Processos Estocásticos

Apresentação em tema: "Processos Estocásticos"— Transcrição da apresentação:

1 Processos Estocásticos
Luiz Affonso Guedes

2 Sumário Probabilidade Variáveis Aleatórias
Funções de Uma Variável Aleatória Funções de Várias Variáveis Aleatórias Momentos e Estatística Condicional Teorema do Limite Central Processos Estocásticos Análise Espectral Filtragem e Predição Estocástica Processos Markovianos

3 Probabilidade Definições de probabilidade Freqüência relativa
Axiomas da probabilidade Métodos de Contagem Probabilidade Condicional Teorema de bayes

4 Introdução Fenômenos Determinísticos Fenômenos Probabilísticos
Conhecidos com certeza Não sujeitos às leis do acaso Ex.: o ano atual, idade de uma pessoa jovem Fenômenos Probabilísticos Não conhecidos com certeza Sujeitos às leis do acaso Ex.: face de um dado, se vai chover amanhã, se o Remo vai ser campeão

5 Introdução Experimentos que ao serem repetidos nas mesmas condições não produzem o mesmo resultado são denominados de experimentos aleatórios. Mas por quê isto ocorre? Experimento Entradas/causas observadas Saídas/efeitos observados

6 Espaço Amostral Definiremos Espaço Amostral (S) associado a um experimento o conjunto de seus resultados possíveis. Conjunto de todos os resultados possíveis de ocorrer. Pode ser discreto (finito ou infinito) ou contínuo.

7 Exemplos de Espaço Amostral
Exemplo1: Experimento de lançamento de um dado. O espaço amostral do experimento é o conjunto S = {1,2,3,4,5,6}. Exemplo2: Experimento de lançamento de dois dados simultaneamente. O espaço amostral do experimento é o conjunto S(primeira face, segunda face) = {????}

8 Exemplos de Espaço Amostral
Exemplo3: Experimento de obtenção do tempo de vida de uma lâmpada. O espaço amostral do experimento é o conjunto S = {x: x real, x>0}. Processo estocástico é uma seqüência de experimentos, no qual cada um tem um número finito de resultados, com uma dada atribuição de probabilidade

9 Exemplos de Processos Estocásticos
Processo estocástico do exemplo1. Processo estocástico do exemplo3. Como um fabricante deve calcular o tempo de garantia de um produto seu. Uma TV, por exemplo?

10 Eventos São qualquer subconjunto de um Espaço Amostral.
Os eventos podem ser simples ou compostos S  evento certo Ø  evento vazio (impossível)

11 Exemplos de Eventos Exemplo1: Exemplo2: Dar um número par
Dar um número maior que 4 Dar um número entre 1 e 6 Exemplo2: A soma dos resultados seja igual a 4 Que a soma dos resultados seja par

12 Operações entre Eventos
União: A U B  Se ocorrer pelo menos um dos eventos Interseção: A  B  Se ocorrer ambos os eventos Complementar: Ac  É o evento que ocorre quando A não ocorrer. A B

13 Exemplos de Operações com Eventos
Uma urna contém bolas de um a quinze. Uma bola é retirada da urna e seu número anotado. Sejam A e B os seguintes eventos: A: o número da bola retirada é par, B: o número da bola retirada é múltiplo de 3. Determine: S,A, B, AUB, A  B e Ac

14 Operações entre Eventos
Implicação: A  B, A implica em B. Igualdade: A  B e A  B  A = B. Mutuamente exclusivo: A  B = Ø Se a união de n eventos mutuamente exclusivos é o próprio S, dizemos que tais eventos são mutuamente exclusivos e exaustivos, ou formam uma partição em S. Exemplos em diagrama de Venn

15 Propriedades das Operações entre Eventos
(AUB)  C = (A C) U (B C) (A  B) U C = (A U C)  (B U C) (A U B)c = Ac  Bc (A  B)c = Ac U Bc A B C A B C

16 Probabilidade Vem da idéia de mensurar eventos aleatórios.
Procedimento de cálculo de propriedades de eventos aleatórios Número que reflita as chances de ocorrência de um evento aleatório.

17 Probabilidade: definição clássica
Dado um espaço amostral S com N eventos igualmente possíveis. Se A é um evento em S composto de m eventos simples, a probabilidade de ocorrência de um evento A num experimento é calculada por: P(A) = m / N É a razão entre os eventos desejáveis dentre o universo dos possíveis.

