Aula 5 ENGENHARIA DA QUALIDADE INTEGRADA ESTATÍSTICA EM GESTÃO

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Probabilidade Histogramas Conceito Como construir e Interpretar Histogramas Medidas para representar as características de distribuição Distribuição Normal e Suas Características Aplicação – Exemplos práticos Exercícios de fixação.

Conceitos básicos de probabilidade
Seção 3.1 Conceitos básicos de probabilidade

Objetivos da Seção 3.1 Identificar o espaço amostral de um experimento de probabilidade Identificar eventos simples Usar o princípio fundamental da contagem Distinguir probabilidade clássica, empírica e subjetiva Determinar a probabilidade dos complementos de um evento Usar um diagrama de árvore e o princípio fundamental da contagem para encontrar probabilidades

Experimentos de probabilidade
Experimento de probabilidade Uma ação, ou tentativa, através da qual resultados específicos (contagens, medidas ou respostas) são obtidos. Resultado O resultado de um único teste em um experimento de probabilidade. Espaço de amostra O conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento de probabilidade. Evento Consiste de um ou mais resultados e é uma divisão do espaço de amostra.

Experimento de probabilidade: Jogar um dado
Resultado: {3} Espaço de amostra: {1, 2, 3, 4, 5, 6} Evento: {O resultado é par}={2, 4, 6}

Exemplo: identificando o espaço amostral
Um experimento de probabilidade consiste em jogar uma moeda e depois rolar um dado de seis lados. Descreva o espaço amostral. Solução: Existem dois possíveis resultados quando se joga uma moeda: cara (A) ou coroa (B). Para cada um deles, há mais seis possíveis resultados quando se rola um dado: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Um meio de listar resultados para ações em sequência é usar um diagrama de árvore.

Solução: identificando o espaço amostral
Diagrama de árvore: A1 A2 A3 A4 A5 A6 B1 B2 B3 B4 B5 B6 O espaço amostral possui 12 resultados: {A1, A2, A3, A4, A5, A6, B1, B2, B3, B4, B5, B6}

Evento simples Evento simples
Um evento que consiste de um único resultado Ex.: “Tirar cara na moeda e rolar um 3” {A3} Um evento que consiste de mais de um resultado não é um evento simples Ex.: “Tirar cara na moeda e rolar um número par” {A2, A4, A6}

Exemplo: identificando evento simples
Determine se o evento é simples ou não. Você rola um dado de seis lados. O evento B é rolar pelo menos um 4 Solução: Não é simples (o evento B tem três possíveis resultados: 4 ou 5 ou 6).

Princípio fundamental da contagem
Se um evento pode ocorrer de m maneiras e um segundo evento pode ocorrer de n maneiras, o número de maneiras que os dois eventos podem ocorrer em sequência é m*n Pode ser estendido para qualquer número de eventos ocorrendo em sequência

Exemplo: princípio fundamental da contagem
Você está comprando um carro novo. As possíveis montadoras, tamanhos de carro e cores são listadas. Montadoras: Ford, GM, Honda Tamanho: compacto, médio Cores: branco (B), vermelho (V), preto (P), amarelo (A) De quantos modos diferentes você pode escolher uma montadora, um tamanho de carro e uma cor? Use um diagrama de árvore para verificar seus resultados.

Solução: princípio fundamental da contagem
Há três escolhas de montadoras, dois tamanhos de carro e quatro cores. Usando o princípio fundamental da contagem: 3 ∙ 2 ∙ 4 = 24 maneiras

Tipos de probabilidade
Probabilidade clássica Cada resultado em uma amostragem é igualmente provável

Exemplo: encontrando probabilidades clássicas
Você rola um dado de seis lados. Encontre a probabilidade de cada evento. Evento A: rolar um 3 Evento B: rolar um 7 Evento C: rolar um número menor que 5 Solução: Espaço amostral: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Solução: encontrando probabilidades clássicas

Probabilidade empírica (estatística) Baseado nas observações obtidas de experimentos de probabilidade Frequência relativa de um evento

Exemplo: encontrando probabilidade empírica
Uma empresa está conduzindo uma pesquisa on-line com indivíduos selecionados aleatoriamente para determinar se o congestionamento no trânsito é um problema em sua comunidade. Até agora, 320 pessoas responderam à pesquisa. A distribuição de frequência mostra os resultados. Qual é a probabilidade de que a próxima pessoa que responda a essa pesquisa diga que o congestionamento é um problema sério em sua comunidade? Resposta Número de vezes, f Problema sério 123 Problema moderado 115 Não é problema 82 Σf = 320

Solução: encontrando probabilidade empírica
Resposta Número de vezes, f Problema sério 123 Problema moderado 115 Não é problema 82 Σf = 320 evento frequência

Lei dos grandes números
Lei dos grandes números Conforme um experimento é repetido, a probabilidade empírica de um evento se aproxima da probabilidade teorética (real) do evento.

