UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITÉCNICA PROGRAMA DE ENGENHARIA INDUSTRIAL REDE DE TECNOLOGIAS LIMPAS E MINIMIZAÇÃO DE RESÍDUOS O USO CORRETO DE ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS NA APRESENTAÇÃO DE RESULTADOS Salvador – Bahia - Brasil Ricardo Kalid, Dr. (71) (71)

Quebrando pré-conceitos: Toda medida é apenas uma estimativa Não se propaga erro; se propaga incerteza Toda e qualquer expressão da estimativa de valores e de medidas experimentais são compostas de três partes: –valor mais provável, –unidade e –incerteza de medição Quase sempre as duas primeiras são apresentadas, porém a terceira (incerteza) é quase sempre negligenciada; isso sim é um erro!.

Adaptado de Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 1 - (slide 3/30) A linguagem da metrologia Até 1995: “Torre de Babel” Em 10 de Março de 1995: Portaria INMETRO n° 029 “Vocabulário de Termos Fundamentais e Gerais de Metrologia” (VIM) Em sintonia com: ISO, BIPM, IEC, IFCC, ILAC, IUPAC, IUPAP, OIML

O USO CORRETO DE ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS NA APRESENTAÇÃO DE RESULTADOS Elevado número de algarismos significativos  conclusões erradas Objetivos dessa palestra: –Discutir essas questões –Evitar erros grosseiros na apresentação dos resultado.

1.Notação científica 2.Algarismos significativos 3.Regras de arredondamento do valor e da Regras de arredondamento da incerteza 4.Expressão correta do Resultado de uma Medição ( RM ) –Estimativa da incerteza de medição –Resultado Base ( RB=VM+C ou RB=f.VM ) –Incerteza expandida ( U ) –Nível da confiança ( NC ) –Incerteza combinada ( u c ) –Exemplo da Expressão correta do Resultado de uma Medição ( RM ) 5.Referências Bibliográficas. O USO CORRETO DE ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS

1 Notação científica Notação científica, é também denominada por padrão ou notação em forma exponencial, é uma forma de escrever números que acomoda valores demasiado grandes ( ) ou pequenos (0, ) para serem convenientemente escritos em forma convencional. O uso desta notação está baseado nas potências de 10 (os casos exemplificados acima, em notação científica, ficariam: 1 × e 1 × 10 −11, respectivamente). Um número escrito em notação científica segue o seguinte modelo: m x 10 e O número m é denominado mantissa e e a ordem de grandeza. A mantissa, em módulo, deve ser maior ou igual a 1 e menor que 10, e a ordem de grandeza, dada sob a forma de expoente, é o número que mais varia conforme o valor absoluto acessado em 16/03/2010, às 13h 30min A notação científica permite apresentar as grandezas sem ambiguidade quanto ao número de algarismos significativos, se for utilizada a regra de expressar a grandeza com apenas 1 (ou no máximo 2) algarismo(s) duvidoso(s).

7 A ordem de grandeza de um número é a potência de 10 mais próxima desse número ORDEM DE GRANDEZA A ordem de grandeza de 82 é 10 2, pois 8,2 x 10 está próximo de 100 Exemplo ALGUMAS ORDENS DE GRANDEZA DE DISTÂNCIA, TEMPO E MASSA A ordem de grandeza de 0,00022 = 2,2 x é 10 -4

2 Algarismos significativos Denomina-se algarismo significativo o número de algarismos que compõe o valor de uma grandeza, excluindo os eventuais zeros à esquerda ZEROS À DIREITA SÃO SIGNIFICATIVOS Exemplo 1:. raio (mm)significativos 57,8965 5,79 x , x x

Operações com algarismos significativos Adição e subtração: manter o menor n o de casas decimais da parcela com menor n o de casas decimais Ex 1: ,91 + 1, , ,20) = ,1001 = Ex 2: ,2 − 7 856,3201 = 4 584,8799 = 4 584,9 Multiplicação e divisão: manter (ou +1) o menor n o de algarismos significativos Ex 3: 12,4600 x 39,83 = 496,2818 = 496,28 ou 496,3 Ex 4: 803,407 / 13,1 = 61,328 = 61,33 ou 61,3 Potenciação e radiciação: manter o n o de casas decimais da base ou do radicando Ex 5: (1,52 x 10 3 ) 2 = 2,3104 x 10 6 = 2,31 x 10 6 Ex 6: (7,5 x 10 5 ) 1/2 = 866, = 8,7 x 10 3 Logaritmos: observa-se o número de algarismos significativos do argumento e o total de casas depois da vírgula do logaritmo é igual a esse número. ln (5,0 x 10 3 ) = 8,52: 2 significativos no argumento → 2 casas decimais no logaritmo ln (45,0) = 3,807: 3 significativos no argumento → 3 casas decimais no logaritmo.