18 Probabilidade: definição clássica
Conseqüências: P(A) =  0, para todo A  S; Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, então: P(AUB) = P(A) + P(B) P(S) = 1 P(AUB) = P(A) + P(B) – P(AB)

19 Probabilidade: definição freqüentista
Repetir um experimento sob as mesmas circunstâncias. A probabilidade de ocorrência de um evento A seria: P(A) = lim M/ N N M é o número de ocorrência do evento A N é o número total de experimentos.

20 Probabilidade: definição subjetiva
Quando não a possibilidade de se aplicar os conceitos clássicos e freqüentista de probabilidade: Baseia-se em opinião sobre ocorrência de um evento. Probabilidade do resultado de um jogo. Probabilidade de haver aula.

21 Probabilidade: definição axiomática
Supõe as seguintes verdades absolutas: Dado um espaço amostral S e eventos A e B, tem-se. P(A)  0; P(S) = 1; Se A e B são mutuamente exclusivos, P(A+B) = P(A) + P(B)

22 Propriedades da Probabilidade
P(S) = 1 P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C), se A, B e C são mutuamente exclusivos. P(Ac) = 1 – P(A) P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A B) Se A  B  P(A)  P(B) P(AUB) = P(A) + P(AC B)

23 Métodos de Contagem Para se calcular a probabilidade de um evento é necessário saber sua proporção dentro do universo dos eventos possíveis S A P(A) = ??? Supondo eventos equiprováveis

24 Princípio Fundamental da Contagem
Se uma tarefa é completada em N etapas seqüenciais, com ni possibilidade em cada etapa. Então, o número total de maneiras de realizar a tarefa é: Número Total = n1 x n2 x nN ? ? ? Etapa 3 Etapa 1 Etapa 2

25 Tipos de Experimentos Com reposição ou sem reposição de amostras
Elementos das amostras podem ser ordenados ou não ordenados

26 Tipos de Experimentos Experimento sem reposição ordenado:
Dada uma turma de N alunos, escolher 01 presidente, 01 tesoureiro e 01 secretário. Arranjo Experimento sem reposição não ordenado: Dada uma turma de N alunos, escolher 03 representantes. Combinação

27 Tipos de Experimentos Cálculo de experimento sem reposição ordenado:
Ordenar n amostras de um conjunto de N elementos, sem reposição.  (N)n = N (N-1) ... (N-n+1) = N! / (N-n)! Escolher 01 goleiro e 01 centroavante entre 8 jogadores. Escolher 01 presidente, 01 tesoureiro, 01secretário numa turma de 15 formandos.

28 Tipos de Experimentos Cálculo de experimento com reposição ordenado:
Ordenar n amostras de um conjunto de N elementos, com reposição. Nn = N N ... N (já que há reposição) Escolher 01 goleiro e 01 capitão dentre 11 jogadores. Escolher 01 presidente e 01 tesoureiro dentre 15 alunos, sendo que há a possibilidade de se acumular os cargos.

29 Tipos de Experimentos A probabilidade é o razão entre os eventos desejados e os possíveis: Qual é a probabilidade de se lançar um dado 03 vezes e não ocorrer repetição de números? Na maternidade Parto Feliz nasceram 05 crianças numa determinada semana. Qual era a probabilidade de todas as crianças terem nascido em dias distintos? P(A) = (N)n / Nn

30 Tipos de Experimentos Permutação Se N = n  Pn = n!
(n)n = n (n-1) ... (n-n+1) Quantas palavras de 03 letras não repetidas posso formar com o seguinte conjunto de letras? L = {A, I, B}

31 Tipos de Experimentos Experimento sem reposição não ordenado:
Combinação de N elementos n a n. Dada uma turma de N alunos, escolher 03 representantes. Há menos possibilidades do que no caso ordenado, certo? CN,n = (N)n/ Pn = N!/(n! (N-n)!) (analisar!!!)

32 Tipos de Experimentos Experimento sem reposição não ordenado:
CN,n = (N)n/ Pn = N!/(n! (N-n)!) 8 times participam de um torneio de futebol. Cada equipe enfrenta todas as demais apenas uma vez. Quantos jogos serão realizados? E se houver jogos de ida e de volta? Escolher 03 pessoas num grupo de 10.

