ESCOAMENTOS COM RE<1 STOKES FLOW OU CREEPING FLOW

Apresentação em tema: "ESCOAMENTOS COM RE<1 STOKES FLOW OU CREEPING FLOW"— Transcrição da apresentação:

1 ESCOAMENTOS COM RE<1 STOKES FLOW OU CREEPING FLOW
Escoamento de Stokes (homenagem à Stokes) é um tipo de escoamento onde a força de inércia (termos convectivos) são pequenos comparados com a força viscosa. O número de Reynolds é pequeno. Freqüentemente ocorre em situações onde a velocidade do fluido é baixa, a viscosidade é alta ou onde a dimensão característica do escoamento é pequena. Ele é aplicado na área de transporte de particulados e suspensões (emulsões, polímeros), meios porosos, lubrificação, dispositivos micro-eletromecânico entre outras áreas. Não deixe de assistir o filme Low Reynolds Flows

2 O processo Re -> 0 Utilizando-se escalas típicas de escoamento viscosos: As eq. N-S. podem ser escritas na forma adimensional como: A eq. N-S (adimensional) apresenta um limite assintótico, quando Re ->0, para equação de Stokes; A dependência no tempo de V vem diretamente das C.C. que dependem do tempo; uma vez cessada a variação no tempo da C.C. o campo de V deixa de ser transiente.

3 O processo Re -> 0 A eq. N-S (adimensional) apresenta um limite assintótico, quando Re ->0, para equação de Stokes ou, Stokes é uma solução aproximada para N-S; Quando Re ->0 significa que as forças viscosas são muito maiores que as forças de inércia; A força motriz é a pressão que, por sua vez, é balanceada pelas forças viscosas. Aproximações da solução quando ReL -> 0 podem ser obtidas expandindo-se V em potências de Re (técnica de perturbação)

4 Campos de P e V Desacoplados
No domínio de Stokes pode-se mostrar que os campos de V e P estão desaclopados; Deixando de lado a forma adimensional das equações e considerando um caso sem c.c. variando no tempo, o gradiente de pressão está relacionado com o campo de velocidade por meio de: Além disto, o campo de velocidades deve satisfazer e equação da massa:

5 Desacolplamento campo de PRESSÃO
Tomando o divergente da Eq. Q. Movimento Reconhecendo que o escoamento é incompressível, divV=0;

6 Desacoplamento campo de VELOCIDADE
Tomando o rotacional da Eq. Q. Movimento Reconhecendo que, rot(gradP) =0 e aplicando novamente o rot porém, da identidade:

7 Desacoplamento campo de VELOCIDADE – casos 2D ou Axi-simétricos -
Foi visto que a Eq. Quantidade de Movimento 2D ou axi-simétrico: Campos 2D ou axi-simétricos em regime permanente permitem a definição de uma função corrente e reduzem a vorticidade para uma componente apenas. Considere um escoamento no plano XY: A equação de Q. Movimento reduz para equação bi-harmônica da função corrente.

8 Equações de P e V Desacoplados
Para regime permanente a solução do campo de pressão e de velocidade não dependem da viscosidade! A solução do campo de velocidades depende somente da forma do contorno e da distância . O valor de  estabelece uma proporção entre P e V:

9 Características das Eq. Stokes - LINEARIDADE
As equações para V e P são lineares. Pode-se aplicar o princípio da superposição para V e P onde novos campos de V e P são determinados a partir da combinação linear de campos conhecidos. Note que a superposição linear não pode ser aplicada para escoamentos potenciais porque o campo de V é quadrático (exemplo: Eq. Bernoulli).

10 Características das Eq. Stokes - REVERSIBILIDADE
O escoamento é reversível pq não há inércia. Havendo a supressão da força externa o escoamento cessa; Se a força externa for revertida o escoamento reverte; Se o histórico de aplicação da força externa for repetido então o escoamento e sua história serão revertidos e a partícula de fluido re-traçará sua trajetória; Kinematic reverse Re < 1 (2) Kinematic reverse Re < 1 Kinematic irreverse Re > 1

11 Irreversibilidade do Escoamento com Inércia

12 Características das Eq. Stokes - SIMETRIA
O escoamento ao redor de corpos simétricos é simétrico pq a difusão de V se propaga a montante e a jusante com igual efetividade. As formas das linhas de corrente a montante e a jusante coincidem. Objetos simétricos não possuem esteiras. Re > 1 Re < 1

