobre os eixos a1, a2 e z, são respetivamente a, a e c, que se tornam 1, 1 e 1. Logo: u´ = 1, v´ = 1, w´= 1 Callister, J. W. D., Ciência e engenharia de materiais: uma introdução, LTC, 7ª Ed, 2008

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DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS 𝑢= 1 3 (2𝑢´−𝑣´) = 1 3 𝑣= 1 3 2𝑣´−𝑢´ = 1 3 𝑡=−(𝑢+𝑣) = − 2 3 𝑤=𝑤´ = 1 Assim, a direção mostrada na figura é [11 2 3].

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DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS 4) Desenhe uma célula ortorrômbica, e no interior dessa célula represente uma direção [2 1 1]. 5) Desenhe uma célula monoclínica, e no interior dessa célula represente uma direção [ 1 01].

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6) Quais são os índices para as direções indicadas pelos dois vetores na figura abaixo? Callister, J. W. D., Ciência e engenharia de materiais: uma introdução, LTC, 7ª Ed, 2008

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DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS 7) No interior de uma célula unitária cúbica, desenhe as seguintes direções: [101] [211] [10 2 ] [3 1 3] [ ] [ 2 12] [3 1 2]

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8) Determine os índices para as direções que estão mostradas na seguinte célula unitária cúbica: Callister, J. W. D., Ciência e engenharia de materiais: uma introdução, LTC, 7ª Ed, 2008

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9) Determine os índices para as direções que estão mostradas na seguinte célula unitária cúbica: Callister, J. W. D., Ciência e engenharia de materiais: uma introdução, LTC, 7ª Ed, 2008

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10) Converta as direções [110] e [00 1 ] ao sistema de quatro índices de Miller-Bravais para células unitárias hexagonais. 11) Determine os índices para as direções que estão mostradas na seguinte célula unitária cúbica: Callister, J. W. D., Ciência e engenharia de materiais: uma introdução, LTC, 7ª Ed, 2008