33 Partição de Conjuntos CN,n – Equivale dividir S em dois subconjunto: A e Ac A com n elementos e Ac com n1 elementos, sendo: N = n + n1 A S - A possui n elementos - S possui N elementos

34 Partição de Conjuntos Generalização do problema:
Dividir um conjunto S de N elementos em k subconjuntos, sendo que N = n1+ n nk (ni – número de elemento do i-ésimo subconjunto) Corresponde a k problemas encadeados de combinações (veja o diagrama de Venn) CN,n1 C(N-n1),n Cnk,nk

35 Partição de Conjuntos Generalização do problema:
Que matematicamente é equivalente a: N! / (n1! n2! ... nk!) CN,n1 C(N-n1),n Cnk,nk Será que isto é verdade? CN,n = N! / (n! (N-n)! ) (lembrete)

36 Partição de Conjuntos Exemplos:
O jogo de bridge corresponde a dividir o baralho de 52 entre 04 jogadores. Quantas maneiras há de se dividir o baralho? Resp.  C52,13 C39,13 C26,13 C13,13

37 Partição de Conjuntos Exemplos:
O jogo de pôquer com 04 jogadores utiliza 32 cartas, distribuídas igualmente entre os 04 naipes. Baralho = {Naipes X Cartas} Naipes = {paus,espada,ouro,copas} Cartas = {7,8,9,10,Valete,Dama,Rei, Ás} Se um jogador receber na primeira mão 05 cartas, qual é a probabilidade dele receber só um par de ases (evento A)? Resp.  P(A) = C4,2C7,3 ( C4,1C4,1C4,1 ) / C32,5 = 0,11 (0,0667) ÁS ÁS ÁS ÁS ÁS

38 Partição de Conjuntos Processos de Bernoulli
Qual é a probabilidade de ocorrer k vezes um eventos A dentre N tentativas, sendo p a sua probabilidade do ocorrência? P(A) = p , P(Ac) = 1 – p P(A) P(A)...P(A) P(Ac)...P(Ac) = pk (1-p)N-k Pode-se combinar esse conjunto de eventos de N, k a k maneiras. P{A ocorrer exatamente k vezes} = CN,k p (1- p)N-k

39 Partição de Conjuntos Processos de Bernoulli
P{A ocorrer apenas exatamente k vezes} = CN,k p (1- p)N-k Exemplo: Qual é a probabilidade que em uma família com 04 filhos, 02 serem meninas? Resolução por Bernoulli ou de forma exaustiva. Resp. = 3/8

40 Partição de Conjuntos Processos de Bernoulli
P{A ocorrer apenas exatamente k vezes} = CN,k pk (1- p)N-k Exemplo: Um atirador tem três chances de acertar um alvo. Para ele vencer a competição deverá acertar pelo menos duas vezes no alvo. Sabendo-se que ele tem probabilidade de 0,4 de acerta um tiro, qual é a probabilidade dele vencer a competição? Resp. = 0,352

41 Próxima Aula Probabilidade condicional, eventos independentes e teorema de Bayes

42 Probabilidade Condicional
Sejam dois eventos A e B de um mesmo espaço amostral e supondo que P(A) > 0, a probabilidade condicional de B ocorrer dado que A ocorreu é dada por: P(B/A) = P(A B) / P(A) É a probabilidade de ocorrer A e B dentro do subconjunto dos eventos de A.  P(B/A) = A B

43 Probabilidade Condicional
Dado: P(B/A) = P(A B) / P(A) A probabilidade de ocorrer os eventos A e B é igual a: P(A B) = P(B/A) P(A) = P(A) P(B/A) A probabilidade de ocorrer A e ocorrer B dado que ocorreu A  P(B/A) = A B

44 Probabilidade Condicional
Exemplo: P(B/A) = P(A B) / P(A) 6 5 4 3 2 1

45 Probabilidade Condicional
Exemplo: experimentos seqüenciais que a ocorrência de um eventos na k-ésima etapa depende das etapas anteriores Dada uma urna com 03 bolas azuis e 07 vermelhas. Se 02 bolas são retiradas sem reposição, determine: Espaço amostral: P(A1A2) P(A1V2) P(V1A2) P(V1V2) P(A/B) = P(A B) / P(B)

46 Probabilidade Condicional
Generalização da probabilidade condicional: P(A1A2 ... An) = P(A1) P(A2/A1)P(A3/A1A2) ... P(An/A1A2 ...An-1) Interpretação: P(A) P(B/A) P(C/BA) P(ABC)

47 Probabilidade Condicional
Exemplo: Dada uma urna com 03 bolas azuis e 07 vermelhas. Se 02 bolas são retiradas sem reposição, qual é a probabilidade de ocorrer a seguinte seqüência de eventos: P(A1A2V3V4A5) = 1/120 P (A1A2A3V4V5) = ? P (V1V2A3A4A5) = ? ...

