Grafos e Algoritmos Computacionais

Apresentação em tema: "Grafos e Algoritmos Computacionais"— Transcrição da apresentação:

1 Grafos e Algoritmos Computacionais
Pontifícia Universidade Católica 1º semestre de 2009 Prof. Rainer Ronnie Pereira Couto

2 Programa Introdução, conceitos básicos, classificação, Isomorfismo.
Caminhos e circuitos, caminhamentos em grafos, algoritmo de Dijkstra. Grafos Eulerianos, grafos Hamiltonianos. Árvores, árvore geradora mínima. Cut-set e cut-vértices, grafos planares, espessura de grafos, cruzamento de arestas, dualidade. Coloração de grafos, dominância, independência, cobertura. Matching, fluxo em redes. Problemas NP, problemas NP em grafos.

3 Bibliografia Material disponibilizado pelo professor.
Livro: Graph Theory, Robin J. Wilson. Bibliografia adicional. Douglas B. West, Introduction to Graph Theory, Prentice-hall, 1996. Nivio Ziviani, projeto de algoritmos, editora pioneira Thomson, 2005. Reinhard Diestel, GraphTheory, Springer, ( hamburg.De/home/diestel/books/graph.theory/GraphTheoryIII.pdf).

4 Avaliação Página do curso: www.dcc.ufmg.br/~rainerpc/cursos/grafos
e Learnloop 75% de presença em sala de aula SEM abono de faltas Distribuição dos pontos 2 provas de 25 pontos 3 trabalhos: 10 pts, 15 pts, 15 pts 2 Listas de exercícios: 5 pts cada

5 Alguns problemas que serão abordados em Grafos...

6 Problemas de grafos (1/11)‏
Três canibais e três missionários estão viajando juntos e chegam à margem de um rio. Eles desejam atravessar para a outra margem para, desta forma, continuar a viagem. O único meio de transporte disponível é um barco que comporta no máximo duas pessoas. Há uma outra dificuldade: em nenhum momento o número de canibais pode ser superior ao número de missionários pois desta forma os missionários estariam em grande perigo de vida. Como administrar a travessia?

7 Problemas de grafos (2/11)‏
Considere que temos três potes com capacidades de 8, 5 e 3 litros, respectivamente, os quais não possuem qualquer marcação. O maior deles está completamente cheio enquanto que os outros dois estão vazios. Estamos interessados em dividir o vinho em duas porções iguais de 4 litros, tarefa esta que pode ser realizada por transferências sucessivas de um vaso no outro. Qual o menor número de transferências necessários para completar a divisão?

8 Problemas de grafos (3/11)‏
A banda U2 tem um concerto que começa daqui a 17 minutos e todos precisam cruzar a ponte para chegar lá. Todos os 4 participantes estão do mesmo lado da ponte. Você deve ajudá- los a passar de um lado para o outro. É noite. Na ponte só pode passar no máximo duas pessoas de cada vez. Só há uma lanterna. Qualquer pessoa que passe, uma ou duas, deve passar com a lanterna na mão. A lanterna deve ser levada de um lado para o outro, e não pode ser jogada, etc. Cada membro da banda tem um tempo diferente para passar de um lado para o outro. O par deve andar junto no tempo do menos veloz: Bono:- 1 minuto para passar Edge:- 2 minutos para passar Adam:- 5 minutos para passar Larry:-10 minutos para passar Por exemplo: se o Bono e o Larry passarem juntos, vai demorar 10 minutos para eles chegarem do outro lado. Se o Larry retornar com a lanterna, 20 minutos terão passados e o show sofrerá um atraso. Como organizar a travessia?

9 Problemas de grafos (4/11)‏
De forma a reduzir seus custos operacionais, uma empresa de transporte de cargas deseja oferecer aos motoristas de sua frota um mecanismo que os auxilie a selecionar o melhor caminho (o de menor distância) entre quaisquer duas cidades por ela servidas, de forma a que sejam minimizados os custos de transporte.

10 Problemas de grafos (5/11)‏
No século 18 havia na cidade de Königsberg um conjunto de sete pontes que cruzavam o rio Pregel . Elas conectavam duas ilhas (A e D) entre si e as ilhas com as margens (B e C). Por muito tempo os habitantes daquela cidade perguntavam-se se era possível cruzar as sete pontes numa caminhada contínua sem que se passasse duas vezes por qualquer uma delas.

11 Problemas de grafos (6/11)‏
Uma criança diz ter posto a ponta do lápis numa das bolinhas e com movimentos contínuos (sem levantar e sem retroceder o lápis) traçou as linhas que formam o desenho da casa, traçando cada linha uma única vez. A mãe da criança acha que ela trapaceou pois não foi capaz de achar nenhuma seqüência que pudesse produzir tal resultado. Você concorda com esta mãe?

12 Problemas de grafos (7/11)‏
Suponha que a área de venda de um caixeiro viajante inclua várias cidades, muitas das quais, aos pares, estão conectadas por rodovias. O trabalho do caixeiro requer que ele visite cada cidade pessoalmente. Sob que condições seria possível que ele estabelecer uma viagem circular (que o leve ao ponto de partida) de forma a que ele visite cada cidade exatamente uma vez?

13 Problemas de grafos (8/11)‏
Considere o jogo de xadrez. Seguindo as regras de movimento do cavalo, é possível que um cavalo parta de uma casa qualquer, percorra todo o tabuleiro visitando cada casa uma e somente uma única vez e retorne à casa inicial ?

14 Problemas de grafos (9/11)‏
A Empresa Brasileira de Correios e Telégrafos mantém vários postos de coleta de correspondência espalhados pela cidade, inclusive em bairros mais afastados. A localização e a quantidade destes postos são por vezes modificados de forma que diariamente o motorista responsável por recolher a correspondência recebe um esquema que mostra o melhor percurso para passar em todos os postos de coleta. Este esquema é montado manualmente por um funcionário da E.C.T.. Este funcionário não agüenta mais as reclamações dos motoristas de que as rotas que ele traça nunca são as melhores e pede demissão. O chefe, sem saber como tratar o problema, resolve contratar um especialista (você), para resolvê-lo. Como você modelaria o problema? Como encontrar a melhor rota? Que particularidades devem ser tratadas?

15 Problemas de grafos (10)‏
Como o Orkut organiza sua base de dados? Como o Orkut determina o caminho entre duas pessoas? Rainer C > Carlos S > Leonardo D > Rodolfo B

16 Problemas de grafos (11)‏
Com quantas cores no máximo é possível colorir qualquer mapa de forma que países vizinhos tenham cores diferentes?

17 Dúvidas?