Caixeiro Viajante Problema: Dado um grafo G=(V,E), encontrar o Circuito Hamiltoniano de tamanho mínimo. Teorema: A menos que P=NP, não existe algoritmo.

Apresentação em tema: "Caixeiro Viajante Problema: Dado um grafo G=(V,E), encontrar o Circuito Hamiltoniano de tamanho mínimo. Teorema: A menos que P=NP, não existe algoritmo."— Transcrição da apresentação:

1 Caixeiro Viajante Problema: Dado um grafo G=(V,E), encontrar o Circuito Hamiltoniano de tamanho mínimo. Teorema: A menos que P=NP, não existe algoritmo -aproximativo polinomial para o TSP para qualquer  >=1. Prova: Suponha que exista um algoritmo -aproximativo polinomial A para algum >1. Vamos mostrar então que é possível encontrar um ciclo Hamiltoniano em tempo polinomial

2 Caixeiro Viajante K = 1+|V| Instância do Caixeiro Viajante
Instância do Ciclo Hamiltoniano

3 Caixeiro Viajante Se o algoritmo retorna um ciclo de custo |V| o
Objetivo: Provar que o algoritmo -aproximativo polinomial para o TSP (A) irá retornar um tour de custo |V | se e somente se existe um ciclo Hamiltoniano em G. Se o algoritmo retorna um ciclo de custo |V| o Ciclo Hamiltoniano existe Se existe um ciclo Hamiltoniano em G então A retorna um tour (T ) de comprimento menor ou igual a |V|. Como o TSP não utiliza nenhuma aresta de valor maior que |V| então ele retorna um tour de custo |V|

4 Caixeiro Viajante Circuito Euleriano: Um circuito Euleriano é um passeio fechado que visita todas as arestas do grafo uma única vez Teorema Um grafo G admite um circuito Euleriano se e somente se todo vértice de G tem grau par

5 Caixeiro Viajante Problema: TSP sobre grafo G=(V,E) que satisfaz a desigualdade triangular: d(i,j)  d(i,k) + d(k,j) Algoritmo Tree: Obter a árvore geradora de peso mínimo T; Duplicar as arestas de T; Obter um circuito euleriano, usando busca em profundidade; Escolher um nó inicial; Encontrar circuito hamiltoniano sobre o circuito euleriano, usando “atalhos” para não repetir nós.

6 Caixeiro Viajante 5 4 3 2 1 Árvore geradora mínima
com arestas duplicadas

7 Caixeiro Viajante 5 4 3 2 1 Circuito Euleriano

8 Caixeiro Viajante 5 4 3 2 1 Circuito Hamiltoniano

9 Caixeiro Viajante 5 4 3 2 1 Circuito Hamiltoniano

10 Caixeiro Viajante 5 4 3 2 1 Circuito Hamiltoniano

11 Caixeiro Viajante Teorema: O algoritmo Tree é 2-aproximado.
Prova: Seja OPT(I) o circuito hamiltoniano de custo mínimo. Sabemos que custo(T)  OPT(I) e A(I)  2 custo (T) A(I)  2 .OPT(I)

12 Caixeiro Viajante Algoritmo de Christofides:
Obter a árvore geradora de peso mínimo T; Encontrar o conjunto C de nós de T que têm grau ímpar; Encontrar o matching perfeito de custo mínimo M sobre o o subgrafo de G induzido por C Seja G’ = T U M; Encontrar um circuito euleriano em G’ e um tour neste circuito eliminando repetições;

13 Caixeiro Viajante

14 Caixeiro Viajante Teorema: O algoritmo de Christofides é 3/2-aproximado. Prova: OPT(I) M1 M2 A(I)  c(T)+c(M) e c(T) OPT(I) C(M1) + c(M2 ) OPT(I) C(M)  ½.OPT(I) A(I)  3/2.OPT(I)

15 Caixeiro Viajante Exemplo Ruim 2 4 6 n-1 n 1 3 5 (n-1)/2 Christofides
Ótimo, custo=n-1 2 1 n

16 Set Cover SET COVER: Dado um conjunto U de elementos e uma coleção F={S1, S2, , Sm} de subconjuntos de U, determinar a família G  F de menor cardinalidade tal que a união dos conjuntos de G é igual a U

17 Set Cover Algoritmo Guloso Enquanto houver algum elemento não coberto
Escolha o conjunto ainda não selecionado que cobre o maior número de elementos de não cobertos