48 Probabilidade Total P(A) = P(A/B1) P(B1) + P(A/B2) P(B2) ...
P(A/Bn) P(Bn) P(A) = P(AB1) + P(AB2) P(ABn) B2 A Conjuntos disjuntos Bn B1

49 Probabilidade Total Exemplo: dada 03 urnas com as seguintes composições: Urna 1: 03 bolas brancas e 05 bolas vermelhas. Urna 2: 04 bolas brancas e 02 bolas vermelhas. Urna 2: 01 bola branca e 03 bolas vermelhas. A probabilidade de escolha das urnas é, respectivamente: 2/6, 3/6 e 1/6. Qual é a probabilidade de se escolher uma bola branca? Resp. = ½ Interpretação via média ponderada.

50 Teorema de Bayes Dado dois eventos A e B, num mesmo espaço amostral, pela probabilidade condicional, temos: P (A B) = P(A) P(B/A) P (B A) = P(B) P(A/B) P(A) = P(B) P(A/B) / P(B/A) P(A/B) = P(A). P(B/A) / P(B) Ponderação

51 Teorema de Bayes Exemplo: dado um baralho com 52 cartas
Qual é a probabilidade de se tirar uma Rainha, sabendo-se que a carta é uma figura? Qual é a probabilidade de se tirar uma Rainha, sabendo-se que a carta é de espada? Qual é a probabilidade de se tira uma Rainha de espada, sabendo-se que a carta é uma figura preta?

52 Teorema de Bayes Exemplo:
Um meteorologista acerta 80% dos dias em que chove e 90% dos dias em que não chove. Costuma chover em 10% dos dias. Tendo havido previsão de chuva para amanhã, qual é a probabilidade de realmente vir a chover? Prev. Ch. Prev. sol Total Chove Sol 1,0

53 Teorema de Bayes Generalização:
Dadas duas partições de S (S=A1 U A2), então: P(A1/B) = P(A1) P(B/A1) / ( P(A1) P(B/A1) + P(A2) P(B/A2) ) Uma vez que: P(B) = P(A1) P(B/A1) + P(A2) P(B/A2) Para o caso de n partições: P(Ai/B) = P(Ai) P(B/Ai) /  ( P(Ak) P(B/Ak) ) Média ponderada

54 Teorema de Bayes Exemplo:
Um companhia produz peças em 03 fábricas (A1,A2 e A3), na proporção de 15%, 35% e 50%, respectivamente. Suas probabilidades de produzirem peças defeituosas são: 1%, 5% e 2%. Dado que o controle de qualidade detectou uma peça com defeito, qual é a probabilidade de ter sido produzida por cada uma das fábricas? P(Ai/D) = ?

55 Independência entre Eventos
Dois eventos são independente se a ocorrência de um dele não alterar a probabilidade de ocorrência do outro e vice-versa. Sejam dois eventos A e B, sendo P(A) > 0. O evento B é dito independente de A se: P(B/A) = P(B)

56 Independência entre Eventos
Como: P(B/A) = P(B) (eventos independentes) P(A B) = P(A) P(B) Se B é independente de A, logo o inverso também é verdadeiro?

57 Independência entre Eventos
Exemplo: Experimento: lançamento de 02 moedas Eventos: A1 (cara no 10 lançamento), A2 (cara no 20 lançamento) e A3 (ocorrência da mesma face nos dois lançamentos). Verifique: P(A1), P(A2), P(A3) P(A1A2), P(A1A3) e P(A2A3) P(A1A2A3)

58 Independência entre Eventos
Exemplo: P(A), P(B), P(A B), P(A) P(B), P(A/B) e P(B/A) 6 5 4 3 2 1 Independência é uma questão de proporção

59 Independência entre Eventos
Com seria a independência de 03 eventos simultaneamente? E para n eventos?