Probabilidade subjetiva Intuição, palpites e estimativas Ex.: um médico pode achar que um paciente tem 90% de chance de se recuperar completamente.

Exemplo: classificando tipos de probabilidade
Classifique a afirmação como um exemplo de probabilidade clássica, empírica ou subjetiva. A probabilidade que você esteja casado aos 30 anos é 0,50. Solução: Probabilidade subjetiva (mais provavelmente um palpite).

Classifique a afirmação como um exemplo de probabilidade clássica, empírica ou subjetiva.
A probabilidade de um votante aleatório escolher certo candidato é 0,45. Solução: Probabilidade empírica (mais provavelmente baseado em uma pesquisa).

Classifique a sentença como um exemplo de probabilidade clássica, empírica ou subjetiva.
A probabilidade de ganhar em uma rifa com bilhetes comprando um bilhete é Solução: Probabilidade clássica (resultados igualmente prováveis).

Histórico do Histograma
André Michel Guerry nasceu em 1802 na França, era um advogado e estudioso da estatística. Os Histogramas foram apresentados pela primeira vez por A. M. GUERRY, em 1833, para descrever sua análise estatísticas sobre crimes contra a população em Paris. Faleceu em 1866.

Histórico do Histograma

Vantagens do Histograma
Trabalha com amostras e permite um menor custo e tempo Determinamos de forma rápida qual o comportamento da população Entender a população de uma forma clara e objetiva.

Histograma Ferramentas da Qualidade Histograma Na estatística um histograma é uma representação gráfica da distribuição de frequências de uma massa de medições, normalmente um gráfico de barras verticais.

CONCEITOS ESTATÍSTICOS VISTOS
POPULAÇÃO AMOSTRA PARÂMETRO ESTATÍSTICA NOMINAL, ORDINAL, INTERVALO, RAZÃO, PROPORÇÃO FREQUENCIA FREQUENCIA RELATIVA FREQUENCIA ACUMULADA MÉDIA ARITMÉTICA MÉDIA PONDERADA PROBABILIDADE ESTRATIFICAÇÃO MODA

CONCEITOS ESTATÍSTICOS
Classe Modal - é a classe ou intervalo, para dados classificados, que aparece com maior frequência. Amplitude de um Conjunto de Dados - é a diferença entre o maior valor e o menor valor desse conjunto. Se os dados estiverem agrupados em classes, a amplitude é a diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira. Para um intervalo do conjunto de dados de [a,b], onde x1= a e xn= b

Desvio Médio ( d )- é a média aritmética do valor absoluto da diferença entre cada valor e a média, no caso dos dados não classificados. No caso dos dados classificados, tem que se entrar em conta com a frequência absoluta de cada observação. [Fórmula] Desvio Padrão ( )- é a raiz quadrada positiva da variância. [Fórmula] Dados não classificados Dados classificados (com n = nº de observações da amostra)

Variáveis Contínuas - são as variáveis que podem tomar qualquer valor de um determinado intervalo. Variáveis Discretas - são as variáveis que podem tomar um número finito ou uma infinidade numerável de valores. Variáveis Qualitativas - o mesmo que Atributos Qualitativos. Variáveis Quantitativas - o mesmo que Atributos Quantitativos. (com n = nº de observações da amostra) Variância ( )- é a medida que permite avaliar o grau de dispersão dos valor da variável em relação à média.

Variação e Distribuição
Se pudéssemos coletar dados de um processo no qual todos os fatores (homem, máquina, matéria-prima, método, etc.) fossem perfeitamente constantes, todos os dados teriam o mesmo valor. Entretanto, na realidade, é impossível manter todos os fatores constantes todo o tempo. A rigor, mesmo alguns fatores que julgamos sejam constantes, não são perfeitamente constantes. É inevitável que os valores de um certo conjunto de dados apresentem alguma variação. Os valores não são sempre os mesmos, mas isto não significa que sejam determinados de maneira desordenada. Embora os valores estejam sempre mudando, eles são regidos por uma certa regra e, nesta situação, dizemos que seguem uma certa distribuição.