18 custoGr (F,U) = 1 + custoGr(F-{S},U-S)
Set Cover Análise S: primeiro conjunto escolhido. OPT(F’,U’): custo da solução ótima para cobrir U’ utilizando a família F’ custoGr (F,U) = 1 + custoGr(F-{S},U-S) Lema 1. OPT(F,U)>= |U|/|S| Lema 2. OPT(F,U)>=OPT(F-{S},U-S)

19 Set Cover Análise. Hipótese Indutiva. razaoGreedy(F,T)<=H|T| para todo conjunto T com |T|<|U|, onde Hn é o n-ésimo número harmônico

20 Set Cover [Feig 98] A menos que P=NP não existe um algoritmo polinomial com razão de aproximação o(log n) para o SET-COVER

21 Subset Sum Dado um par (S,t) onde t é um inteiro positivo e S={x1,…,xn} é um conjunto de inteiros não negativos, encontrar S’  S cuja soma de seus elementos seja a maior possível mas não ultrapasse T O problema é NP-Completo Redução a partir do 3-SAT

22 Subset Sum Algoritmo Exponencial
Seja L+x a lista obtida a partir de uma lista L, aumentando todo elemento de L de x unidades L=<1,2,5,9>  L+4 =<5,6,9,13>

23 Subset Sum Algoritmo Exponencial 1. L0{0} 2. Para i1 até n faça
2.1 Li  MergeLists(Li-1,Li-1+xi) 2.2 Remova todo elemento de Li maior que t 3. Devolva o maior elemento de Ln

24 Subset Sum Algoritmo Exponencial
O algoritmo Exponencial retorna o subconjunto de maior soma cuja soma não ultrapassa T Para obter uma aproximação em tempo polinomial, somas com valores próximos são descartadas

25 Subset Sum TRIM(L, ): Esta operação remove o máximo possível de elementos de L de modo que a lista resultante L’satisfaz: Para todo x  L, existe z L’ tal que (1-)x <= z <= x Todas as somas de L estão representadas em L’ salvo uma precisão

26 Subset Sum Algoritmo Approx-SubsetSum(S,t, ) L0{0}
Para i1 até n faça Li  MergeLists(Li-1,Li-1+xi) Li  TRIM(Li,  / n) Remova todo elemento de Li maior que t Devolva z, o maior elemento de Ln

27 (1- /n)i y <= w <= y
Subset Sum Lema. Seja Pi o conjunto de todas as somas possíveis com os i primeiros números de S. Devemos mostrar que para todo elemento y de Pi existe um elemento wLi , após trimmed, tal que (1- /n)i y <= w <= y

28 (1-  /n)i-1 y <= w’ <= y
Subset Sum Prova Indução em i. A base é verdadeira. Caso i) y – xi não pertence a Pi-1 Logo, y pertence a Pi-1. Pela hip indutiva, existe w’ em Li-1 tal que (1-  /n)i-1 y <= w’ <= y Como a lista Li é ‘trimmed’ existe w em Li tal que (1-  /n) w’ <= w <=w’. Logo w satisfaz a condição requerida

29 Subset Sum Prova Caso ii) y – xi pertence a Pi-1
Neste caso, existe w’ em Li-1 tal que (1-  /n)i-1 y - xi<=(1-  /n)i-1 (y-xi)<= w’<= y-xi Por outro laso, existe w em Li tal que (1-  /n) (w’+xi)<= w<= w’+xi Logo, w satisfaz as condições requeridas

30 (1-/n)nz*<= z<= z*.
Subset Sum Teorema. Approx-SubsetSum aproxima o SubsetSum de um fator de (1-) em tempo (n2 ln t) /  Prova. Seja z* a solução ótima. Pelo lema o algoritmo retorna um z tal que (1-/n)nz*<= z<= z*. Como (1-/n)n>(1- ) para n>1, temos que (1-)z*<= z<= z*.

31 Subset Sum Teorema. Approx-SubsetSum aproxima o SubsetSum de um fator de (1-) em tempo Prova. Depois da operação de TRIM os elementos sucesssivos de Li , w e w’, satisfazem w/w’< 1/(1-/n). Logo, o número máximo de elementos de Li após o TRIM é logt1/(1-/n) <= (n ln t) / 

32 MAX SAT Entrada n variáveis booleanas : x1,... Xn
m cláusulas : C1,... Cm Pesos wi >= 0 para cada clausula Ci Objetivo : Encontrar uma atribuição de verdadeiro/falso para xi que maximize a soma dos pesos das clausulas satisfeitas

33 MAX SAT Algoritmo randomizado Para i=1,...,n Se random(1/2) = 1
xi  true Senão xi  false Com probabilidade ½ dizemos que uma variável é verdadeira ou falsa