Algarismos significativos: exemplo 2 Exemplo 2: Qual a melhor medida do besouro? a)Entre 0 e 1 cm b)Entre 1 e 2 cm c)Entre 1,5 e 1,6 cm d)Entre 1,54 e 1,56 cm e)Entre 1,546 e 1,547 cm f)1,55 cm Resposta correta: d) Entre (1,54 e 1,56)x10 1 mm

Qual o diâmetro da moeda? Resposta correta: (1,90 e 1,92) x 10 1 mm Se a grandeza tem PDF simétrica: 1,91(1) x 10 1 mm ou (1,91 ± 0,01) x 10 1 mm. a) Entre 0 e 2 cm b) Entre 1 e 2 cm c) Entre 1,9 e 2,0 cm d) Entre 1,92 e 1,94 cm e) Entre 1,935 e 1,945 cm Algarismos significativos: exemplo 3

Norma ABNT-NBR 5891 de dez/1977 –Último algarismo < 5 → arredonda-se para menos 1,333 3 arredondado à primeira decimal tornar-se-á: 1,3 –Último algarismo > 5 → arredonda-se para mais (+) 1,666 6 arredondado à primeira decimal tornar-se-á: 1,7 –Último algarismo = 5 e seguido de número > 5 → arredonda-se para mais (+) 4,8505 arredondados à primeira decimal tornar-se-á: 4,9 –Último algarismo é IMPAR seguido do número 5 → arredonda-se para mais (+) 4,350 0 arredondados à primeira decimal tornar-se-á: 4,4 –Último algarismo é PAR seguido do número 5 → arredonda-se para menos (-) 4,850 0 arredondados à primeira decimal tornar-se-á: 4,8 Mas... 3 Regras de arredondamento de valores estimados ou medidos

3 Regras de arredondamento da incerteza dos valores Incerteza: NORMA NIT-DICLA-021 –se o arredondamento diminuir o valor numérico da incerteza de medição em mais de 5%, deve-se arredondar o valor para cima u = 0,0074 m 3 => u = 0,008 m 3 Regra mais importante: –Aplique o bom senso –Registre as razões para a tomada de decisão.

4 A. S. e Expressão da incerteza Conforme Vuolo (1992) e ABNT-Inmetro (2004): –Se o primeiro dígito significativo da incerteza for menor que 3, podemos usar DOIS significativos –Caso o primeiro dígito significativo da incerteza for maior ou igual a 3, podemos usar UM ou DOIS algarismos significativos para a incerteza Quando a incerteza for uma estimativa ou apenas indicativa, tal como a metade da menor divisão de um instrumento usar apenas UM dígito significativo: –Numa régua escolar milimetrada a incerteza de resolução é com DOIS significativos (0,50 mm) ou com UM significativo (0,5 mm)?

4 Expressão da incerteza Usar notação científica, mas aceita-se utilizar a notação coloquial com o número de A.S. correto Usar a mesma potência de dez tanto para o valor da grandeza como para sua incerteza O número de dígitos depois da vírgula na incerteza tem que ser o mesmo que no mensurando notação erradanotação correta e aceita (u.m.) 5,30 ± 0,05725,30 ± 0,06 124,5 ± 11(1,2 ± 0,2)x10 2 ou (124 ± 11) ou (12 ± 2) x 10 1 (200,0 ± 5)x10 -7 (2,00 ± 0,05)x10 -5 ou (200 ± 5)x10 -7 (45 ± 2,6)x10 1 (4,5 ± 0,3)x10 2 ou (45 ± 3)x10 1

Incertezas!? Incerteza expandida (±) Incerteza padrão combinada Precisão, repetitividade, reprodutibilidade Exatidão Incerteza = f (precisão,exatidão) A incerteza depende da: –Precisão –Exatidão –Da qualidade do sistema de medição (Tipo B) –Da estabilidade do processo (Tipo A).

AD B C REPETITIVO EXATO A B C D POUCO REPETITIVO EXATO REPETITIVO INEXATO POUCO REPETIVIO INEXATO

PROCEDIMENTOS PARA ESTIMAR A INCERTEZA DE MEDIÇÃO 1.Maior variação possível para a variável 2.Intervalo para as maiores variações possíveis das grandezas de saída 3.GUIA ISO: abordagem frequencista ou clássica ou tradicional (norma euclidiana das incertezas) 4.Através da Simulação de Monte Carlo (MCS) 5.Abordagem bayesiana.

