Produto Escalar Definição Propriedades Definição Geométrica

Apresentação em tema: "Produto Escalar Definição Propriedades Definição Geométrica"— Transcrição da apresentação:

1 Produto Escalar Definição Propriedades Definição Geométrica Ângulos Diretores e Cossenos Diretores Projeção de um vetor em uma dada direção

2 Produto Escalar Definição Dados dois vetores na base ortonormal
O produto escalar: Exemplo: Determine o produto escalar entre u e v. Obs: Para calcular-se o produto escalar é necessário que ambos os vetores sejam conhecidos. O produto escalar é representado por ou < , >. O resultado é um valor real positivo, negativo ou nulo.

3 Propriedades Comutativa 2. 3. Distributiva 4. Módulo de um vetor.
5. Ângulo entre dois vetores

4 Definição Geométrica 5. Ângulo entre dois vetores Portanto o ângulo entre os vetores Relações métricas em um triângulo qualquer. Lei dos Cossenos: Consequencia: Se u e v diferentes de zero, então u.v=0 se e somente se q=p/2 ou u é perpendicular a v

5 Exemplo: Dados os vetores u=(3,5) e v=(-2,4), na base ortornormal determine o ângulo entre u e v. x y Dados os vetores u=(2,3,3) e v=(1,-2,4), na base ortornormal determine o ângulo entre u e v. x y z

6 Ângulos Diretores e Cossenos Diretores
z x y Considerando-se a base ortonormal e o vetor uK0, a,b,g são os respectivos ângulos diretores entre u e os respectivos versores da base Calculando-se: Lembrado: São os cossenos diretores de u.

7 Proposições: 1. Prova: 2. As coordenadas de um versor são os seus cossenos diretores

8 Exemplo: Dado o vetor v=(1,-1,0) na base ortonormal : Determine os cossenos e os ângulos diretores de v. Determine a o versor b) A partir dos cossenos diretores: R: a) x y z

9 Projeção de um vetor em uma dada direção
Dado um vetor u, na base ortornormal (i,j), o módulo da projeção do vetor no eixo x (direção i) corresponde ao cateto adjacente ao ângulo q mostrado na figura à direita. x y Desta forma, o vetor projeção fica: Podendo-se escrever da seguinte forma, lê-se Projeção de u na direção i. Utilizando-se o produto escalar entre u e o vetor unitário da direção x (i) tem-se: Comparando-se os resultados conclui-se que: A projeção de um vetor em uma dada direção nada mais é do que o produto escalar deste vetor com o vetor unitário da direção vezes o vetor unitário da direção.

10 Desta forma, para se determinar a projeção do vetor v na direção do vetor u basta:
Determinar o vetor unitário da direção de u; Calcular o produto escalar deste vetor unitário com o vetor v; Finalmente multiplicar-se o resultado pelo vetor unitário da direção de u. x y 1. 2. 3. Rigorosamente:

11 Exemplo: dados u=(1,2,1) e v=(2,1,0) na base ortonormal (i,j,k), determine:

12 E´o Fim E´o Fim P e r g u n t a s?