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André Luis Lapolli Álgebra Linear e Vetores Produto Escalar Produto Escalar Definição Definição Propriedades Propriedades Definição Geométrica Definição.

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1 André Luis Lapolli Álgebra Linear e Vetores Produto Escalar Produto Escalar Definição Definição Propriedades Propriedades Definição Geométrica Definição Geométrica Ângulos Diretores e Cossenos Diretores Ângulos Diretores e Cossenos Diretores Projeção de um vetor em uma dada direção Projeção de um vetor em uma dada direção

2 André Luis Lapolli Álgebra Linear e Vetores Produto Escalar André Luis Lapolli Álgebra Linear e Vetores Produto Escalar Produto Escalar Definição Obs: a)Para calcular-se o produto escalar é necessário que ambos os vetores sejam conhecidos. b)O produto escalar é representado por ou. c)O resultado é um valor real positivo, negativo ou nulo. Dados dois vetores na base ortonormal O produto escalar: uv Exemplo: Determine o produto escalar entre u e v.

3 André Luis Lapolli Álgebra Linear e Vetores Produto Escalar André Luis Lapolli Álgebra Linear e Vetores Produto Escalar 5. Ângulo entre dois vetores 1.Comutativa 3. Distributiva 4. Módulo de um vetor. 2. Propriedades

4 André Luis Lapolli Álgebra Linear e Vetores Produto Escalar André Luis Lapolli Álgebra Linear e Vetores Produto Escalar 5. Ângulo entre dois vetores Relações métricas em um triângulo qualquer. Lei dos Cossenos: Portanto o ângulo entre os vetores Consequencia: uv uvu v Se u e v diferentes de zero, então u.v=0 se e somente se = /2 ou u é perpendicular a v Definição Geométrica

5 André Luis Lapolli Álgebra Linear e Vetores Produto Escalar André Luis Lapolli Álgebra Linear e Vetores Produto Escalar Exemplo: uv uv Dados os vetores u=(3,5) e v=(-2,4), na base ortornormal determine o ângulo entre u e v. x y uv uv Dados os vetores u=(2,3,3) e v=(1,-2,4), na base ortornormal determine o ângulo entre u e v. x y z

6 André Luis Lapolli Álgebra Linear e Vetores Produto Escalar André Luis Lapolli Álgebra Linear e Vetores Produto Escalar Calculando-se: u São os cossenos diretores de u. Ângulos Diretores e Cossenos Diretores Ângulos Diretores e Cossenos Diretores x y z u u Considerando-se a base ortonormal e o vetor u K 0, são os respectivos ângulos diretores entre u e os respectivos versores da base Lembrado:

7 André Luis Lapolli Álgebra Linear e Vetores Produto Escalar André Luis Lapolli Álgebra Linear e Vetores Produto Escalar Proposições: 1. Prova: 2. As coordenadas de um versor são os seus cossenos diretores

8 André Luis Lapolli Álgebra Linear e Vetores Produto Escalar André Luis Lapolli Álgebra Linear e Vetores Produto Escalar Exemplo: Dado o vetor v=(1,-1,0) na base ortonormal : a)Determine os cossenos e os ângulos diretores de v. b)Determine a o versor. x y z b) A partir dos cossenos diretores: R: a)

9 André Luis Lapolli Álgebra Linear e Vetores Produto Escalar André Luis Lapolli Álgebra Linear e Vetores Produto Escalar Projeção de um vetor em uma dada direção Projeção de um vetor em uma dada direção x y ij i Dado um vetor u, na base ortornormal (i,j), o módulo da projeção do vetor no eixo x (direção i) corresponde ao cateto adjacente ao ângulo mostrado na figura à direita. u i Utilizando-se o produto escalar entre u e o vetor unitário da direção x (i) tem-se: Comparando-se os resultados conclui-se que: A projeção de um vetor em uma dada direção nada mais é do que o produto escalar deste vetor com o vetor unitário da direção vezes o vetor unitário da direção. Desta forma, o vetor projeção fica: Podendo-se escrever da seguinte forma, i lê-se Projeção de u na direção i.

10 André Luis Lapolli Álgebra Linear e Vetores Produto Escalar André Luis Lapolli Álgebra Linear e Vetores Produto Escalar x y v u Desta forma, para se determinar a projeção do vetor v na direção do vetor u basta: u 1.Determinar o vetor unitário da direção de u; v 2.Calcular o produto escalar deste vetor unitário com o vetor v; u 3.Finalmente multiplicar-se o resultado pelo vetor unitário da direção de u Rigorosamente:

11 André Luis Lapolli Álgebra Linear e Vetores Produto Escalar André Luis Lapolli Álgebra Linear e Vetores Produto Escalar uvijk Exemplo: dados u=(1,2,1) e v=(2,1,0) na base ortonormal (i,j,k), determine: a) b) a) b)

12 André Luis Lapolli Álgebra Linear e Vetores Produto Escalar André Luis Lapolli Álgebra Linear e Vetores Produto Escalar


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