Incerteza com 1 a 3 medidas Incerteza a partir da variação máxima da variável:

Intervalo para as maiores variações da grandeza de saída A grandeza A é definida pelo modelo: A = B. C / D As grandezas de entrada B, C e D tem incertezas expandidas dadas por ∆B, ∆C e ∆D Valor máximo para A: Amax = (B+∆B). (C+∆C)/(D-∆D) Valor mínimo para A: Amin = (B-∆B). (C-∆C)/(D+∆D) Incerteza expandida p/ A: ∆A= (Amax – Amin)/2 Valor médio para A: = (Amax + Amin)/2 Resultado da medição: A = ± ∆A.

GUIA ISO: norma euclidiana Modelo Y=f(X) Estimativas x das grandezas de entrada X Incertezas padrão: u(x) Graus de liberdade V para cada x Nível da confiança desejada Coeficientes de sensibilidade Ci = dY/dxi Incertezas padrão combinada u c (y) Graus de liberdade efetivos Veff Fator de abrangência k Incerteza expandida U(y) = k. u c (y) Resultado da Medição = y ± U(y) Modelo avaliado nas estimativas das grandezas de entrada y=f(x)

ISO S1: MCS - Simulação de Monte Carlo Modelo Y=f(X) Funções densidade de probabilidade g(X) Número M de extrações aleatórias para a simulação de Monte Carlo Nível da confiança desejada M amostras x 1,..., x M de x a partir de g(xi) = média(xi) + S B S Bn com média(S Bi ) = 0 M avaliações ordenadas da estimativa de saída y 1,...,y M Resultado da Medição = [ y (1-p)M/2,y (1+p)M/2 ] M avaliações da estimativa da saída y=( y 1,..., y M )={ f( x 1 ),...,f(x M )}

Abordagem Bayesiana Abordagem frequencialista: a PDF existe, e temos que descobrir qual é A PDF não existe a priori A PDF representa a quantidade de informação (nível de conhecimento) que temos sobre o fenômeno A medida que acrescentamos informação a PDF modifica-se Filosoficamente mais consistente Mais recente.

Incerteza Tipo A Tipo B Depende da estabilidade da variável de processo Estimada pelo desvio padrão Em experimentos de engenharia deve ser a maior fonte de incerteza Depende da qualidade do sistema de medição Estimada a partir das informações disponíveis Em experimentos laboratoriais deve ser a maior fonte de incerteza

Procedimento para a determinação da incerteza de medição para variáveis fracamente correlacionadas 1.Análise do processo de medição; 2.Estabelecer os objetivos da medição, identificando CLARAMENTE e INEQUIVOCADAMENTE o mensurando; 3.Determinar o modelo matemático e metrológico que relaciona as grandezas de entrada ( X j ) com a grandeza de saída ( Y ) : Y = f ( X 1, X 2, X 3,..., X n ); 4.Identificar as fontes de incerteza tipo A e tipo B; 5.Incorporar as Correções sistemáticas ( C ) ao Valor Medido ( VM ): RB = VM + C 6.Estabelecer os divisores ( D i ) associado às PDFs das grandezas de entrada com base em conhecimentos experimentais práticos ou teóricos; 7.Estimar a incerteza padrão tipo A e tipo B ( u i ) p/ cada grandezas de entrada nas unidades das grandezas de entrada: u xi = U xi /D xi 8.Estimar os coeficientes de sensibilidade C xi para cada incerteza das grandezas de entrada; 9.Estimar a incerteza padrão combinada ( u xc ) para cada grandeza de saída: 10.Estimar os graus de liberdade efetivos ( v eff ) pela fórmula de Welch-Satterthwaite; 11.A partir do nível da confiança desejado, estimar o fator de abrangência k ; 12.Estimar a incerteza expandida ( U y ): U y = k y.u yc ; 13.Expressar o resultado da medição com sua incerteza expandida segundo o ISO GUM, veja item 7.2.4, página 26, da 3ª edição editada pelo INMETRO.