Populações e Amostras No controle da qualidade, tentamos descobrir fatos através da coleta de dados e, então, tomamos a ação necessária baseados naqueles fatos. Os dados não são coletados como um objetivo final em si, mas como um meio para descobrir os fatos que estão por trás dos dados. Por exemplo, considere urna inspeção por amostragem. Tomamos uma amostra de um lote, executamos medições nela e, então, decidimos se devemos aceitar todo o lote ou não. Nossa preocupação aqui não é a amostra em si, mas a qualidade de todo o lote. Como outro exemplo, considere o controle _de um processo de fabricação usando um gráfico de controle x-R . O propósito não é determinar as características da amostra coletada para a construção do gráfico de controle x-R, mas descobrir em que estado se encontra o processo.

Populações e Amostras A totalidade dos itens considerados é chamada de população. No primeiro exemplo, a população é o lote e, no segundo, é o processo. Algumas pessoas acham difícil considerar um "processo" como uma "população", porque enquanto um "lote" é um grupo de objetos individuais finitos, um "processo" em si não é absolutamente um produto, mas é composto dos 5M's (homem, máquina, material, método e medição). Quando voltamos nossa atenção h função de fabricar produtos, reconhecemos que, inequivocamente, o processo produz um conjunto de produtos. Além disso, a quantidade de produtos é infinita a menos que o "processo" pare de produzi-los e, por esta razão, consideramo-lo como uma população infinita.

Populações e Amostras Um ou mais itens retirados de uma população com a intenção de prover informações sobre ela, são chamados de amostra. Uma vez que uma amostra é utilizada para estimar as características de toda a população. ela deve ser escolhida de tal forma a refletir as características da população. Um método de amostragem comumente usado é escolher um membro qualquer da população com igual probabilidade. Este método é chamado de amostragem aleatória, e uma amostra retirada mediante este tipo de amostragem é chamada de amostra aleatória.

Populações e Amostras

Populações e Amostras Dados obtidos de uma amostra servem como base para uma decisão sobre a população. Quanto maior o tamanho da amostra, mais informação obtemos sobre a população. Porém, um aumento do tamanho da amostra também implica um aumento da quantidade de dados, e isso torna difícil compreender a população a partir destes, mesmo quando estão organizados em tabelas. Em tal caso, precisamos de um método que nos possibilite conhecer a população num rápido exame. Um histograma atende às nossas necessidades. Por meio da organização de muitos dados num histograma, podemos conhecer a população de maneira objetiva.

Análise de melhoria de processo
Muitas vezes somente a quantidade de dados não é suficiente para se tomar uma decisão. Em muitos casos preciso observar a forma como os dados estão distribuídos ao longo de um intervalo pré-estabelecido. O histograma mostra de forma resumida, o número de vezes que o valor de uma variável ocorre dentro de intervalos especificados.

Distribuição de frequência
Uma tabela que mostra classes ou intervalos de dados com uma contagem do número de entradas em cada classe A frequência, f, de uma classe é o número de entradas de dados na classe Classe Frequência, f 1 – 5 5 6 – 10 8 11 – 15 6 16 – 20 21 – 25 26 – 30 4 Tamanho da classe 6 – 1 = 5 Limite inferior da classe Limite superior da classe

Construindo uma distribuição de frequência
Decida o número de classes. Geralmente entre 5 e 20; do contrário, pode ser difícil detectar padrões Encontre o tamanho da classe. Determine a variação dos dados Divida a variação pelo número de classes Arredonde para cima para o próximo número conveniente

Encontre os limites da classe.
Você pode usar a entrada de menor valor como o limite inferior da primeira classe Encontre os limites inferiores remanescentes (adicione o tamanho da classe ao limite inferior da classe precedente) Encontre o limite superior da primeira classe. Lembre-se de que as classes não podem ter limites iguais Encontre os limites superiores remanescentes

Faça um registro para cada entrada de dados na fileira da classe apropriada.
Conte os registros para encontrar a frequência total f para cada classe.

