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DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS AMOSTRAPOPULAÇÃO PRINCIPAIS CONCEITOS Inferência ou indução estatística: processo de obter informações sobre uma população com.

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1 DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS AMOSTRAPOPULAÇÃO PRINCIPAIS CONCEITOS Inferência ou indução estatística: processo de obter informações sobre uma população com base em resultados observados em amostras aleatórias X = variável da população característica de x que se quer conhecer (desconhecido) estimador de obtido à partir da amostra

2 ESTIMADOR OU ESTATÍSTICA Dada uma amostra aleatória (x1, x2,...xn) estimador ou estatística é qualquer variável aleatória função dos elemento amostrais. Estimativa = valor numérico de um estimador Distribuição amostral: o parâmetro populacional (por exemplo, a média µ ) é constante – seu valor não se altera de amostra para amostra. O valor na amostra é dependente da amostra selecionada, cada amostra revelará um diferente valor para a média. Como o valor do estimador (as estimativas) variam de amostra para amostra e a inferência estatística baseia-se no estimador, é necessário conhecer a distribuição de probabilidade da amostra. Á partir da distribuição de probabilidade do parâmetro, tem-se condições de avaliar o grau de incerteza das inferências estatísticas realizadas à partir de amostras aleatória.

3 n n n n Distribuição amostral de Processo de construção da distribuição de um estimador

4 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DAS MÉDIAS ESTIMADOR DA MÉDIA POPULACIONAL Teorema 1 A média da distribuição amostral das médias, denotada por µ (x), é igual à média populacional µ. Isto é: Teorema 2 Se a população é infinita, ou se a amostragem é com reposição, então a variância da distribuição amostral das médias, denotada por 2 (x), é dada por:

5 Teorema 3 Se a população é finita, ou se a amostragem é sem reposição, então a variância da distribuição amostral das médias, denotada por 2 (x), é dada por: Teorema do limite central Se a população tem ou não distribuição normal com média µ e variância 2, então a distribuição das amostras será normalmente distribuída.

6 ESTIMATIVAS POR PONTO E INTERVALOS DE CONFIANÇA Parâmetros Populacionais Média = µ Desvio padrão = Proporção de determinado evento = p Métodos Estimação: determinação de estimativas dos parâmetros populacionais Testes de Hipóteses: tomada de decisão relativa ao valor de um parâmetro populacional

7 Estimativa por Ponto Quando com base nos dados amostrais calcula-se um valor da estimativa do parâmetro populacional. A média amostral é uma estimativa por ponto da média populacional. De maneira análoga o desvio padrão amostral constitui uma estimativa do parâmetro. Estimativa por Intervalo Uma estimativa por intervalo para um parâmetro populacional é um intervalo determinado por dois números, obtidos à partir de elementos amostrais que se espera contenham o valor do parâmetro com dado nível de confiança ou probabilidade de (1- )%. Geralmente (1- )% = 90%. Se o comprimento do intervalo é pequeno, tem-se um elevado grau de precisão da inferência realizada. As estimativas dessa natureza são denominadas intervalos de confiança.

8 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA POPULACIONAL 1.Quando a variância é conhecida. Fixando um nível de confiança (1- ) tem-se: Determinar dois pontos, a=Z 1 e b=Z 2, tais que:

9 1.Quando a variância é desconhecida. Quando se tem pequenas amostras e não se conhece o valor do desvio padrão populacional, pode construir intervalos de confiança para a média a partir da fórmula expressa a seguir. Para tanto é necessário que a população de onde foi extraída a amostra tenha distribuição normal. Não se pode usar Z, porque é desconhecido. Um procedimento lógico consiste em substituir por S (desvio padrão amostral). Mas qual o efeito de se fazer isso? Se n for grande (n>30, em geral) pode-se mostrar que o efeito é pequeno e tem-se: Ou seja o intervalo de confiança é calculados exatamente como no exemplo anterior substituindo-se por S.

10 2 Se n<30 o problema não é solúvel no caso geral. Se X~N(µ, 2 ) o seguinte teorema fornece o resultado pretendido: Seja (X1,...Xn) uma variável aleatória duma população X~N(µ, 2). A variável aleatória tem distribuição t com n-1 graus de liberdade

11 O intervalo para a média, quando a variância é desconhecida é


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