Mensurando: (F, T, P, L, A ou...). Instrumento: DESCRIÇÃO E TAG. Faixa de VALOR MIN E MAX e UNIDADE. Tipo A, B ou C Fonte da incerteza X i Desvio sistem. S xi Valor da incerteza de U xi Distri. (FDP) Divisor ( D xi ) Valor u yi ² v i ou v eff Somatória de u yi ² u yc = Incerteza padrão combinada = Raiz quadrada da somatória de u yi ²  u yc Fator de abrangência k y para xx,xx% de nível da confiança Incerteza expandida U y = k y. u yc Planilha de incerteza de medição C = soma das correções sistemáticas VM y = valor da grandeza de saída Coef. de sensib. c xi RM = VM + C ± U Incert. padrão u xi = U xi /D xi Incert. padrão u yi =c xi.u xi

k (fator de abrangência) para diferentes PA (probabilidade de abrangência) para vários GL (graus de liberdade) GL | PA  50,00%68,27%90,00%95,00%95,45%99,00%99,80% 11,001,846,3112,7113,9763,66318,31 20,821,322,924,304,539,9222,33 30,761,202,353,183,315,8410,21 40,741,142,132,782,874,607,17 50,731,112,022,572,654,035,89 60,721,091,942,452,523,715,21 70,711,081,892,362,433,504,79 80,711,071,862,312,373,364,50 90,701,061,832,262,323,254,30 100,701,051,812,232,283,174,14 200,691,031,722,092,132,853,55 300,681,021,702,042,092,753,39 400,681,011,682,022,062,703,31 500,681,011,682,012,052,683,26 600,681,011,672,002,042,663,23 800,681,011,661,992,032,643, ,681,001,661,982,022,623, ,681,001,661,982,022,613, ,681,001,651,972,012,603, ,671,001,651,962,012,593, ,671,001,651,962,002,583,10

Aumento do n o de experimentos Figura 3 ‑ 1: Diminuição do fator de abrangência com o aumento dos graus de liberdade

Forma RECOMENDADA pelo GUM para apresentar o resultado de uma medição (item pg 26): Resultado da medição ( RM ): onde o número após o símbolo ± é o valor numérico de U = k.u c (uma incerteza expandida), com U determinado por u c = 0,074 g (uma incerteza padrão combinada) e um fator de abrangência k = 2,02 baseado na distribuição- t, para v = 5 graus de liberdade. U define um intervalo estimado para ter uma probabilidade de abrangência de 90 por cento.

Incerteza combinada ( u c ) Incerteza obrigatoriamente apresentado Covariância desprezível Modelo fracamente não linear Incerteza tipo B é obtida aplicando o teorema de Bayes Incerteza tipo A depende do desvio padrão

Tipo de incertezaEquação Tipo A Desvio padrão experimental da média (3 ‑ 16) Desvio padrão experimental (3 ‑ 17) Tipo B Fonte: certificado de calibração (3 ‑ 18) Tipo B Fonte: escala do instrumento (3 ‑ 19) Tipo B Fonte: catálogo do instrumento (3 ‑ 20) Incerteza tipo A e tipo B Quadro 3 ‑ 1: Lista incompleta das incertezas tipo A e B

Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 1 - (slide 32/30) Pilares da Metrologia HonestidadeConhecimentoBom-senso

Livro texto ALBERTAZZI, Armando; Sousa, André. FUNDAMENTO DE METROLOGIA: científica e industrial. Manole: slides_powerpoint.html 33

Livros de instrumentação BEGA, Egidio Alberto. Instrumentação Industrial. MCT Books 34 COHN, Pedro Estéfano. Analisadores Industriais. Editora Interciência. BEGA, Egidio Alberto. Instrumentação Aplicada ao Controle de Caldeiras. Editora Interciência.

Livros sobre incerteza 35 Guia para a Expressão da Incerteza de Medição Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement GUM Concepção do Documento: BIPM – Bureau International des Poids et Mesures IEC – International Electrotechnical Comission IFCC - International Federation of Clinical Chemistry ISO - International Organization for Standardization IUPAC - International Union for Pure and Applied Chemistry IUPAP - International Union for Pure and Applied Physics OIML - International Organization of Legal Metrology V I M

36 Livros sobre incerteza e SI

Livros sobre estatística 37

38 Sítios DPF-UFV – Departamento de Física da Universidade Federal de Viçosa. Erros, algarismos significativos e método gráfico. Viçosa. Disponível em Acesso em: 6 de abril de IF-USP – Instituto de Física da Universidade de São Paulo. Algarismos Significativos. Disponível em São Paulo. Acesso em: 5 de abril de KALID, Ricardo. TECLIM – LACOI – UFBA. Uso Correto de Algarismos Significativos na Apresentação de resultados. Salvador- BA-BR. Disponível em Acesso em 24 de março de

No mínimo temos que apresentar o resultado sem exagerar o número de algarismos significativos.

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