13 Características das Eq. Stokes - SIMETRIA
Solução numérica do escoamento viscoso através de um orifício circular (Re = 4aU/). As figuras mostram os contornos da função corrente  e da vorticidade  (Mills 1968) Re = 0 a vorticidade difunde-se igualmente a montante e a jusante. A medida que Re aumenta os contornos de  e  deixam de ser simétricos devido ao surgimento da inércia na solução. Re = 0 & Cd = 0 Re = 10 & Cd = 0.463 Características das Eq. Stokes - SIMETRIA Re = 50 & Cd = 0.69

14 Características das Eq. Stokes – Ausência de Esteira
Re < 1 Características das Eq. Stokes – Ausência de Esteira Re > 1

15 ESCOAMENTO EM CORPOS ESFÉRICOS

16 Coordenadas Esféricas e a Função Corrente de Stokes (simetria Azimutal )
Note que esta definição de  automaticamente satisfaz a massa:

17 Formulação: Vorticidade - (simetria Azimutal )
O escoamento com simetria em  só pode apresentar rotação (vorticidade , ) no plano (r,); isto é,  reduz a uma única componente não nula, : Formulação de Stokes:

18 Laplaciano de um vetor em coordenadas esféricas (extraído de Batchelor)

19 Formulação: Função Corrente - (simetria Azimutal )
A formulação função corrente é adequada para problemas 2D e axi-simetricos. Ela pode ser obtida através: (1) re-escrevendo a vorticidade em termos da função corrente de Stokes e (2) substituir a vorticidade na Eq. Q. Momento. Substituindo as velocidades pela definição de Função Corrente: Operador E   em função do operador 

20 Formulação: Função Corrente - (simetria Azimutal )
2. Expressando a vorticidade por  na equação de Stokes Na ausência de c.c. variando no tempo (d/dt =0), expandindo as derivadas e simplificando os termos semelhantes: O operador entre chaves é a definição de E2, então a formulação de Stokes reduz para a função bi-harmonica: Sua forma expandida contém muitos termos:

21 ESFERA DESLOCANDO-SE NUM FLUIDO ESTACIONÁRIO

22 Esfera se Deslocando no Fluido (Stokes 1851) condições de contorno
Esfera de raio ‘a’ deslocando-se na direção x com velocidade U Na superfície da esfera (r=a), todos os pontos se deslocam com velocidade U. A função  faz a velocidade resultante, em (r=a), sempre U ,verifique! vr U  v Na superfície (r=a), v = U.sin, condição de não deslizamento. Longe da esfera o fluido está parado,  = constante.

23 Esfera se Deslocando no Fluido (Stokes 1851) equação de transporte
A função corrente deve satisfazer a equação E4=0. Possível técnicas de solução: separação de variáveis. Sugere-se como tentativa a função O operador E2, de acordo com  proposto, assume a forma: (1) A equação bi-harmonica (2) Para satisfazer E4=0 é necessário que f”-(2/r2)f = 0, ou seja: (3)

24 Esfera se Deslocando no Fluido (Stokes 1851) equação de transporte
Substituindo Eq. (3) em (2) A função corrente , , é definida pelas constantes A, B, C e D : Que por sua vez serão determinadas pelas condições de contorno. Como /r2  0 para r  , então A = C = 0. Aplicando as duas c.c. para r = a (não deslizamento) encontra-se:

25 Esfera se Deslocando no Fluido (Stokes 1851) função corrente e campo de velocidade
A função corrente  : O campo de velocidades:

26 Esfera se Deslocando no Fluido (Stokes 1851) distribuição de pressão
O campo de pressão pode ser obtido resolvendo-se 2P = 0 entretanto não se conhece a priori o valor de P no contorno. Vamos calculá-lo a partir do campo de velocidades ou da vorticidade uma vez que esta já é conhecida: As componentes r e  da equação de quantidade de momento:

27 Esfera se Deslocando no Fluido (Stokes 1851) distribuição de pressão
A partir das componentes do gradiente de pressão pode-se determinar o campo de pressão: Integrando-se a expressão acima obtêm:

28 Características das Eq. Stokes – SIMETRIA & ANTI-SIMETRIA
O escoamento num corpo simétrico apresenta uma distribuição de velocidade SIMÉTRICA O escoamento num corpo simétrico apresenta uma distribuição de PRESSÃO ANTI-SIMÉTRICA P   U Distribuição de pressão na esfera (r =a) e em  = 0 e 

29 Aplicação em Tubos de Pitot
Tubos de Pitot ou tubos de impacto são empregados para medida de velocidade através da diferença de pressão entre o ponto de estagnação e a corrente livre. A pressão da corrente livre e a pressão de estagnação estão relacionadas por Bernoulli. Aplicação em Tubos de Pitot Cp = 1 é válido para Re >>1. Cp no ponto de estagnação da esfera (=0) para Stokes é: Ignorar efeitos viscosos quando Re <1 em tubos de impacto resulta em erros pq os valores de Ps medidos são muito maiores daqueles que seriam medidos por Bernoulli devido a Re <1

30 Força de Arrasto na Esfera
A força de arrasto na esfera é resultante da soma das parcelas de arrasto devido ao atrito na superfície e a distribuição de pressão anti-simétrica. A componente X é: ação das tensões elemento de área dA = (2asin)(ad) Observe que a distribuição de pressão representa 1/3 do arrasto total enquanto que a força viscosa os outros 2/3, mesmo que Re<<1!