Exemplo: construindo uma distribuição de frequência
A amostra seguinte lista o número de minutos que 50 usuários da internet passaram conectados durante a sessão mais recente. Construa uma distribuição de frequência para as sete classes.

Solução: construindo uma distribuição de frequência
Número de classes = 7 (dados) Encontre o tamanho da classe Arredondando para cima: 12

Encontre os limites mínimos restantes.
Use 7 (valor mínimo) como o primeiro limite mínimo. Adicione o tamanho da classe, 12, para definir o limite mínimo da próxima classe. = 19 Encontre os limites mínimos restantes. Limite mínimo Limite máximo 7 Tamanho da classe = 12 19 31 43 55 67 79

O limite máximo da primeira classe é 18 (um a menos que o limite mínimo da segunda classe). Some o tamanho da classe, 12, para definir o limite máximo da próxima classe = 30 Encontre os limites máximos restantes. Limite mínimo Limite máximo 7 19 31 43 55 67 79 Tamanho da classe = 12 18 30 42 54 66 78 90

Faça um registro para cada entrada de dado na fileira da classe apropriada.
Conte os registros para encontrar a frequência total f para cada classe. Classe Registro Frequência, f 7 – 18 IIII I 6 19 – 30 IIII IIII 10 31 – 42 IIII IIII III 13 43 – 54 IIII III 8 55 – 66 IIII 5 67 – 78 79 – 90 II 2 Σf = 50

Determinando o ponto médio
Ponto médio de uma classe (Limite mínimo da classe) + (Limite máximo da classe) 2 Classe Ponto médio Frequência, f 7 – 18 6 19 – 30 10 31 – 42 13 Tamanho da classe = 12

Determinando a frequência relativa
Frequência relativa de uma classe Porção da porcentagem dos dados que se encaixa em um classe em particular Frequência da classe Tamanho da amostragem Frequência relativa = Classe Frequência, f Frequência relativa 7 – 18 6 19 – 30 10 31 – 42 13

Frequência acumulada de uma classe
A soma das frequências daquela classe e de todas as classes anteriores. Classe Frequência, f Frequência acumulada 7 – 18 6 19 – 30 10 31 – 42 13 6 + 16 + 29 Larson/Farber 4th ed.

Distribuição de frequência expandida
Classe Frequência, f Ponto médio Frequência relativa Frequência acumulada 7 – 18 6 12.5 0.12 19 – 30 10 24.5 0.20 16 31 – 42 13 36.5 0.26 29 43 – 54 8 48.5 0.16 37 55 – 66 5 60.5 0.10 42 67 – 78 72.5 48 79 – 90 2 84.5 0.04 50 Σf = 50

Gráficos de distribuição de frequência
Histograma de frequência Um gráfico de barras que representa a distribuição da frequência O eixo horizontal é quantitativo e mede os valores dos dados O eixo vertical mede as frequências das classes Barras consecutivas precisam se tocar Valores dos dados Frequência

Fronteiras de classes Os números que separam as classes sem formar espaços entre elas A distância do limite superior da primeira classe para o limite inferior da segunda é 19 – 18 = 1 A metade dessa distância é 0,5 Classe Fronteiras de classes Frequência, f 7 – 18 6 19 – 30 10 31 – 42 13 6.5 – 18.5 Fronteira inferior da primeira classe = 7 – 0.5 = 6.5 Fronteira superior da primeira classe = = 18.5

Classe Fronteiras de classes Frequência, f 7 – 18 6.5 – 18.5 6 19 – 30 18.5 – 30.5 10 31 – 42 30.5 – 42.5 13 43 – 54 42.5 – 54.5 8 55 – 66 54.5 – 66.5 5 67 – 78 66.5 – 78.5 79 – 90 78.5 – 90.5 2

Exemplo: histograma de frequência
Construa um histograma de frequência para a distribuição da frequência do uso da internet. Classe Fronteiras de classes Ponto médio Frequência, f 7 – 18 6.5 – 18.5 12.5 6 19 – 30 18.5 – 30.5 24.5 10 31 – 42 30.5 – 42.5 36.5 13 43 – 54 42.5 – 54.5 48.5 8 55 – 66 54.5 – 66.5 60.5 5 67 – 78 66.5 – 78.5 72.5 79 – 90 78.5 – 90.5 84.5 2

Solução: histograma de frequência (usando pontos médios)
Uso de Internet Frequência Tempo on-line (em minutos)

Solução: histograma de frequência (usando fronteiras de classes)
Uso de Internet Frequência Tempo on-line (em minutos) É visível que mais da metade dos assinantes passaram entre 19 e 54 minutos na Internet em sua sessão mais recente.

