UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORTÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORTÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS TRANSMISSÃO DE CALOR 1 PROF. RUBENS GALLO

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UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORTÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 3 A distribuição de temperatura na parede pode ser determinada através da solução da equação da difusão de calor com as condições de contorno apropriadas. Para as condições de regime estacionário, sem geração interna de energia e condução unidimensional, a equação acima fica da seguinte maneira:

UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORTÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 4 A equação acima, mostra que o fluxo térmico é constante ao longo da parede, ou seja, não depende de x. Se a condutividade térmica da parede for considerada constante, a equação pode ser integrada duas vezes, obtendo a sulução geral. As constantes de integração C 1 e C 2 podem ser determinadas usando condições de contorno apropriadas. 1ª condição de contorno 2ª condição de contorno

UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORTÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 5 Substituindo as condições de contorno na solução geral, segue-se: Substituindo as constantes na solução geral, chega-se a distribuição de temperatura: A partir desse resultado, fica evidente que, para as condições de processo acima mencionadas, a temperatura varia linearmente com x.

UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORTÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 6 Conhecida a distribuição de temperatura, podemos usar a lei de Fourier, para determinar a taxa de transferência de calor por condução para uma parede plana. O fluxo térmico de calor atravé de uma parede plana é dado por:

UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORTÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 7 Existe uma analogia entre as difusões de calor e de carga elétrica. Da mesma forma que uma resistência elétrica está associada à condução de eletricidade, uma resistência térmica está associada à condução de calor. Definindo resistência como a razão entre o potencial (força) motriz e a correspondente taxa de transferência, podemos escrver: Resistência térmica de condução Resistência elétrica

UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORTÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 8 De maneira análoga, podemos também definir uma resistência térmica por convecção: Para a parede plana mostrada na figura acima, com condições de convecções nas duas extremidades, podemos escrever:

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UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORTÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 10 Circuitos térmicos equivalentes podem ser usados em sistemas mais complexos, como por exemplo, paredes compostas. Tais paredes podem possuir uma quantidade qualquer de resistências térmicas em série e em paralelo, devido à presença de diversas camadas compostas por diferentes materiais.

UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORTÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 11 Em sistemas compostos, é frequentemente conveniente a utilização de um coeficiente global de trasnferência de calor, U, que é definido por uma expressão análoga a lei de resfriamento de Newton. O coeficiente global de transferência de calor está relacionado à resistência térmica total.

UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORTÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 12 Em geral podemos escrever:

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UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORTÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 17 Um exemplo comum é o cilindro oco, cujas superfícies externa e interna estão expostas a fluidos que se encontram a diferentes temperaturas. Para a condição de regime estacionário, sem geração de energia interna e condução de calor unidimensional, nesse caso, na direção radial, a equação de difusão de calor pode ser escrita da seguinte maneira: Da lei de Fourier:

UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORTÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 18 Podemos determinar a distribuição de temperatura no cilindro resolvendo a equação da difusão de calor e utilizando condições de contorno apropriadas. Supondo constante o valor de k, a equação da difusão de calor pode ser integrada duas vezes para obter a solução geral: Condições de contorno: Substituindo essas condições de contorno na solução geral, obtemos:

UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORTÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 19 Resolvendo as duas equações acima, encontramos o valor das constantes C 1 e C 2, sustituindo essas constantes na solução geral obtemos a distribuição de temperatura na parede do cilindro. Da lei de Fourier: Resistência térmica:

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UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORTÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 21 Para o sistema composto mostrado na figura acima, a taxa de transferência de calor pode ser representada por: O resultado anterior também pode ser apresentado em termos do coeficiente global de transferência de calor.

UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORTÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 22 Essa definição é arbitrária. O coeficiente global de transferência de calor pode ser definidos em termos de qualquer área, por exemplo: em termos de A 4.

UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORTÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 23 Da lei de Fourier: Reconhecendo que q r é uma constante, independente de r, podemos escrever: Supondo a condutibilidade térmica constante, obtemos: Resistência térmica

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UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORTÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 25 Um processo comum de geração de energia térmica envolve a conversão de energia elétrica em energia térmica em um meio que conduz corrente elétrica (aquecimento ôhmico ou resistivo). A taxa de geração de energia em função da passagemde uma corrente elétrica I através de um meio com resistência elétirca R el é dada por: Se a geração de energia (W) ocorre uniformemente ao longo de toto o meio com volumeV, a taxa volumétrica de geração de energia (W/m³) é então:

UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORTÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 26 Solução geral:

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UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORTÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 28 Condições de contorno: Constantes C 1 e C 2 : Distribuição de temperatura:

UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORTÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 29 A temperatura máxima encontra-se no plano intermediáriio:

UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORTÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 30 Considere o cilindro sólido longo, mostrado na figura, que poderia representar um fio condutor de corrente elétrica ou um elemento combustível em um reator nuclear.

UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORTÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 31 Equação da difusão de calor: Separando as variáveis e considerando geração de energia uniforme, integrando uma vez a equação, obtém-se: Integrando novamente, têm-se: Concições de contorno:

UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORTÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 32 A primeira condição de contorno é consequência da simetria do sistema, para um cilindro sólido a linha de centro é uma linha de simetria para a distribuição de temperatura, de tal forma que o gradiente de temperatura nesta posição deve ser igual a zero. Substituindo as condições de contorno nas equações apropriadas, encontramos: Distribuição de temperatura.

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UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORTÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 39 A taxa de condução de calor em x + dx, pode ser escrita por: Segue que:

UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORTÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 40 Taxa de transferência de calor por convecção:

UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORTÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 41 Substituindo as equações anteriores para as taqxas de transferência na equação do balanço de energia: Forma geral da equação da energia para condições unidimensionais em uma superfície estendida.Sua solução, com as condições de contorno apropriadas, irá fornecer a distribuição de temperatura.

UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORTÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 42 Para aletas planas retangulares e aletas pniforme, ambas com seção reta uniforme. Para essas aletas:

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UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORTÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 44 Para simplificar a forma dessa equação, transformamos a variável dependente através da definição do excesso de temperatura .

UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORTÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 45 Solução geral da equação:

UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORTÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 46 Caso A – Transferência de calor por convecção na extremidade da aleta.

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UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORTÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 49 Caso B – Perda de calor na extremidade da aleta por convecção desprezível – Extremidade da aleta adiabática.

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UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORTÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 51 Caso C – Temperatura na extremidade da aleta conhecida.

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UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORTÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 53 Caso D – Aleta muito longa

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UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORTÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 56 As aletas são utilizadas para aumentar a transferência de calor de uma superfície através do aumento da área superficial efetiva. Entretanto, as aletas representam uma resistência à transferência de calor por condução a partir da sua base. Por essa razão, não existe qualquer garantia de que a taxa de transferência de calor aumente com o uso de aletas. Uma avaliação desse aspecto pode ser feita através do valor da efetividade da aleta a.

UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORTÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 57 “A efetividade é definida como a razão entre a taxa de transferência de calor da aleta e a taxa de transferência de calor caso não houvesse aleta.” onde A c,b é a área da seção transversal da base. Em qualquer projeto racional, o valor de a deve ser o maior possível e, de forma geral, a utilização de aletas só é justificada para os casos em que a > 2.

UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORTÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 58 O desempenho da aleta também pode ser quantificado em termos da resistência térmica. Tratando a diferença entre as temperaturas da base e do fluido como o potencial motriz para a transferência de calor, a resistência de uma aleta pode ser definida como

UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORTÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 59 Resistência térmica por convecção da aleta. Efetividade de uma aleta A efetividade da aleta pode ser interpretada como a razão entre as resistências térmicas e, para aumentar a, é necessário reduzir a resistência de condução/convecção da aleta. Para melhorar a transferência de calor da aleta, sua resistência não deve ultrapassar a da base exposta.

UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORTÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 60 Eficiência da aleta Logo, a taxa máxima na qual uma aleta poderia dissipar energia é a taxa que existiria se toda a superfície da aleta estivesse na temperatura da base. Contudo, uma vez que toda a aleta é caracterizada por uma resistência condutiva finita, um gradiente de temperatura deve existir ao longo da aleta, e a condição acima é uma idealização. Uma definição, lógica da eficiência de uma aleta é portanto em que A a é a área superficial da aleta.

UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORTÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 61 Para uma aleta plana de seção transversal uniforme e com extremidade adiabática, temos

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UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORTÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 64 Aleta

UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORTÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 65 q t – é a taxa total de transferência de calor associada à área superficial total A t, que engloba tanto as aletas quanto a fração da superfície na qual as aletas são fixadas que permanece exposta (frequentemente chamada de superfície primária).

UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORTÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 66 Se existem N aletas no conjunto, cada uma com área superficial A a, e a área superficial primária é designada por A b, a área superficial total é dada por

UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORTÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 67 A taxa total de transferência de calor por convecção das aletas e da superfície primária (sem aletas) para o fluido pode ser expressa por:

UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORTÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 68 R t,g – resistência térmica efetiva que leva em conta as taxas condutiva/convectiva através da aleta e a convectiva na superfície primária, que ocorrem paralelamente.

UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORTÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 69 Para aletas fixadas mecanicamente na superfície da aleta.