31 Coeficiente de Arrasto da Esfera
Comparação Cd contra dados experimentais para vários Re, área colorida indica a faixa de validade da relação de Stokes

32 Generalização da Força de Arrasto
É difícil encontrar soluções para escoamento ao redor de corpos que não apresentam a forma esférica, apesar disto pode-se generalizar alguns resultados, entre eles o arrasto no regime de Stokes: Di representa as componentes da força de arrasto Kij é um tensor cujos coeficientes dependem somente da geometria do corpo Uj é a velocidade relativa entre o corpo e o fluido d uma dimensão característica do corpo. A principal informação é que o arrasto no regime de Stokes é linear com U e à viscosidade.

33 Velocidade Terminal de uma Esfera em Queda Livre num Fluido
Uma esfera caindo num fluido viscoso sob a ação da gravidade eventualmente atinge uma velocidade uniforme onde as forças gravitacionais que ela está submetida são equilibradas pela força hidrodinâmica que o fluido exerce. Esta velocidade é denominada por velocidade terminal. Considere: i) fluido com densidade e viscosidade  e  ii) raio da esfera, a e densidade da esfera e Um balanço entre a força de empuxo e a força peso: Se o fluido for um gás, usualmente e >> , então: As expressões são válidas desde que Re <<1

34 Esfera em Queda Livre Para o regime de Stokes, V ~ D2 Esferas com razão 2:1 de diâmetro apresentam uma razão de 4:1 para a velocidade!

35 ESCOAMENTO AO REDOR DE UMA ESFERA ESTACIONÁRIA

36 Esfera Estacionária e Fluido Escoando condições de contorno
Fluido se aproximando da esfera na direção x com velocidade U U a Na superfície da esfera (r=a), todos os pontos possuem velocidade nula (não deslizamento) portanto a (r=a) é uma linha de corrente e a v é nulo: Longe da esfera o fluido está se deslocando com velocidade U O problema está determinado e pode-se, com as c.c., determinar novas constantes A,B,C e D. Porém, como o escoamento é linear a solução pode ser obtida por meio do princípio da superposição.

37 Esfera Estacionária e o Fluido Escoando condições de contorno
A função corrente pode ser obtida somando-se ao  da esfera se deslocando um  correspondente ao campo uniforme em sentido contrário:

38 Esfera Estacionária e o Fluido Escoando condições de contorno
A função corrente pode ser re-escrita na forma: Dentro do parêntesis o primeiro termo representa o escoamento uniforme e o segundo termo um doublet. Juntos eles representam a função corrente de um escoamento ausente de viscosidade sobre uma esfera. O terceiro termo é denominado por Stokeslet e representa a correção viscosa.

39 Esfera Estacionária e o Fluido Escoando condições de contorno
As componentes das velocidades podem ser determinadas rapidamente somando-se a elas a velocidade uniforme (vr = -Ucos e v = Usin ) A distribuição de pressão tem o sinal invertido uma vez que o escoamento mudou de direção:

40 Linhas de Corrente para Esfera
Observe as diferenças entre as linhas de corrente ao redor da esfera (se deslocando ou estacionária) para escoamento Potencial ou de Stokes. No escoamento de Stokes (o potencial também) há uma completa simetria entre as linhas de corrente para um plano que passa pelo equador. Isto é possível somente pq o escoamento não possui inércia. Para Re > 1 a falta de simetria manifesta-se na forma de esteiras e vórtices na traseira da esfera.

41 ESCOAMENTO AO REDOR DE UMA ESFERA DE FLUIDO

42 A solução parte das hipóteses :
Uma derivação interessante da solução de Stokes para a esfera é o escoamento ao redor de uma gota de fluido proposto por Rybczynski (1911) e Hadamard (1911) independentemente. Os escoamentos no interior da gota e externo a ela são identificados por (i) e (o) A solução parte das hipóteses : Re <<1, A tensão superficial tende a manter a forma esférica da interface entre dois fluidos imiscíveis contra a tendência desta se deformar pela ação das forças viscosas. O único efeito que a tensão superficial traz é causar uma descontinuidade na tensão normal na interface