Gráficos de distribuição de frequência
Histograma de frequência relativa Tem o mesmo formato e eixo horizontal que o histograma de frequência correspondente O eixo vertical mede as frequências relativas e não as frequências Valores dos dados Frequência relativa

Exemplo: histograma de frequência relativa
Construa um histograma de frequência relativa para a distribuição da frequência do uso de Internet. Classe Fronteiras de classes Frequência, f Frequência relativa 7 – 18 6.5 – 18.5 6 0.12 19 – 30 18.5 – 30.5 10 0.20 31 – 42 30.5 – 42.5 13 0.26 43 – 54 42.5 – 54.5 8 0.16 55 – 66 54.5 – 66.5 5 0.10 67 – 78 66.5 – 78.5 79 – 90 78.5 – 90.5 2 0.04

Solução: histograma de frequência relativa
Uso de Internet Frequência Tempo on-line (em minutos) A partir do gráfico, pode-se perceber que 20% dos assinantes de Internet passaram entre 18,5 minutos e 30,5 minutos conectados.

Como fazer um Histograma Passo 1 – coleta de dados É aconselhável que o número de dados (n) seja superior a 30 para que tenhamos um histograma representativo.

Passo 1 – coleta de dados n = 40

Passo 2 – escolha o número de classes (k) Não existe uma regra universal para a escolha do número de classes em um histograma. A sugestão é que seja usada a seguinte tabela:

Análise e melhoria de processos
Passo 2 – escolha o número de classes (k) Não existe uma regra universal para a escolha do número de classes em um histograma. A sugestão é que seja usada a seguinte tabela: PARA n k 30 até 50 5 até 7 51 até 100 6 até 10 101 até 250 7 até 12 Mais que 250 10 até 20

Passo 1 – coleta de dados Peso em Kg 48,9 49,3 49,5 49,7 49,8 49,1 49,6 48,8 49,2 49,0 49,4 49,9 50,1 50,0 n = k = 5

Passo 3 – identifique o valor mínimo e máximo dos dados. MÁX = 50,1 MÍN = 48,8 Passo 4 – calcule a amplitude dos dados (R) R = MÁX - MÍN R = 50,1 – 48,8 = 1,3

Passo 5 – calcule o comprimento de cada intervalo no histograma (h) h = R/k h = 1,3/5 h = 0,26

Passo 6 – arredonde o valor de h Deve ser arredondado para cima. O bom senso deve prevalecer. h ≈ 0,3 Passo 7 – determine as classes a partir do menor valor. Nota: em cada classe o menor valor pertence a ela, porém, o maior valor não.

Passo 7 – determine as classes a partir do menor valor. 48,8 ├ 49,1 49,1 ├ 49,4 49,4 ├ 49,7 49,7 ├ 50,0 50,0 ├ 50,3 48,8 + 0,3 = 49,1 49,1 + 0,3 = 49,4 49,4 + 0,3 = 49,7 49,7 + 0,3 = 50,0 50,0 + 0,3 = 50,3

Passo 8 – construa uma tabela de distribuição de freqüências. Limites do intervalo Freqüência de ocorrência 48,8 ├ 49,1 6 49,1 ├ 49,4 13 49,4 ├ 49,7 49,7 ├ 50,0 50,0 ├ 50,3 2

Passo 9 – desenhe o histograma.

Como Construir Histogramas Exemplo prático de fixação
Para investigar a distribuição dos diâmetros de eixos de aço produzidos em um processo de usinagem, os diâmetros de 90 eixos foram medidos conforme mostra a Tabela a seguir. Vamos construir um histograma para a tomada de decisão usando estes dados.