34 MAX SAT Teorema : O algoritmo tem aproximação ½
Prova: Considere a variável aleatória xj xj 1, se a clausula é satisfeita 0, caso contrário W: soma dos pesos das clausulas satisfeitas Logo,

35 MAX SAT E(xj) = 1*Pr(xj=1) + 0*Pr(xj=0)
= Pr(clausula j ser satisfeita) Lj : número de literais na clausula j Obs: A clausula j não é satisfeita somente se todos literais forem 0 Cj = (x1 v x3 v x5 v x6) Devemos ter x1=0, x3 = 1, x5 =0 e x6 =0 Probabilidade = (1/2)4 Caso Geral=(1/2)Lj

36 MAX SAT Probabilidade da clausula j ser satisfeita é 1-(1/2)Lj Logo,
0,5-aproximação Obs: é um limite superior

37 MAX SAT O que aconteceria se toda clausula tivesse exatamente 3 literais? 7/8-aproximação Hastad 97) Se MAXE3SAT tem aproximação (7/8 + e) para algum e > 0, P = NP

38 MAX SAT Algoritmo 2 Mudando a probabilidade do sorteio Seja p>= ½
Para i=1,...,n Se random(p) = 1 xi  true Senão xi false

39 Pr[cj ser satisfeita] >= min (p,1-p2)
MAX SAT Lema: Seja I uma instância do MAXSAT onde nenhuma clausula de tamanho 1 aparece negada. Então, para toda clausula j, Pr[cj ser satisfeita] >= min (p,1-p2) Prova: Caso 1) Lj = 1. Neste caso, Pr[Cj é satisfeita] = p Caso 2) Lj >= 2. Pr[Cj não satisfeita] <= pLj

40 MAX SAT Pr[cj ser satisfeita] >= 1 - pLj >= 1 – p2
(x1 v x2) como exmplo Pr[Cj ser satisfeita] >= 1-p2

41 MAX SAT Instância onde cláusula de tamanho 1 aparece negada?
Caso 1) Se existe a clausula (xi) e não existe a clausula (xi), podemos fazer com que xi = true com probabilidade 1-p. Recaimos no caso anterior (equivalente a substituir xi por zi)

42 MAX SAT Instância onde cláusula de tamanho 1 aparece negada?
Caso 2) Existe a clausula ( xi) e a clausula (xi). Neste caso uma das duas não são satisfeitas. Dessa forma podemos melhorar o limite superior. Se ci=xj e ci’=  xj, retiramos min{wi,wi’} do limite superior. Neste caso, devemos sortear com maior probabilidade a clausula de maior peso.

43 MAX SAT A: cláusulas cujo peso é retirado do limite superior segundo o caso 2 B: cláusulas complementares a A Exemplo: Clausulas: (x1 v x2 v x3) , (x4) , (x4) , (x2 v x3), Pesos :(2, 3,5,4) A = {(x4)} e B = {( x4)}

44 MAX SAT Maximizando p, temos p=0.618

45 MAX SAT Modele MAXSAT como PI s.a 0<= zj <= 1 yi {0,1}
Ij+ : conjunto das variáveis que aparecem não-negadas em Cj Ij- : conjunto das variáveis que aparecem negadas em Cj

46 MAX SAT Max w1z1 + w2z2 Exemplo (x1 v x2 v  x3) , ( x2 v  x3) s.a
y1 + y2 + (1 - y3) >= z1 (1 - y2)+ (1 - y3) >= z2 yi  {0,1} 0 <= zi <= 1 Resolva a relaxação linear yi {0,1} é substituído por 0 <= y <= 1

47 MAX SAT y* : solução da relaxação linear Para i=1,...,n
Se random(y*) = 1 xi  true Senão xi  false

48 MAX SAT Fato 1) (Desigualdade das Médias)
Seja a1,..., ak reais não negativo,então: Fato 2) Se f é côncava em [l,v], f(l) >= al+b e f(v) >= av+b, então f(x) >= ax + b em [l,v]

49 MAX SAT Teorema : O algoritmo tem aproximação (1-1/e) @ 0,632
Prova : Considere a clausula Cj da forma: x1 v x2 v ... v xk Pr(Cj é satisfeita) = Como y* é viável,

50 MAX SAT A última desigualdade segue do fato 2, já que
Zj*=0  1 – (1 – (Zj* / k ) ) k = 0 Zj*=1  1 – (1 – (Zj* / k ) ) k = 1-(1-1/k)k e 1 – (1 - (Zj* / k ) )k é côncava Sendo que este resultado vale para qualquer cláusula.

51 MAX SAT , já que lim(1-1/x)x converge para 1/e.