43 Esfera de Fluido: Condições de Contorno
(1) Assume-se que a gota está estacionária e o fluido externo se move com velocidade uniforme na direção de x positivo (2) Na interface (r=a) vr = 0, i.e., interface esférica, e por sí só ela constitui uma linha de corrente (fluido não cruza a interface): (3) Na interface (r=a) v é contínuo entre os dois meios, (4) Na interface (r=a) a tensão tangencial é contínua entre os dois meios, As quatro c.c. garantem uma solução para o sistema de equações

44 Esfera de Fluido: Solução
Aplica-se a solução geral encontrada para a esfera no escoamento interno e externo: A c.c. para r requer que A=0 e C=(1/2)U Na origem (r=0) demanda-se que a solução seja finita, F=H=0 As quatro constantes restantes são determinadas pela aplicação das c.c. restantes do problema.

45 Arrasto numa Esfera de Fluido
A força de arrasto é determinada a partir da integral das forças normais e tangenciais que atuam na interface de modo similar ao problema da esfera sólida: Casos limites: Se i ou  0 reproduz a lei de Stokes, D=-6Ua Se o>> i ou  >> 1, simula uma bolha ascendendo num meio líquido, D=-4Ua

46 Aplicação do Princípio da Superposição
Um elipsóide com razão a:b apresenta coeficientes de arrasto distintos se o escoamento estiver paralelo ou normal ao seu eixo principal A força de arrasto e os coeficientes para cada direção são dados por: Para a>>b, corpo tipo agulha, Cn ~ 2Ct

47 Aplicação do Princípio da Superposição
Suponha que o elipsoide faça um ângulo  com relação a corrente livre que possui velocidade U. Determine o arrasto  U No regime de Stokes a força é linear com a velocidade:

48 Queda livre de um corpo tipo agulha, Cn=2Ct
Durante a queda a força resultante na agulha deve ser igual a sua força de empuxo.  ângulo da agulha com horiz.  - ângulo de U com a agulha Fn, Ft, E – Forças normal, tan. e empuxo U – velocidade de translação Relação entre  e 

49 Paradoxo de Whitehead Escoamentos 2D (cilindros) a equação de transporte de Stokes P=2V não possui uma solução analítica exata; A c.c. no infinito não consegue ser satisfeita p/ geometria 2d. Pode-se entender esta limitação fazendo-se uma analogia com problemas puramente difusivos em condução de calor em sólidos semi-infinitos y=0, T=Tw mas y, T  , não é possível atender c.c. T=T r=r0, T=Tw mas r, T  , não é possível atender c.c. T=T r=r0, T=Tw e r, T  T, C2= T e C1 = ro(Tw- T)

50 Não Uniformidade Solução Stokes p/ domínios infinitos escoamentos não-confinados
A aproximação de Stokes é válida para Re 0. Isto é verdade próximo da esfera, i.e. os termos inerciais são desprezíveis. Entretanto, para r, os termos inerciais não são mais desprezíveis. Escoamento Stokes numa esfera; é estimado na ordem de magnitude dos maiores termos de difusão e convecção A razão entre os termos:

51 Não Uniformidade Solução Stokes p domínios infinitos escoamentos não-confinados
A razão dos termos mostra que mesmo para Re <<1, é possível que os termos inerciais sejam  aos termos viscosos para r  Inércia ~ difusão Stokes não válido A solução de Stokes não é válida em regiões afastadas a esfera, a solução é não uniforme! Esfera Stokes A aproximação de Stokes é boa para uma região próxima do corpo. Por esta razão é que a teoria prevê muito bem o arrasto. Entretanto esta aproximação não pode ser aplicada para r .

52 Não Uniformidade Solução Stokes p/ domínios infinitos Aproximação de Carl Wilhelm Oseen (* 1879; † 1944 ) Oseen (1910) remove a não uniformidade na solução de Stokes e propondo uma aproximação para o termo convectivo: V é o campo de velocidades e U é a velocidade relativa do fluido ao corpo, neste caso U é uniforme. Oseen linearizou o termo convectivo permitindo que fosse obtido soluções analíticas. A solução de Oseen é não-simétrica, apresenta esteira na esfera mas não uma região de separação.

53 Comparação solução de Oseen

54 Referências Batchelor, G.K., Introduction to Fluid Mechanics, Cambridge Press, 1967 Happel and Brener, Low Reynolds number hydrodynamics”, Martinus Nijhoff Publishers, 1963 White, F. M. , Viscous Flow, McGraw Hill Lamb, Hydrodynamics, Dover, 1945 Clift, Grace and Weber, Bubbles, Drops and Particles, Dover, 1978 Panton, Incompressible Flow”, John Wyley, 1984 Taylor, G.I. , Low Reynolds Flow, NCFMF

55 FIM

56