ETAPA 1 – AMPLITUDE PROCEDIMENTO Calcular a ampíitude (R)
Obtenha o maior e o menor dos valores observados e calcule R. R = (O maior valor observado) - (o menor valor observado) O maior e o menor dos valores observados podem ser facilmente obtidos da seguinte maneira: Obtenha o máximo e o mínimo dos valores de cada linha da tabela de observações, e depois tome o maior dos valores máximos e o menor dos valores mínimos. Estes serão o máximo e o mínimo de todos os valores observados. EXEMPLO R foi obtida a partir do maior e do menor valores observados. (Veja Tabela ) O maior valor = 2, (-) O menor valor z 2,502 Portanto, R = 2, ,502 = 0,043

ETAPA 2 – INTERVALO DE CLASSE
O intervalo de classe é determinado de forma que a amplitude, que compreende o maior e o menor dos valores, seja dividida em intervalos de mesmo tamanho. Para obter o tamanho dos intervalos, divida R por l, 2 ou 5 (ou 10; 20; 50; 0,l; 02; 0,5; etc.) de forma a obter de 5 a 20 intervalos de classe de tamanho igual. Quando houver duas possibilidades, use o tamanho de intervalo menor se o número de valores observados for maior ou igual a 100, e o tamanho de intervalo maior se houver 99 ou menos valores observados. EXEMPLO 0, ,002 = 21,5 e adotamos 22, pelo arredondamento para cima até o número inteiro mais próximo. 0, ,005 = 8,6 e adotamos 9, pelo arredondamento para cima até o número inteiro mais próximo. 0, ,010 = 4,3 e adotamos 4, pelo arredondamento para baixo até o número inteiro mais próximo. Neste caso, o intervalo de classe é determinado como 0,005, pois isso resulta numa quantidade de intervalos entre 5 e 20.

Etapa 3 Preparar o formulário da tabela de frequência
PROCEDIMENTO Prepare um formulário como o da Tabela, no qual possam ser registrados as classes, o ponto médio, as marcas de frequência, frequência, etc. EXEMPLO Prepare uma tabela conforme mostra a Tabela.

Etapa 4 Determinar os limites das ciasses
PROCEDIMENTO Determine os limites dos intervalos, de forma que englobem o menor e o maior dos valores registrados, e anote-os na tabela de frequência. Determine, primeiro, o limite inferior da primeira classe e adicione a este o tamanho do intervalo para obter o limite entre a primeira e a segunda classe. Quando fizer isso, assegure-se de que a primeira classe contém o menor valor observado e que os valores dos limites tenham uma casa decimal a mais do que a precisão dos valores medidos. Depois, adicione sucessivamente o tamanho do intervalo ao valor do limite anterior para obter o segundo limite, o terceiro, e assim por diante, e verifique se a última classe inclui o maior valor observado. EXEMPLO Os limites da primeira classe devem ser determinados como 2,5005 e 2,5055 de forma que a classe inclua o menor valor 2,502; os limites da segunda classe devem ser determinados como 2,5055 e 2,5105, e assim por diante. Registre esses limites numa tabela de frequência. (Veja Tabela a seguir)

Etapa 5 Calcular o ponto médio da classe
PROCEDIMENTO Usando a equação seguinte, calcule o ponto médio das classes, e anote-os na tabela de frequência. Ponto médio da primeira classe: Soma dos limites superior e inferior da primeira classe 2 Ponto médio da primeira classe 2, ,5055 = 2,503 2

Etapa 6 Obter as freqüências
Leia os valores observados um por um e registre as frequências obtidas em cada classe usando marcas de contagem em grupos de 5, como segue:

Como construir o gráfico histograma
ETAPA 1 Em uma folha de papel quadriculado, marque o eixo horizontal com uma escala. É melhor que a escala não seja baseada nos limites de intervalo das classes, e sim na unidade de medida dos dados, 10 gramas correspondendo a 10 mm, por exemplo. Isto toma-a conveniente para fazer comparações entre vários histogramas que descrevem fatores e características semelhantes, bem como com especificações (padrões). Deixe um espaço aproximadamente igual ao intervalo de classe em cada extremidade do eixo horizontal, antes da primeira e após a última classe. ETAPA 2 Marque o eixo vertical do lado esquerdo com uma escala de frequência e, se necessário, trace o eixo vertical do lado direito e marque-o com uma escala de frequência relativa. A altura da classe com a frequência máxima deveria ser de 0.5 a 2,O vezes a distância entre os valores máximo e mínimo do eixo horizontal .

Como construir o gráfico histograma
Etapa 3 Marque os valores dos limites das classes no eixo horizontal. Etapa 4 Usando o intervalo de classe como base, desenhe um retângulo cuja altura corresponda à frequência daquela classe. Etapa 5 Trace uma linha no histograma para representar a média e, se for o caso, trace também os limites da especificação. Etapa 6 Numa área em branco do histograma, anote o histórico dos dados (o período _ em que os dados foram coletados, etc.), a quantidade de dados (n), a média x e o desvio-padrão s (veja Figura 5.2).

GRÁFICO HISTOGRAMA

Como Interpretar Histogramas
Tipos de Histograma É possível obter informações úteis sobre a população pela análise da forma do histograma. As seguintes formas s3o típicas, e podemos utilizá-las como modelos para a análise de um processo. Tipos: geral, pente, assimétrico positivo, abrupto à esquerda, achatado, picos duplos e pico isolado.

a) Tipo geral (simétrico ou em forma de sino) Forma: O valor médio do histograma está no meio da amplitude dos dados. A frequência é mais alta no meio e toma-se gradualmente mais baixa na direção dos extremos. A forma é simétrica. Nota: Esta é a forma que ocorre mais frequentemente.

Tipo pente (tipo multi-modal) Forma: Várias classes têm, como vizinhas, classes com menor frequência. Nota: Esta forma ocorre quando a quantidade de dados incluídos na classe varia de classe para classe ou quando existe uma tendência particular no modo como os dados são arredondados.

Tipo assimétrico positivo (tipo assimétrico negativo) Forma: O valor médio do histograma fica localizado à esquerda (direita) do centro da amplitude. A frequência decresce de modo um tanto abrupto em direção à esquerda (direita), porém de modo suave em direção à direita (esquerda). É assimétrica. Nota: Esta forma ocorre quando o limite inferior (superior) é controlado, ou teoricamente, ou por um valor de especificação, ou quando valores menores (maiores) do que um certo valor não ocorrem.

Tipo abrupto à esquerda (tipo abrupto à direita) Forma: O valor médio do histograma fica localizado bem à esquerda (direita) do centro da amplitude. A frequência decresce abruptamente à esquerda (direita), e suavemente em direção à direita (esquerda). É assimétrica. Nota: Esta é uma forma que ocorre frequentemente quando é feita uma inspeção separadora 100% por causa da baixa capacidade do processo, e também quando a assimetria positiva (negativa) se toma ainda mais extrema.

Tipo achatado Forma: As frequências das classes formam um achatamento porque as classes possuem mais ou menos a mesma frequência, exceto aquelas das extremidades. Nota: Esta forma ocorre com a mistura de várias distribuições que têm diferentes médias.

Tipo picos duplos (tipo bimodal) Forma: A frequência é baixa próximo ao meio da amplitude de dados e existe um pico em cada lado. Nota: Esta forma ocorre quando duas distribuições, com médias muito diferentes, são misturadas.

Tipo pico isolado Forma: Num histograma do tipo geral existe mais um pequeno pico isolado. Nota: Esta é uma forma que surge quando há uma pequena inclusão de dados provenientes de uma distribuição diferente, como nos casos de anormalidade de processo, erro de medição ou inclusão de dados de um processo diferente..

Comparação de Histogramas com Limites de Especificação
Se houver uma especificação, trace as linhas dos limites da especificação no histograma, para comparar a distribuição com a especificação. Depois veja se o histograma está localizado bem dentro dos limites. Cinco casos típicos, como na Figura 5.4, são descritos a seguir. Use-os como uma referência para avaliar a população.

Quando o histograma atende à especificação a) Como o histograma atende à especificação com folga, tudo o que se precisa é manter a atual situação. b) A especificação é atendida mas não existe nenhuma margem extra. Portanto, é importante reduzir um pouco o grau da variação.

Quando o histograma não atende à especificação c) É necessário agir para trazer a média mais próxima ao centro da especificação. d) São necessárias ações para reduzir a variação. e) Tanto as ações descritas em c) como em d) são necessárias.

Estratificação de Histogramas
Quando os valores observados são divididos em duas ou mais subpopulações, conforme as condições existentes na coleta de dados, tais subpopulações são chamadas de estratos e a divisão de dados em estratos é chamada de estratificação. Os valores observados sempre trazem alguma variação. Por isso, quando os dados são estratificados conforme os fatores suspeitos de gerar a variação, as causas de variação tornam-se mais facilmente detectáveis. Este método pode ser usado eficazmente para aumentar a qualidade de produto, pela redução da variação e ajuste da média do processo. A estratificação é geralmente feita conforme os materiais, as máquinas, as condições de operação e os trabalhadores.

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